行列式的發(fā)展與應(yīng)用

行列式的發(fā)展與應(yīng)用

列方程計(jì)算一直是高等代數(shù)和線性代數(shù)的基本問題。同時(shí)，它也是工程應(yīng)用中的一門重要數(shù)學(xué)工具，尤其是大行列方程。這是工程計(jì)算中不可或缺的一部分。由于計(jì)算的技巧性較強(qiáng),學(xué)生一直不易領(lǐng)會(huì)和掌握。因此根據(jù)幾種常見的行列式類型,特別介紹行列式計(jì)算方法中的三角法、鑲邊法和遞推法,并通過幾種典型例題詳細(xì)說明。1原行列式2(1)利用行列式的性質(zhì)把一行(列)的適當(dāng)倍數(shù)加到另一行(列),把行列式化為三角形,再利用三角形行列式的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。例1計(jì)算行列式Dn=|x1-a1x2x3?xnx1x2-a2x3?xnx1x2x3-a3?xn?????x1x2x3?xn-an|解:Dn=|x1-a1x2x3?xnx1x2-a2x3?xnx1x2x3-a3?xn?????x1x2x3?xn-an|=|x1-a1x2x3?xna1-a20?0a10-a3?0?????a100?-an|=a1a2?an|x1a1-1x2a2x3a3?xnan1-10?010-1?0?????100?-1|=a1a2?an|n∑i=1xiai-1x2a2x3a3?xnan0-10?000-1?0?????000?-1|=(-1)n-1a1a2?an(n∑i=1xiai-1)(2)行(列)歸一法。先把某一行(列)全部化為1,再利用該行(列)以及行列式的性質(zhì)將原行列式化為三角形行列式,從而求出行列式的值。例2計(jì)算行列式Dn+1=|ta1a2a3?ana1ta2a3?ana1a2ta3?an??????a1a2a3a4?t|解:將第2、3…n+1列元素都加到第1列上,得Dn+1=|ta1a2a3?ana1ta2a3?ana1a2ta3?an??????a1a2a3a4?t|=|t+n∑i=1aia1a2a3?ant+n∑i=1aita2a3?ant+n∑i=1aia2ta3?an??????t+n∑i=1aia2a3a4?t|=(t+n∑i=1ai)|1a1a2a3?an1ta2a3?an1a2ta3?an??????1a2a3a4?t|=(t+n∑i=1ai)|1000?01t-a100?01a2-a1t-a20?0??????1a2-a1a3-a2a4-a3?t-an|=(t+n∑i=1ai)n∏i=1(t-ai)能夠利用化為三角形法進(jìn)行計(jì)算的行列式的共同特征是每行(列)有盡可能多的相同元素,從而利用行列式的性質(zhì)把某行(列)的倍數(shù)加到其它行(列),出現(xiàn)更多的零或其余所有行(列)加到某一行(列),使該行(列)的元素全部為1,進(jìn)而化為三角形,最后通過三角形的特性求出行列式的值,這類行列式如:|x011?11x11?111x3?1?????111?xn|n,|01?1110?11?????11?0111?10|n,|123?n-103?n-1-20?n?????-1-2-3?0|2角形行列式的計(jì)算利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),把n階行列式通過加行(列)變成與之相等的n+1階行列式,利用行列式的性質(zhì)把其轉(zhuǎn)化為三角形行列式計(jì)算。添加行與列的方式一般有五種:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列以及(5)一般行列的位置。(1)11110110.1.310.111111111111111111111111111010.例3計(jì)算行列式Dn=|1+a11?1111+a2?11?????11?1+an-1111?11+an|解:Dn=|1+a11?1111+a2?11?????11?1+an-1111?11+an|=|1+a11?11111+a2?111??????11?1+an-11111?11+an100?001|=|a10?0010a2?001??????00?an-10100?0an1-1-1?-1-11|=∏i=1nai|10?00101?001??????00?10100?011-1a1-1a2?-1an-1-1an1|=∏i=1nai|10?00001?000??????00?10000?010-1a1-1a2?