一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系-1

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系一、一元二次方程的有關概念1、一元二次方程的概念：只有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程?！咀⒁狻恳粋€方程若是一元二次方程，必須具備三個條件：=1\*GB3①是整式方程；=2\*GB3②只含有一個未知數(shù)；=3\*GB3③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于的一元二次方程，經(jīng)過整理都能化成如下形式：這種形式叫一元二次方程的一般形式，其中是二次項，是二次項系數(shù)，是一次項，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項。3、一元二次方程的根：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。二、一元二次方程根的判別式與解集式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用表示，即=（1）當>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；此時，方程的解集為：（2）當=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；此時，方程的解集為：（3）當<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根。此時，方程的解集為三、一元二次方程根與系數(shù)的關系1、一元二次方程根與系數(shù)的關系：如果的兩根、，那么，2、常見的涉及到一元二次方程兩根、的代數(shù)式的重要變形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）四、一元二次方程的解法（1）直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解；（2）配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個非負常數(shù)，則可以直接開平方求解；（3）公式法：將一元二次方程中的系數(shù)，，的值代入式子中求解；（4）因式分解法：通過移項將等式右邊變成0，再因式分解，令每個因式為0即可求解。題型一求一元二次方程的解集【例1】（2023·高一課時練習）方程的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方程的解為,所以方程的解集是，故選:C.【變式11】（2023·高一課時練習）方程的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由方程，可得方程，解得或，所以或，即方程的解集為.故選：C.【變式12】（2022秋·湖北恩施·高一校考階段練習）解下列方程：（1）；（2）.【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）則或解得.（2）方程整理得：由求根公式可得：.【變式13】（2022秋·江蘇南京·高一金陵中學?？茧A段練習）在實數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，所以，即，故，再對兩邊平方，得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）因為，所以，即，得，先由求根公式解，得，所以題型二根據(jù)一元二次方程的解求參數(shù)【例2】（2022·江蘇蘇州·高一常熟中學校考階段練習）若關于的一元二次方程有一個根是0，則的值是（）A．B．2C．0D．或2【答案】A【解析】∵關于x的一元二次方程有一個根為0，∴且，解得.故選：A【變式21】（2023·高一課時練習）若關于x的方程的一個根是，則方程的另一個根是.【答案】1【解析】設方程的另一個根為，因為關于x的方程的一個根是，所以，解得，，故答案為：1.【變式22】（2022秋·甘肅蘭州·高一?？计谀┤绻匠痰慕鉃?，則實數(shù)的值分別是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，方程的解為，故，解得.故選：A【變式23】（2022秋·北京西城·高一北京市西城外國語學校校考階段練習）方程的解集是，則的值是.【答案】0【解析】由題意可知方程的兩個根分別為和2，所以，解得，所以，故答案為：0【變式24】（2022秋·吉林白城·高一?？茧A段練習）（）等腰三角形三邊長分別為，且是關于的一元二次方程的兩根，則的值為（）A．15B．16C．17D．18【答案】BC【解析】①當3為底時，則，因為是關于的一元二次方程的兩根，所以，解得，此時三角形的三邊為3，4，4，這樣的三角形存在，所以，得，②若3為腰長時，則中有一個為3，不妨設，因為是關于的一元二次方程的兩根，所以，得，此時三角形三邊為3，3，5，這樣的三角形存在，所以，得，綜上，或，故選：BC題型三判別式與根的個數(shù)問題【例3】（2023·高一課時練習）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是.【答案】.【解析】因為關于x的一元二次方程有實數(shù)根，所以且，即且，解得且，所以k的取值范圍是，故答案為：.【變式31】（2023·高一課時練習）若關于x的方程的解集是單元集，求實數(shù)m的值.【答案】0或【解析】由于關于的方程的解集為單元素集合，即方程有唯一解（1）當時，，方程有唯一解；（2）當時，，即，解得.綜上0或.【變式32】（2022秋·山東東營·高一利津縣高級中學校考階段練習）已知關于x的方程的兩根同號，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】關于x的方程的兩根同號，則判別式大于等于0且兩根之積大于零，則有，解得.故選：C【變式33】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？奸_學考試）已知關于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值.（1）有一根為；（2）有兩個互為相反數(shù)的實根；（3）兩根互為倒數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）依題意原方程有實數(shù)根，所以解得；將代入方程得；（2）兩根之和為，即，顯然滿足；（3）因為兩根互為倒數(shù)，所以兩根之積為，即，而，所以.題型四利用根與系數(shù)的關系求值【例4】（2023秋·重慶·高一開學考試）設是方程的兩根，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系可得：，所以.故選：C.【變式41】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學校?？茧A段練習）已知方程的兩根分別為、，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由根與系數(shù)的關系可得，因此，.故選：B.【變式42】（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習）一元二次方程的兩個實根為，則．【答案】3【解析】依題意，因為一元二次方程的兩個實根為，所以由根與系數(shù)的關系得：，，所以.故答案為：3.【變式43】（2022秋·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？茧A段練習）已知方程的兩根為與，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）18；（3）7【解析】（1）已知方程的兩根為與，所以可得所以；（2）由（1）有：，且所以（3）【變式44】（2022秋·浙江臺州·高一臺州一中?？奸_學考試）已知、是方程的兩根，則的值為.【答案】【解析】由題意得，，故，則，由韋達定理可得，所以.故答案為：2【變式45】（2022秋·北京·高一?？茧A段練習）若，且，，則的值為．【答案】1【解析】由題意是方程的兩個解，所以，，則，，故答案為：1．【變式46】（2023·高一課時練習）已知a、b是方程的兩個根，則的值為．【答案】8【解析】已知、是方程的兩個根，則有，，根據(jù)韋達定理有，..故答案為：題型五利用根與系數(shù)的關系求方程【例5】（2022秋·福建漳州·高一?？奸_學考試）已知，是關于的一元二次方程的兩個根，且，，則該一元二次方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，，時，，，即，故選：B．【變式51】（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考開學考試）已知實數(shù)m、n滿足m＋n＝4，，則以m、n為兩根的一個一元二次方程可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】由，則，由，則，利用配方法，可得，由，解得，故答案為：（答案不唯一）.【變式52】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€實根分別為，則以和為根的一元二次方程可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】因為一元二次方程的兩個實根分別為，所以，所以，所以以和為根的一元二次方程可以是.故答案為：（答案不唯一）.【變式53】（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎獙崝?shù)，滿足，，則以為根的一元二次方程是．【答案】.【解析】將變形可得，可得即，由一元二次方程的韋達定理可知為方程的兩根.故答案為：.題型六利用根與系數(shù)的關系求參數(shù)【例6】（2022秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知關于的方程的兩根分別是，且滿足，則實數(shù)的值為（

）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】由題設，又，所以，可得.故選：A【變式61】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中?？茧A段練習）已知關于x的方程有兩個實數(shù)根.若滿足，則實數(shù)k的取值為（）A．或6B．6C．D．【答案】C【解析】關于x的方程有兩個實數(shù)根，，解得，實數(shù)k的取值范圍為，根據(jù)韋達定理可得，，，，即，解得或(不符合題意，舍去)，實數(shù)k的值為.故選：C.【變式62】（2023秋·江西新余·高一新余市第一中學?？奸_學考試）關于的一元二次