《實(shí)變函數(shù)》綜合訓(xùn)練題(三)及解答

《實(shí)變函數(shù)》綜合訓(xùn)練題（三）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（A）（A）A\(AB)A\B（B）A\(AB)A\B（D）(B\A)A（C）(BA)AAB2、若ERn是孤立點(diǎn)集，則（B）（B）E（C）E的內(nèi)部（D）EE集，則（C）（A）EE3、設(shè)W是[0,1]上的無理數(shù)（A）W是可數(shù)集（B）W是開集（C）W是不可數(shù)集（D）0mW，則（D）4、設(shè)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)1（A）在上連續(xù)（B）在中的不連續(xù)點(diǎn)有不可數(shù)個(gè)f(x)R1f(x)R1（C）在R1上一定不L可積（D）是上的可測函數(shù)f(x)f(x)R15、設(shè)E是Rn中的可測集，f(x)為E上的可測函數(shù)，若f2(x)dx0，則（A）E（A），f(z)在E上幾乎處處為零（C）在E上，f(z)0（B）在E上，f(z)0（D）mE[xf(x)0]0二、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正確答案）1、設(shè)E是[0,1]上康托集，則（B、C）（A）E（C）E2、若ER1（A）0是可數(shù)集（B）E是閉集點(diǎn)都是聚點(diǎn)（D）mE0C、D）（B）E0中的每一至少有一個(gè)聚點(diǎn)，則（*mEm*（C）E可能是可數(shù)集（D）E可能是不可數(shù)集3、設(shè)E[a,b]是不可測集，則E的特征函數(shù)X(x)是（C、D）E（A）上的簡單函數(shù)（B）上的可測函數(shù)[a,b][a,b]（C）E上的連續(xù)函數(shù)（D）上的不可測函數(shù)[a,b]4、設(shè)f(x)在可測集E上不L可積，則（B、D）（A）f(z)和f(z)都在E上不L可積（B）和至少有一個(gè)在上不可積f(z)f(z)EL（C）在上可能可積f(z)EL（D）在上一定不可積f(z)EL5、設(shè)是的有界變差函數(shù)，則（A、D）f(z)[a,b]（A）在上幾乎處處連續(xù)（B）是的連續(xù)函數(shù)f(z)[a,b]f(z)[a,b]（C）在上不可導(dǎo)（D）在上幾乎處處可導(dǎo)f(z)[a,b]f(z)[a,b]三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、設(shè)為全集，，為的兩個(gè)子集，則ABXABXA\(A\B)2、設(shè)ERn，如果滿足，則是完全集。EEEE3、若開區(qū)間和是直線上開集的兩個(gè)不同的構(gòu)成區(qū)間，則(a,b)(c,d)G(a,b)(c,d)。4、設(shè)是無限集，是至多可數(shù)集，則AB的基數(shù)ABA。AB5、設(shè)，為可測集，0，則m(E\E)mE。EEmE1221216、設(shè)是定義在可測集上的有限實(shí)函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)ab，都有f(x)EE[xaf(x)b]是可測集，則是可測集上的可測函數(shù)。f(x)E7、設(shè)ER1是孤立點(diǎn)集，則0。*mE8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列，且f(x)f(x)(xE)，則{f(x)}Enna.e.f(x)(xE)不一定成立。f(x)n9、設(shè)是上的可測函數(shù)，則在上的可積的充要條件是在上f(x)Ef(x)ELf(x)E勒貝格可積。10、若是上的有界變差函數(shù)或絕對連續(xù)函數(shù)，則上的導(dǎo)數(shù)f(x)[a,b]f(x)[a,b]幾乎處處存在。四、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個(gè)型集的并集仍為型集。（√）FF2、無限集中一定存在具有最大基數(shù)的無限集。（×）3、設(shè)E是可測集，則一定存在開集，使得EG，且m(G\E)0。（×）G4、設(shè)E和E都是可測集，f(z)是E和E上的可測函數(shù)，則f(x)不一定是E上的E121212可測函數(shù)。（×）是可測集上的可測函數(shù)，且f(x)dx存在（可為），則f(x)和f(x)至E5、設(shè)f(z)E少有在E上L可積。五、簡答題（√）1、簡述無窮多個(gè)零測集的并集是否必為零測集？答：不一定為零測集。例如R1{x}，顯然{x}為單元素集，為零測集，不是零測R1xR集。2、上的可測集與Borel集的關(guān)系？R1答：①Borel集是可測集是Borel集；個(gè)Borel集與零測集的差或并。與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？；②可測集不一定③可測集一定可以表示成一3、可測集ER1上的可測函數(shù)答：①可測集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)；E②可測集上的可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；E③對E上的一個(gè)可測函數(shù)，任取0，在可測集中E去掉一個(gè)測度小于的可測子集后，可使此可測函數(shù)成為連續(xù)函數(shù)。六、計(jì)算題esinxf(x)xx[0,1]Qx[0,1]Q1、設(shè)，其中Q是有理數(shù)集，求f(x)dx。[0,1]解：因?yàn)閙{[0,1]，所以f(x)xa.e.于[0,1]，于是Q}0f(x)dxxdx12[0,1][0,1]1nx22、設(shè)f(x)，E(0,1]，求limf(x)dx。1n2x2nnnE1nx21nx11解：因?yàn)閒(x)，而dx121nx221nx2n1x2112x22x2E所以，由L控制收斂定理limf(x)dxlimf(x)dx0dx0nnnnE七、證明題EE1、證明集合等式：(A\B)C(AC)\B證明：（方法1）對任意x(A\B)C，有x(A\B)且xC，即xA，xB且xC所以xAC或xB，即x(AC)\B反之，對任意x(AC)\B，有xAC且xB，即xA，xC且xB，所以x(A\B)且xC，即x(A\B)C，綜上所述，(A\B)C(AC)\B（方法2）(A\B)C(A。。BC)C(AC)B(AC)B(AC)\B。CC2、設(shè)E是[0,1]中的無理點(diǎn)全體，則E是可測集且mE1。000證明：記Q是[0,1]中的有理點(diǎn)全體，由于Q是可數(shù)集，從而Q可測，且mQ0。又0000E[0,1]\Q，所以，E是可測集且mEm[0,1]mQ100。000003、設(shè)ER1，1,xE，證明：(x)是R1上的可測函數(shù)的充要條件是E為可(x)0,xEEE測集。證明：充分性：因?yàn)?x)是R1上的可測函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a，R1[x(x)a]EE是可測集，特別取a1，注意到R[x(x)1]E，可得E為可測集。122E必要性：若E為可測集，則(x)是R1上的簡單函數(shù)，從而為R1上的可測函數(shù)。E4、設(shè)f(x)為可測集ER1上的可測函數(shù)列，若lim|f(x)|dx0，則在E上nnnEx0。fn證明：對任意0，由于mE[xf(x)]f(x)dxnf(x)dxnnE[xf(x)]En所以limmE[xf(x)]0，nn即在上fx0。En，若是E上一列幾乎處處收斂于零的可積函數(shù)，且滿足對任意5、設(shè)mEf(x)n0，存在0，只要eE,me，就有|f(x)|dx(n1)，證明：nelim|f(x)|dx0。nnE證明：由題設(shè)及Egoroff定理得，對題設(shè)中的0，存在可測集FE，mF，在E\F上f(x)一致收斂于0，從而對