焦點(diǎn)三角形面積公式5615

橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用定理在橢圓x221y（a＞b＞0）中，焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是FF2a2b21橢圓上任意一點(diǎn)，b2tan2.F1PF2yP，則SFPF12P證明：記，由橢圓的第一定義得|PF|r,|PF|r2112rr2a,(rr)24a2.FOFx121212在△中，由余弦定理得：r2r22rrcos(2c)2.FPF121212配方得：()22rr2rrcos4c2.rr121212即4a22rr(1cos)4c2.12rr2(a2c2)2b2.1cos1cos12由任意三角形的面積公式得：2sincos2sin1cos.212rrsinb2b22b2tanSF1PF2122cos22Sb2tan.2F1PF2同理可證，在橢圓y221（a＞b＞0）中，公式仍然成立.xa2b2典題妙解例1若P是橢圓x221上的一點(diǎn)，F(xiàn)F10064y、是其焦點(diǎn)，且12，求FPF6012△的面積.FPF12解法一：在橢圓x2y21中，a10,b8,c6,而60.10064記|PF|r,|PF|r.1122點(diǎn)P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：rra220.12在△FPF中，由余弦定理得：r2r222rrcos(2c)2.12121配方，得：(rrrr144.)32121225634003rr144.從而12rr12.125636431rrsin232S.FPF121223解法二：在橢圓x2y中，2，而60.b264110064643.3Sb2tan64tan30FPF212解法一復(fù)雜繁冗，運(yùn)算量大，解法二簡(jiǎn)捷明了，兩個(gè)解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！例2已知P是橢圓x2y上的點(diǎn)，F(xiàn)、F分別是橢圓的左、右焦2125912PFPF點(diǎn)，若A.12，則△FPF的面積為（）12|PF||PF|1212B.C.33233D.33PFPF解：設(shè)FPF，則cos12，60.12|PF||PF|1212Sb2tan9tan3033.FPF212故選答案A.例3（04湖北）已知橢圓x2y的左、右焦點(diǎn)分別是F、F，點(diǎn)P2116912在橢圓上.若P、F、F是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距12離為（）A.9B.97C.9574D.9或9747解：若F或F是直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為半通徑的長(zhǎng)b29；a412若P是直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，則S9tan459，b2tanFPF212又S1(2)ch7h,FPF2127h9，h97.故答案選D.7金指點(diǎn)睛1.橢圓y2x上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F、F的連線互相垂直，則△21492412FPF的面積為（）12A.20D.24B.22C.282.橢圓x2y241的左右焦點(diǎn)為F、F，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)△FPF的面2121積為1時(shí)，PFPF的值為（）12A.0D.6B.1C.33.橢圓x21的左右焦點(diǎn)為F、F，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)△FPF的面212y241積最大時(shí)，PFPF的值為（）12A.0B.2C.4D.24．已知橢圓x2（＞1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F、F，P為橢圓上一點(diǎn)，且y21aa212FPF60，則|PF||PF|的值為（）1212A．1B．1C．433D．235.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)F、為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓12上，直線PF與PF傾斜角的差為90，△FPF的面積是20，離心率為5，31212求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)F、為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且12PFPF1，△FPF的面積是3，準(zhǔn)線方程為x43，求橢圓312|PF||PF|21212的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案1.解：24tan4524.24，SFPFFPF90,b2b2tan21212故答案選D.b2tantan21，2.解：設(shè)FPF，S，45,90FPF221212PFPF0.12故答案選A.2tan，23.解：a2,b1,c3，設(shè)FPF，Sb2tanFPF1212當(dāng)△FPF的面積最大時(shí)，為最大，這時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)，120，12PFPF|PF||PF|cosa2cos1202.1212故答案選D.tan303，234．解：FPF60，b1，Sb2tan12FPF12又S123|PF||PF|，412|PF||PF|sinFPF12123|PF||PF|3，從而34.3|PF||PF|41212故答案選C.5.解：設(shè)FPF，則90.，Sb2tanb2tan45b202FPF21212又eca5，32ab2ab5，即205.211a9a922解得：a245.x2y或y2x.4520所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22114520PFPF6．解：設(shè)FPF，cos1.,120212|PF||PF|1212，1.bSb2tanb2tan603b23FPF212又a243，即cb2c2114333.