專題21 三次函數(shù)問(wèn)題（解析版）

專題21三次函數(shù)問(wèn)題一、單選題1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列一定不正確的序號(hào)是（）A．①② B．①③C．③④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：當(dāng)f′(x)>0時(shí)，y＝f(x)是遞增的；當(dāng)f′(x)<0時(shí)，y＝f(x)是遞減的．故可得，①②中函數(shù)圖象的增減趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的；而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯(cuò)誤；④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故錯(cuò)誤．所以不正確的是③④，故選：C.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通過(guò)條件，先確定函數(shù)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，，令，得，又，所以對(duì)稱中心為，所以，…，，.所以．故選：B.3．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知三次函數(shù)，且，，，則（）A．2023 B．2027 C．2031 D．2035【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可以知道，進(jìn)而代值得到答案.【詳解】設(shè)，則，所以，所以，所以.故選：D.4．（2021·湖南寧鄉(xiāng)·高三月考）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則（）A． B．C．的值不可能是 D．的值可能是【答案】A【分析】先根據(jù)對(duì)稱中心求解出的值，再根據(jù)求解出的值，由此可求的解析式；根據(jù)不等式恒成立，通過(guò)分離參數(shù)得到，借助不等式得到，由此求解出的范圍并判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，所以，所以，故A正確；所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；所以，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，取等號(hào)時(shí)，又，所以，取等號(hào)時(shí)，所以，所以，故CD均錯(cuò)誤；故選：A.5．（2021·江蘇金湖·高二期中）為響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策，某工作組要在村外一湖岸邊修建一段道路（如圖中虛線處），要求該道路與兩條直線道路平滑連接（注：兩直線道路：y1=2x，y2=3x6分別與該曲線相切于（0，0），（2，0），已知該彎曲路段為三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)解析式為（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由題知，在點(diǎn)（0，0），（2，0）處的切線方程分別為y1=2x，y2=3x6，可得，可列出關(guān)于的方程組，解之即可【詳解】由于彎曲路段過(guò)點(diǎn)（0，0），所以設(shè)，則，因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0），（2，0）處的切線方程分別為y1=2x，y2=3x6，所以，所以，解得，所以，故選：B6．（2021·安徽·東至縣第二中學(xué)高二期中（理））如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題目圖像可知，該三次函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，故可設(shè)該三次函數(shù)為，根據(jù)題意列出三個(gè)方程，，，，即可求解．【詳解】因?yàn)槿魏瘮?shù)過(guò)原點(diǎn)，故可設(shè)該三次函數(shù)為，則，由題得：，，即，解得，所以．故選：C.7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三次函數(shù)f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定義域R上無(wú)極值點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【答案】C【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由題意得其導(dǎo)函數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)根的判別式可求得m的取值范圍.【詳解】，由題意得導(dǎo)函數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，所以恒成立，，解得，故選：C.8．（2021·安徽·東至縣第二中學(xué)高二月考（理））人們?cè)谘芯繉W(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)都有對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心為（其中）.已知函數(shù).若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意，求出對(duì)稱中心，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】由題意得,,,令，解得：，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為：，又，所以.故選：C9．（2021·江蘇無(wú)錫·高三期中）某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)形如的某三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論一定是（）A．函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，1)B．函數(shù)在x＝0處有極值C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，2]D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱【答案】D【分析】首先假設(shè)4個(gè)選項(xiàng)都正確，依題意只有一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，；對(duì)于B選項(xiàng)，；對(duì)于C選項(xiàng)，由遞減區(qū)間可得；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，則有，代入化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，所以，所以，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，此時(shí)ABC均正確，D錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，若，則關(guān)于成中心對(duì)稱；10．（2021·陜西省商丹高新學(xué)校高二月考（理））已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4【答案】D【解析】，由題意得恒成立，，，故選D.11．