nk第六章得空間

第六章歐幾里得空間內(nèi)積的定義與性質(zhì)向量的模、單位向量向量的夾角正交組、標(biāo)準(zhǔn)正交組正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基施密特正交化方法正交矩陣、正交變換定義1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)歐氏空間的基本性質(zhì)：性質(zhì)1.對(duì)于任意的α

V，都有證明：性質(zhì)2.α為V中某個(gè)向量，若對(duì)于任意的β

V，都有證明：若α≠0，那么取β＝α與題設(shè)矛盾所以有α＝0定義2

對(duì)于任意向量α

V，都有實(shí)數(shù)二、向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)定義向量α的長(zhǎng)度(或者模)為模為1的向量稱為單位向量。只有0向量的模為0例如，在歐氏空間Rn中，向量的模為在歐氏空間R2中，向量(1,0),(0,1),是單位向量。對(duì)于任意向量α

Rn,kR，我們有特別是，當(dāng)是一個(gè)單位向量定理1.對(duì)于歐氏空間的任意兩個(gè)向量α，β恒有或者證明：若α,β線性相關(guān)，則有α＝0,或者β＝0,或者α＝kβ

在上述情況下，容易證明題設(shè)的等號(hào)成立。若α,β線性無關(guān)，則對(duì)于任意kR,都有這是一個(gè)關(guān)于k的一元二次多項(xiàng)式，因?yàn)樯鲜霾坏仁匠闪⒌臈l件是即或者證明：由定理1還有，當(dāng)α≠0，β≠0時(shí)，我們有定義為向量α,β的夾角當(dāng)向量α,β的夾角等于

/2時(shí)，稱α,β正交，此時(shí)有解例.在歐氏空間R2中，向量(1,0)與(0,1)相互正交，向量亦正交例.在歐氏空間中，若向量都正交則的任意線性組合正交證明：已知＝0的任意線性組合正交所以1正交向量組的概念若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法例如：在歐氏空間Rn中，向量組是正交向量組證明2正交向量組的性質(zhì)兩端求α1的內(nèi)積又例1

已知三維向量空間中兩個(gè)向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一組正交基.3向量空間的正交基即解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一組正交基.則有解５規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）例如

同理可知問題：如果已知?dú)W氏空間Vn的一組基（可能不是標(biāo)準(zhǔn)基），是否可以求得Vn的一組標(biāo)準(zhǔn)基？（1）正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法（2）單位化，取例２

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過程再單位化，得規(guī)范正交向量組如下例３解再把它們單位化，取例４解把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取證明定義4定理四、正交矩陣與正交變換

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．性質(zhì)

正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變．證明例５

判別下列矩陣是否為正交陣．定義5

若為正交陣，則線性變換稱為正交變換．解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于例６解1．將一組基規(guī)范正交化的方法：先用施密特正交