第10講 點(diǎn)差法與定比點(diǎn)差法（解析幾何）（原卷版）

第10講點(diǎn)差法與定比點(diǎn)差法知識與方法1、點(diǎn)差法的原理(1)假設(shè)點(diǎn)在有心二次曲線上，且弦的中點(diǎn)為代入曲線,有,兩式作差,得;左右兩邊同除以,得.變形得,其中為有心二次曲線的離心率(圓的離心率).（2）拋物線,任意弦的中點(diǎn)為代入曲線方程，有,兩式作差,得,左右兩邊同除以,得.2、有心二次曲線實(shí)仿射平面的有一個(gè)對稱中心的常態(tài)二次曲線稱為有心二次曲線,所有有心二次曲線都是橢圓或雙曲線.3、點(diǎn)差法基本題型（1）求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程（2）過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)軌跡問題（3）求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程（4）圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題與中點(diǎn)有關(guān)的的幾何特征：對稱、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四邊形等.4、點(diǎn)差法在雙曲線中的適用條件已知雙曲線,任意弦的中點(diǎn),若當(dāng)中點(diǎn)滿足,則這樣的雙曲線的中點(diǎn)弦不存在（如圖陰影部分）;若當(dāng)中點(diǎn)滿足或，則這樣的雙曲線的中點(diǎn)弦存在.5、定比分點(diǎn)若AM=λMB,則稱點(diǎn)M為點(diǎn)A當(dāng)λ>0時(shí),點(diǎn)M在線段AB當(dāng)λ<0(λ≠?1)時(shí),點(diǎn)M定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:若點(diǎn)Ax1,y16、定比點(diǎn)差法原理:若AM=λMB,AN=?λNB,則稱定理:設(shè)A,B為有心二次曲線x2a2則一定有x證明:(1)設(shè)點(diǎn)A因?yàn)锳M=則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Mx將A,B代入曲線,有x(1)-(3),得x1這樣就得到了1a2?(2)若點(diǎn)MxM,yM7、定比點(diǎn)差法基本題型(1)求弦長被坐標(biāo)軸分界的兩段的比值范圍;(2)簡化證明過定點(diǎn)的直線問題的運(yùn)算以及定值問題;典型例題點(diǎn)差法關(guān)于點(diǎn)差法的研究,在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用,主要有以下四種基本題型.求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程【例1】已知雙曲線x2?y22=1,過B(1,1)能否作直線l,使l求過定點(diǎn)的弦或平行弦的中點(diǎn)軌跡【例2】已知橢圓x24+y23=1的弦AB求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程【例3】已知中心在原點(diǎn),一焦點(diǎn)為F(0,50)的橢圓被直線l圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題【例4】已知橢圓x24+y2【例5】已知橢圓E:x2(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A(?a,0),點(diǎn)Q0,y定比點(diǎn)差法關(guān)于點(diǎn)差法的研究,在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用,下面主要從三方面來研究.求弦長被坐標(biāo)軸分界的兩段的比值范圍

求

|【例7】已知橢圓C:x2b2+y2a2=1(a>b>0)的上下兩焦點(diǎn)分別為F1,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線L:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓C交于A,簡化證明過定點(diǎn)的直線問題的運(yùn)算以及定值問題【例8】設(shè)橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|【例9】已知F1(?c,0),F2(c,0)為有心二次曲線E:x2a2±【例10】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)

(3)設(shè)

【例11】已知橢圓x24+y23=1,點(diǎn)P(4,0),過點(diǎn)P作橢圓的割線【例12】設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA【例13】已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>(1)求橢圓M的方程.(2)若k=1,求|(3)設(shè)P(?2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D,若C,D和點(diǎn)【例14】已知點(diǎn)P(0,1),橢圓C:x24+y2=強(qiáng)化訓(xùn)練已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b已知橢圓x225+y2(1)求證:x(2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T,求直線BT的斜率k.若拋物線C:y2=x上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l設(shè)F1,F2分別為橢圓x23+y2雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,A.2B.3C.5D.10已知橢圓x26