（2021·全國(guó)·高三月考（文））已知，，，若三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范圍，結(jié)合零點(diǎn)式求出，，的等式關(guān)系，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，，即，得，代入得，∵，，解得，設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為，比較系數(shù)得，，故故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件求出參數(shù)，，利用函數(shù)零點(diǎn)式以及不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021·山西·大同一中高三月考（理））已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定，由此化簡(jiǎn)所求式子為；利用，配湊出符合對(duì)號(hào)函數(shù)的形式，利用對(duì)號(hào)函數(shù)求得最小值.【詳解】在上單調(diào)遞增，恒成立，，，，，，令，設(shè)，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)號(hào)函數(shù)求解最值的問(wèn)題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠通過(guò)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出符合對(duì)號(hào)函數(shù)特點(diǎn)的函數(shù).13．（2021·山西臨汾·高三月考（理））已知三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】一定有兩零點(diǎn)與，所以只需或共有四個(gè)根即可．結(jié)合有兩個(gè)零點(diǎn)，所以必有或．然后分兩種情況結(jié)合函數(shù)圖象討論即可.【詳解】由，則得或三次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需或共有四個(gè)根即可，所以或.又方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則或共有四個(gè)根.在,上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖①)則，即，解得.當(dāng)，得，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖②)則，即，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值情況等研究到位．本題還考查了學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合及分類討論思想解題的能力.14．（2021·山西臨汾·高三月考（文））已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令得或，可得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，算出的極值，又方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為方程，或方程共有四個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖象列出滿足的條件即可.【詳解】，由得或，又，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值為，的極小值為；又有四個(gè)實(shí)數(shù)根，故方程，或方程共有四個(gè)實(shí)數(shù)根，或或，解得：.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.15．（2021·云南紅河·高三月考（理））下列關(guān)于三次函數(shù)敘述正確的是（）①函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形；②函數(shù)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，則過(guò)點(diǎn)的切線可能有一條或者三條．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱中心的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解后判斷．【詳解】①的對(duì)稱軸為的軸對(duì)稱圖形，所以必定是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為，所以①正確：（或者可用證明）②由于函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，如果存在極大值，那么一定存在極小值，故②錯(cuò)誤；③設(shè)切點(diǎn)為，，斜率，切線為，所以，化簡(jiǎn)得：，∴或者，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，切線與有唯一的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，切線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以③正確；④過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)不一定是，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，將，，代入化簡(jiǎn)可得：，∴或者，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，切線只有一條，當(dāng)時(shí)，切線有兩條，所以④錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的對(duì)稱性的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題中難度較大．特別是求切線方程，計(jì)算難度很大，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力要求較高，本題屬于困難題．16．（2021·湖南·高三開(kāi)學(xué)考試（理））三次函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸平行，則在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)能求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】，，由題意得，解得，，，令，得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用切線與直線平行求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.17．（2021·上海交大附中高一期末）如果一個(gè)函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么將的圖象向左平移m個(gè)單位再向下平移n的單位后得到一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象.即函數(shù)為奇函數(shù).