-1an-1-1an1+∑i=1n1ai|=∏i=1nai(1+∑i=1n1ai)(2)范德蒙行列式的由來例4計(jì)算行列式Dn=|11?1x1x2?xnx12x22?xn2????x1n-2x2n-2?xnn-2x1nx2n?xnn|解:通過添加行列得:Dn+1=|11?11x1x2?xnyx12x22?xn2y2?????x1n-2x2n-2?xnn-2yn-2x1n-1x2n-1?xnn-1yn-1x1nx2n?xnnyn|易見Dn+1是范德蒙行列式,則Dn+1=∏i=1n(y-xi)∏1≤j<k≤n(xk-xj)而行列式Dn的值為Dn+1按最后一列展開式y(tǒng)n-1項(xiàng)的系數(shù)乘以(-1)2n+1能夠利用鑲邊法計(jì)算的行列式,各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質(zhì)把某行(列)的倍數(shù)加到其它行(列)時(shí)不能轉(zhuǎn)化為三角形行列式,或添加一行(列)后能夠直接利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算,類似的行列式有:|1+a11+a12?1+a1n1+a21+a22?1+a2n????1+an11+an2?1+ann|,|x1a2a3?an-1ana1x2a3?an-1ana1a2x3?an-1an??????a1a2a3?xn-1ana1a2a3?an-1xn|3高階行列式的遞推關(guān)系式及其評(píng)價(jià)利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),得到原行列式與同類的低階行列式之間的遞推關(guān)系。此種方法有時(shí)用到Dn,Dn-1,有時(shí)用到Dn,Dn-1,Dn-2。(1)利用Dn,Dn-1進(jìn)行遞推例5計(jì)算行列式Dn+1=|xa1a2?ana1xa2?an?????a1a2a3?ana1a2a3?x|解:Dn+1=|xa1a2?ana1xa2?an?????a1a2a3?ana1a2a3?x|=|xa1a2?an+0a1xa2?an+0?????a1a2a3?an+0a1a2a3?an+(x-an)|=|xa1a2?ana1xa2?an?????a1a2a3?ana1a2a3?an|+|xa1a2?0a1xa2?0?????a1a2a3?0a1a2a3?x-an|=an|xa1a2?1a1xa2?1?????a1a2a3?1a1a2a3?1|+(x-an)Dn=an|x-a1a1-a2a2-a3?10x-a2a2-a3?1?????000?1000?1|+(x-an)Dn=an∏i=1n(x-ai)+(x-an)Dn而D1=x,D2=a1(x-a1)+(x-a1)x=(x-a1)(x+a1),D3=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a2)D2=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a2)(x-a1)(x+a1)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2)根據(jù)遞推關(guān)系式可得D3=(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an)(2)利用Dn,Dn-1,Dn-2進(jìn)行遞推例6計(jì)算行列式Dn=|2cosθ10?0012cosθ1?00012cosθ?00??????000?12cosθ|解:Dn=|2cosθ10?0012cosθ1?00012cosθ?00??????000?12cosθ|=2cosθ|2cosθ10?0012cosθ1?00012cosθ?00??????000?12cosθ|n-1-|110?0002cosθ1?00012cosθ?00??????000?12cosθ|n-1=2cosθ?Dn-1-Dn-2而D1=2cosθ=sin2θsinθ,D2=4(cosθ)2-1=sin3θsinθ假設(shè)有Dn-1=sinnθsinθ,Dn-2=sin(n-1)θsinθ,則Dn=2cosθ?Dn-1-Dn-2=2cosθ?sinnθsinθ-sin(n-1)θsinθ=2cosθsinnθ-sinnθcosθ+cosnθsinθsinθ=cosθsinnθ+cosnθsinθsinθ=sin(n+1)θsinθ遞推法有時(shí)也稱為降階法,因?yàn)橛眠f推法計(jì)算的行列式按某行(列)展開后能夠出現(xiàn)與原行列式相同結(jié)構(gòu)的低階行列式,進(jìn)而得到同類型的高階行列式與低階行列式之間的遞推關(guān)系。根據(jù)此關(guān)系式以及最初的一階、二階行列式