泰勒公式在微積分學(xué)中的應(yīng)用

泰勒公式在微積分學(xué)中的應(yīng)用

1預(yù)備知識1.1泰勒公式有一個最終公式當(dāng)f（x）的n階導(dǎo)數(shù)時，函數(shù)f（x）[a，b]。其中Rn(x)=o((x-a)n),1.2麥克勞林公式法函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù),則對x∈(a,b)有其中在式中,令x0=0,得到f(x)在x=0點的泰勒公式稱之為麥克勞林公式(Maclaurin公式)。1.3一般maclaurin公式上述展開式中的符號o(xn)表示當(dāng)x→0時,它是一個較xn高階的無窮小,即有。2近似計算誤差估計的余論依據(jù)兩種余項的泰勒公式所表達(dá)的根本思想就是怎樣用多項式來逼近函數(shù)。公式(1)非普通的等式,而是反映了極限性質(zhì)的漸進(jìn)等式,因此公式(1)在求極限時很有用處,對余項可以提供充分小量的估計。公式(2)的余項有確定表達(dá)式,當(dāng)然也有不確定因素,即有中值,但不妨礙定理的使用,為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù)。引理2.1f(x)在[a,b]上可導(dǎo),且f′(x)≥0,則f(x)≥f(a),x∈[a,b]。推論2.2f(x)和g(x)在[a,b]上可導(dǎo),且f′(x)≥g′(x),則f(x)-f(a)≥g(x)-g(a),x∈[a,b]。特別的f(a)=g(a)=0,則有f(x)≥f(a),x∈[a,b]。引理2.3f(x)在[a,b]上可導(dǎo),且有證明對n用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n=0時,顯然成立。若已有由推論2.2得注:由,有,因此,(2)式可以看成定理2.4的一個推論。3使用泰勒公式進(jìn)行應(yīng)用3.1分子或分子有5.小洛比達(dá)法則所肯定的結(jié)論可以在特殊的條件下,用泰勒公式展開式推導(dǎo)出來,所以可以利用已知函數(shù)的泰勒公式求未定式的極限。例1計算。解此題是“0/0”型,但用洛比達(dá)法則很難求出,不難驗證tan(tanx)和sin(sinx)都在o(0,δ)內(nèi)三階可微。從而可見分母tanx-sinx是3的3階無窮小,故寫出的分子上各函數(shù)三階泰勒展開式,關(guān)于x3較高階的無窮小可省略去。又例2設(shè)y=arccotx,求y(n)(0)。注:因為對于函數(shù)多項式或有理分式的極限問題的計算是十分簡單的,因此,對一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來較復(fù)雜的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為類似多項式或有理分式的極限問題,因此滿足下列情況時可考慮用泰勒公式來求極限:(ⅰ)用洛比達(dá)法則時,次數(shù)較多,且求導(dǎo)及化簡過程較繁。(ⅱ)分子或分母中有無窮小的差,且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價無窮小替代形式。(ⅲ)所遇到的函數(shù)展開為泰勒公式不難。當(dāng)確定了要用泰勒公式求極限時,關(guān)鍵是確定展開的階數(shù)。如果分母(或分子)是n階,就將分子(或分母)展開為n階麥克勞林公式。如果分子,分母都需要展開,可分別展開到其同階無窮小的階數(shù),即合并后的首個非零項的冪次的次數(shù)。3.2n+的階相結(jié)構(gòu)的比較判定考慮以下情況:(ⅱ)若p=1,此時收斂,但是。這里我們無法判定的斂散性,為了有效的選取中的p的值,可以應(yīng)用泰勒公式研究選項an→0(n→+∞)的階,據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)膒的值,使,并且保證0<l<+∞,再由比較判別法(極限形式)就可以判定的斂散性,下面舉例說明。解利用泰勒公式展開有注:利用泰勒公式研究序列無窮小量an的階,然后與恰當(dāng)bn(如1/np,p>0)去比較,有的放矢的求出p值,再求出極限值,則可順利解決問題。3.3確定廣義積分集分散性的應(yīng)用3.4[a,b]-[2]我國[a,b]-[a,b]-[2]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a,b]-[a其中ξ在x,t之間,令x=0,t=a則由(3)可得,令x=0,t=b則由(3)可得,由(4)-(5)得,因為f(x)在[a,b]上連續(xù)。據(jù)介值定理知存在η,使得,所以注:在定積分證明方面,泰勒公式特別適用于被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的命題,主要通過作輔助函數(shù),在所需點處進(jìn)行泰勒展開并對余項作適當(dāng)處理。3.5用拉氏法證明如果函數(shù)f(x)的二階及二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界,利用泰勒公式去證明這些不等式。