那么下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①二次函數(shù)（）的圖象肯定不是一個(gè)中心對(duì)稱圖形；②三次函數(shù)（）的圖象肯定是一個(gè)中心對(duì)稱圖形；③函數(shù)（且）的圖象肯定是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征直接判斷結(jié)果；②三次函數(shù)（）向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后得到，是奇函數(shù)，所以根據(jù)定義也可判斷三次函數(shù)是中心對(duì)稱；③，根據(jù)對(duì)稱公式直接判斷對(duì)稱中心.【詳解】①二次函數(shù)（）一定是軸對(duì)稱圖形，不可能是中心對(duì)稱圖形,故正確；②三次函數(shù)（）向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后得到當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)，平移后的函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)（）也一定是中心對(duì)稱圖形，故正確；③（且），，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查不同類型函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題，意在考查理解題意，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，本題的難點(diǎn)是②的判斷，需理解題意，根據(jù)平移后的函數(shù)是奇函數(shù)判斷.18．（2021·安徽安慶·高二期中（文））設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f（x）=3ax（x-2），若函數(shù)y=f（x）共有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式求出a，b，c的關(guān)系以及函數(shù)的解析式，求函數(shù)的極值，根據(jù)極值和零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】∵f(x)=ax3+bx2+cx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax，∴2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,則f(x)=ax3-3ax2+1,①若a＞0,則由f′(x)=3ax(x-2)＞0得x＞2或x＜0,由f′(x)＜0得0＜x＜2,則函數(shù)在x=0時(shí)取得極大值f(0)=1,在x=2時(shí),函數(shù)取得極小值f(2)=8a-12a+1=1-4a,若函數(shù)y=f(x)共有三個(gè)不同的零點(diǎn),則f(2)=1-4a＜0,解得a＞.②若a＜0,則由f′(x)=3ax(x-2)＜0得x＞2或x＜0,由f′(x)＞0得0＜x＜2,則函數(shù)在x=0時(shí)取得極小值f(0)=1,在x=2時(shí),函數(shù)取得極大值f(2)=8a-12a+1=1-4a，則此時(shí)函數(shù)y=f（x）只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足條件.綜上a＞.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．19．（2021·重慶一中高三月考（理））若三次函數(shù)（）的圖象上存在相互平行且距離為的兩條切線，則稱這兩條切線為一組“距離為的友好切線組”.已知，則函數(shù)的圖象上“距離為4的友好切線組”有組？A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)求得斜率，寫(xiě)出切線方程，利用距離公式得到關(guān)于的方程，解得共有3解，即可得到結(jié)論.【詳解】∵，則=，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A(,)，B(,)，若兩切線平行，則的兩根為，，且+=2，不妨設(shè)>，過(guò)A的切線方程為y=x-,過(guò)B的切線方程為y=x-,∴兩條切線距離為d==,化簡(jiǎn)得=1+9，令，顯然u=1為一解，又-8u+10=0有兩個(gè)異于1的正根，∴這樣的u有3解，而，>，且+=2，即與是一一對(duì)應(yīng)的，∴這樣的，有3組，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了新定義的理解與應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力及推理能力，屬于難題.20．（2021·河南信陽(yáng)·高二期末（文））設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù).已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述：11313關(guān)于的極小值，下列選項(xiàng)中正確的是A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的相異實(shí)根數(shù)可化為方程的相異實(shí)根數(shù)，方程的相異實(shí)根數(shù)可化為函數(shù)與水平線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)，則依據(jù)表格可畫(huà)出其圖象的大致形狀，從而判斷極小值的取值范圍.【詳解】方程的相異實(shí)根數(shù)可化為方程的相異實(shí)根數(shù)，方程的相異實(shí)根數(shù)可化為函數(shù)與水平線兩圖形的交點(diǎn)數(shù)，依題意可得量圖形的簡(jiǎn)圖可以有以下兩種情況：（1）當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，（2）當(dāng)?shù)淖罡叽雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)取極小值時(shí)對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)位于水平線與之間，所以其縱坐標(biāo)（即極小值）的范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.21．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（理））對(duì)于三次函數(shù)，定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)過(guò)討論發(fā)現(xiàn)命題：“一定存在實(shí)數(shù)，使得成立”為真，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：①一定存在實(shí)數(shù)，使得成立；②一定存在實(shí)數(shù)，使得成立；③若，則；④若存在實(shí)數(shù)，且滿足：，則函數(shù)在上一定單調(diào)遞增，所有正確的序號(hào)是A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，可判斷①，②，由三次函數(shù)的對(duì)稱中心判斷③；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性判斷④；【詳解】，，因?yàn)椋寓谡_，但①不一定正確.由已知命題得，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以③正確.若存在實(shí)數(shù)，且滿足：，則函數(shù)在上可以單調(diào)遞增，也可以單調(diào)遞減，所以④不正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題．22．（2021·全國(guó)·一模（理））已知三次函數(shù)，，且有三個(gè)零點(diǎn).