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文檔簡介

第六章歐幾里得空間內積的定義與性質向量的模、單位向量向量的夾角正交組、標準正交組正交基、標準正交基施密特正交化方法正交矩陣、正交變換定義1內積一、內積的定義及性質歐氏空間的基本性質：性質1.對于任意的α

V，都有證明：性質2.α為V中某個向量，若對于任意的β

V，都有證明：若α≠0，那么取β＝α與題設矛盾所以有α＝0定義2

對于任意向量α

V，都有實數二、向量的長度及性質定義向量α的長度(或者模)為模為1的向量稱為單位向量。只有0向量的模為0例如，在歐氏空間Rn中，向量的模為在歐氏空間R2中，向量(1,0),(0,1),是單位向量。對于任意向量α

Rn,kR，我們有特別是，當是一個單位向量定理1.對于歐氏空間的任意兩個向量α，β恒有或者證明：若α,β線性相關，則有α＝0,或者β＝0,或者α＝kβ

在上述情況下，容易證明題設的等號成立。若α,β線性無關，則對于任意kR,都有這是一個關于k的一元二次多項式，因為上述不等式成立的條件是即或者證明：由定理1還有，當α≠0，β≠0時，我們有定義為向量α,β的夾角當向量α,β的夾角等于

/2時，稱α,β正交，此時有解例.在歐氏空間R2中，向量(1,0)與(0,1)相互正交，向量亦正交例.在歐氏空間中，若向量都正交則的任意線性組合正交證明：已知＝0的任意線性組合正交所以1正交向量組的概念若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法例如：在歐氏空間Rn中，向量組是正交向量組證明2正交向量組的性質兩端求α1的內積又例1

已知三維向量空間中兩個向量正交，試求使構成三維空間的一組正交基.3向量空間的正交基即解之得由上可知構成三維空間的一組正交基.則有解５規(guī)范正交基（標準正交基）例如

同理可知問題：如果已知歐氏空間Vn的一組基（可能不是標準基），是否可以求得Vn的一組標準基？（1）正交化，取，６求規(guī)范正交基的方法（2）單位化，取例２

用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過程再單位化，得規(guī)范正交向量組如下例３解再把它們單位化，取例４解把基礎解系正交化，即合所求．亦即取證明定義4定理四、正交矩陣與正交變換

為正交矩陣的充要條件是的列向量都是單位向量且兩兩正交．性質

正交變換保持向量的長度不變．證明例５

判別下列矩陣是否為正交陣．定義5

若為正交陣，則線性變換稱為正交變換．解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于例６解1．將一組基規(guī)范正交化的方法：先用施密特正交

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