一般的證明思路:(ⅰ)寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒展開式。(ⅱ)恰當(dāng)選擇等式兩邊的x與x0。(ⅲ)根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的大小對展開式進(jìn)行放縮。例6設(shè)f(x)在[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù),且f′(a)=f′(b)=0,試證:在(a,b)內(nèi)至少存在一點η,使。證明因為f(x)在[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù),所以f(x)在x0處一階泰勒公式成立:其中ξ在x與x0之間,x0∈[a,b]。又f′(a)=0,所以在(6)中令x0=b,x=a+b/2,又f′(b)=0,(8)-(7)并取絕對值,則b,則注:泰勒公式有時要結(jié)合其它知識一起使用,如要證明的不等式中含有積分符號時,一般利用定積分的性質(zhì)綜合使用泰勒公式進(jìn)行證明。當(dāng)所要證明的不等式含有多項式和初等函數(shù)的混合式時,不妨做一個輔助函數(shù)并利用泰勒公式代替,往往能使證明更加簡潔。對泰勒公式巧妙,合理的運用,可以解決一些其它方法較難解決的問題。3.6求解式計算行列式的一般思路在代數(shù)學(xué)中,有關(guān)利用代數(shù)知識計算行列式的方法很多,但應(yīng)用微積分學(xué)的方法計算行列式的極為少見。下面介紹利用泰勒展開式計算行列式。利用泰勒公式計算行列式的一般思路:(ⅰ)根據(jù)所求行列式的特點,構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)。(ⅱ)把這個行列式函數(shù)按泰勒公式在某點展開。(ⅲ)求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值。例7求n階行列式的值解把行列式Dn看作x的函數(shù),將Dn(x)在x=b按泰勒公式展開下面求行列式函數(shù)Dn(x)的各階導(dǎo)數(shù),代入Dn(x)在x=b的泰勒展開式:若b=c則若b≠c則令x=a得注:只要行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)較易計算,則應(yīng)用泰勒公式計算行列式就便利。3.7ca,b例8設(shè)f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù),試證:?c∈(a,b),使得在兩端同時取[a,b]上的積分,注意右端第二項積分為0,第三項的積分由于導(dǎo)數(shù)有界值性,第一積分中值定理成立,使得從而可知(9)式成立。3.8為“a,b”,有“b”例9若f(x)在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù),f′(a)=f′(b)=0,試證:ξ∈(a,b),使得(ⅰ)若f(c)≥f(a)+f(b)/2,做輔助函數(shù)(只要證明?ξ∈(a,b),使得F′(x)≥0即可。)3.9u3000收斂值的判定證明因為所以有形如的余項稱為Lagrange型余項。定理2.4若函數(shù)f(x)在[a,b]上n+1階連續(xù)可導(dǎo),則存在A和B,使得[a,b]中任意x0和x,有下式成立其中Rn(x)介于和之間特別地,若記,則證明由于f(n+1)(x)連續(xù),必有A≤f(n+1)(x)≤B,從而可得f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)=(2k+1)!!。在級數(shù)斂散性理論中,要判斷一個正項級數(shù)(p>0),可由比較判別法來判定,那么在實際應(yīng)用中較困難的問題是如何選取恰當(dāng)?shù)?p>0)中p的值?(ⅰ)若p=2,此時收斂,但是。例3判定級數(shù)的斂散性。故有,即an→0(n→+∞)時是3/2階,與同斂散性,所以收斂在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r,通常選取廣義積分分(p>0)進(jìn)行比較,在此通常研究無窮小量量量量(x+∞)的階來有效地選擇中的p的值,從而判定斂散性。(注意到:如果收斂,則收斂。)例4廣義積分分否收斂?解因為,由于,故f(x)是1/x(x→0+)的一階無窮大量,而發(fā)散,故也發(fā)散。例5設(shè)f(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微,其中a<0<b,則在該區(qū)間上存在一個η,使。證明令,將F(x)在x=t(a≤t≤b)處展成二階泰勒公式,令m=min{f″(ξ1),f″(ξ2)},并且-a3>0,則有m(b3-a3)≤b3f″(ξ2)-a3f″(ξ1)≤M(b3-a3)在(6)中令x0=a,x=a+b/2,有類似地D″n(x)=D′n-1(x),…,D(n)n(x)=D(n-1)n-1(x),遞推關(guān)系還可推出D′n-1(x)=(n-1)