若三次函數(shù)和均為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)或個(gè)【答案】A【詳解】函數(shù)和均為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必為完全平方式設(shè)，有三個(gè)零點(diǎn)，不單調(diào)，即必有兩個(gè)不等零點(diǎn)與同號(hào)，不可能有兩個(gè)相異零點(diǎn)，單調(diào)，是三次函數(shù)必有零點(diǎn)，故有唯一零點(diǎn)故選點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，首先審清題目的意思是本題關(guān)鍵，理解“為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)”，繼而給出有三個(gè)零點(diǎn)的情況，結(jié)合題目求出結(jié)果，本題有一定難度．23．（2021·全國(guó)溫州·高二期末）若三次函數(shù)有極值點(diǎn)且，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，那么關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【詳解】由題意可得函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中，則：或，據(jù)此分類討論：①若，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.②若，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.②若，沒(méi)有極值點(diǎn)，不合題意.綜上可得，方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、多選題24．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則（）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【分析】求導(dǎo)得，故由題意得，，即，故.進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由于，故，進(jìn)而得，即，進(jìn)而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋?，所以，解得，?因?yàn)椋缘葍r(jià)于.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），從而，故.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，進(jìn)而將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再結(jié)合得，進(jìn)而得.考查運(yùn)算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.25．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由，，，四點(diǎn)所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù)，其圖象過(guò)，兩點(diǎn)，且的圖像在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).若將由，，，四點(diǎn)所確定的“型函數(shù)”記為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程為B．C．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【分析】A.根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求解判斷；B.根據(jù)的圖象過(guò)點(diǎn)及，設(shè)(其中)，然后再利用，求解判斷；C.由B得到判斷；D.由B結(jié)合，有，判斷.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以的方程為，即，所以A正確.因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)及，所以有兩個(gè)零點(diǎn)0，4，故可設(shè)(其中)，則，由，，得，，所以，故B正確.由選項(xiàng)B可知，，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確.當(dāng)時(shí)，有，，所以，故D不正確.故答案為：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、雙空題26．（2021·重慶·高二期末）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足.（1）函數(shù)的對(duì)稱中心為_(kāi)_____________；（2）現(xiàn)已知當(dāng)直線和的圖象交于、、三點(diǎn)時(shí)，的圖象在點(diǎn)、點(diǎn)處的切線總平行，則過(guò)點(diǎn)可作的___________條切線.【答案】【分析】（1）解方程求得，求出的值，即可得出函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）分析出函數(shù)的對(duì)稱中心為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，可得出函數(shù)的解析式，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1），則，，由，可得，且，故函數(shù)的對(duì)稱中心為；（2）的圖象在點(diǎn)、點(diǎn)處的切線總平行，所以，點(diǎn)、關(guān)于的對(duì)稱中心對(duì)稱，故點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心，又因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，所以，函數(shù)的對(duì)稱中心為，即點(diǎn)，因?yàn)?，則，，所以，，解得，即，則.所以，函數(shù)在處的切線方程為，即，將點(diǎn)代入切線方程得，整理得，即，解得或.故過(guò)點(diǎn)的函數(shù)的圖象的切線有條.故答案為：（1）；（2）.四、填空題27．（2021·河南信陽(yáng)·高二期末（理））經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心點(diǎn)為，則，的值依次為_(kāi)______________________．【答案】3，1【分析】求出，根據(jù)題意可得，求出，再由即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又的?duì)稱中心為，所以，解得，由，解得．故答案為：3，128．（2021·湖北十堰·高二期末）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【分析】函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則導(dǎo)函數(shù)在在上大于等于0恒成立，從而，，通過(guò)統(tǒng)一變量和換元即可構(gòu)造出所求函數(shù)，求導(dǎo)即可得到其最值．【詳解】由題意得在上恒成立，則，，所以，設(shè)，則.設(shè)，.由，解得，易得當(dāng)時(shí)，.故的最小值為.故答案為：．29．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））