一　空間向量及其線性運(yùn)算

8一空間向量及其線性運(yùn)算1.如圖,在底面為正方形的平行六面體ABCD-A'B'C'D'的棱中,與向量模相等的向量有 ()A.0個(gè) B.3個(gè) C.7個(gè) D.9個(gè)【解析】選C.向量模相等即向量的長(zhǎng)度相等.根據(jù)平行六面體的性質(zhì)可知,與向量模相等的向量為,,,,,,,共7個(gè).2.在四面體ABCD中,點(diǎn)F在AD上,且AF=2FD,E為BC的中點(diǎn),則= ()A.+12-23B.-12-12+23C.12-12+23D.-12+12-23【解析】選B.在四面體ABCD中,點(diǎn)F在AD上,且AF=2FD,E為BC的中點(diǎn),所以=++=+-+23=-12(+)+23=-12-12+23.3.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是 ()A.空間四邊形 B.平行四邊形C.等腰梯形 D.矩形【解析】選B.由已知得=,即,是相等向量,因此,的模相等,方向相同,即四邊形ABCD是平行四邊形.4.設(shè)M是△ABC的重心,記=a,=b,=c,則= ()A.b?c2 BC.b?c3 【解析】選D.設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)(圖略).因?yàn)镸是△ABC的重心,所以=23.又因?yàn)?12(+)=12(c-b),所以=13(c-b).5.(多選題)下列命題不正確的是 ()A.長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量B.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量C.若a≠b,則|a|≠|(zhì)b|D.兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同【解析】選BCD.根據(jù)向量的定義,知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量,A正確;平行且模相等的兩個(gè)向量可能是相等向量,也可能是相反向量,B不正確;當(dāng)a=-b時(shí),也有|a|=|b|,C不正確;只要模相等、方向相同,兩個(gè)向量就是相等向量,與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān),D不正確.6.(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O,則下列結(jié)論中正確的有 ()A.+與+是一對(duì)相反向量B.-與-是一對(duì)相反向量C.+++與+++是一對(duì)相反向量D.-與-是一對(duì)相反向量【解析】選ACD.因?yàn)镺為正方體的中心,所以=-,=-,故+=-(+),同理可得+=-(+),故+++=-(+++),所以A,C正確;因?yàn)?=,-=,所以-與-是兩個(gè)相等的向量,所以B不正確;因?yàn)?=,-==-,所以-=-(-),所以D正確.7.如圖所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,與是________向量,與是______向量.(用“相等”“相反”填空)

【解析】由相等向量與相反向量的定義知與是相等向量,與是相反向量.答案:相等相反8.已知A,B,C,D為空間中任意四點(diǎn),化簡(jiǎn)(-)-(-)=________.

【解析】方法一(利用相反向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算):(-)-(-)=--+=+++=+++=0.方法二(利用向量的減法運(yùn)算法則求解):(-)-(-)=(-)+-=+-=-=0.答案:09.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),請(qǐng)化簡(jiǎn):++,++,并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.【解析】++=+=.因?yàn)镋,F,G分別為BC,CD,DB的中點(diǎn),所以=,=.所以++=++=.故所求向量,如圖所示.10.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且=2,若=x+y+z,求x,y,z的值.【解析】取BC的中點(diǎn)F,連接A1F,則A1D1∥FE,易知A1D1=FE,所以四邊形A1D1EF是平行四邊形,所以A1FD1E,所以=.又=++=-++12,所以=+12-,所以x=1,y=12,z=-1.11.下列命題中為真命題的是 ()A.向量與的長(zhǎng)度相等B.若將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C.空間向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【解析】選A.對(duì)于選項(xiàng)B,它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面;對(duì)于選項(xiàng)C,零向量不能用有向線段表示;對(duì)于選項(xiàng)D,正方體ABCD-A1B1C1D1中,≠,但||=||.12.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1C1的中點(diǎn).若=a,=c,=b,則下列向量與相等的是 ()A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】選A.因?yàn)镸是A1C1的中點(diǎn),所以=-=+-=-+12=-+12=-+12(+)=-12+12=-12a+12b+c.13.在矩形ABCD中,P為平面ABCD外一點(diǎn),M,N分別為PC,PD上的點(diǎn),且=2,=,用,和表示出,則=________.

【解析】因?yàn)?2,=,所以=23,=12,所以=-=23-12=23(-)-12(-)=23(+-)-12+12=23+16-16.答案:23+16-1614.如圖,設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若=12+x+y,則x+y=________.

【解析】=-=12-=12(+)-=12(+-)-=-32+12+12=12+12-32,所以x=12,y=-32,x+y答案:-1【加固訓(xùn)練】如圖,在正四面體PABC中,M,N分別為PA,BC的中點(diǎn),D是線段MN上一點(diǎn),且ND=2DM,若=x++z,則x+y+z的值為_(kāi)_______.

【解析】=+=12+13=12+13=13+16+16,所以x=13,y=z=16,所以x+y+z=23.答案:215.如圖,O是△ABC所在平面外一點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),若=λ與=12+14+14同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)λ的值.【解析】連接OM.因?yàn)?12+14+14=12+14×2=12+12,所以G為AM的中點(diǎn),所以=12.又=λ,所以λ=12.16.如圖,正