補2有效值、功率等電量的概念

補2：有效值、功率等電量的概念（與第六次課同講）一、正弦交流電路中各電量的概念1、正弦交流電路的電流、電壓有效值電流有效值的定義：所謂有效值是指在效應上（如熱效應）與周期量在一個周期內(nèi)的平均效應相等的直流量。當讓一個周期電流i和一個直流電流I分別通過兩個等值的電阻R時，在相同時間T內(nèi)它們產(chǎn)生的熱量分別為W Ti2（t）Rdt10W二12RT2如果周期電流與直流電流的發(fā)熱量相等，則W]=W2，由此可以得到I= i2（t）dt （1-1）To從上式可以看出周期電流的有效值等于它瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的積分的平均值再取平方根，因此又稱有效值為均方根值。當周期電流為正弦量時，將正弦電流i=Icosgt+p)mi代入式（1），得其中所以或同理，正弦電壓的有效值為=i代入式（1），得其中所以或同理，正弦電壓的有效值為=i丄JT[lcosgt+申)了dt

\；T0m i=1丄I2fTcos2@t+申)dtTm0 ifTcos2(①t+p)dt=fT1+cos2(mt+^.)dt=-0i022=0.707Im1-2)I=J2i=1.414Imu=Ucos@t+p)mu1-3)U=Um=0.707U2m必須強調(diào)指出，有效值的計算式（1-1）適用于任意周期量，而有效值等于幅值的這一關(guān)系僅適用于正弦量。

在工程上，一般所說的正弦電壓、電流的大小都是指有效值。例如，交流測量儀表所指示的讀數(shù)、交流電氣設備銘牌上的額定值都是指有效值。我國所使用的單相正弦源的電壓U=220V,就是正弦電壓的有效值。應當指出，并非在一切場合都使用有效值來表征正弦量的大小。例如，在確定各種交流電氣設備的耐壓值時,就是按電壓的最大值來考慮的。2、正弦交流電路的功率和功率因數(shù)2.1瞬時功率：輸入任意一端口電路的瞬時功率p等于端口的電壓u和電流i的乘積，此時端口的電壓u和電流i的參考方向?qū)﹄娐穬?nèi)部關(guān)聯(lián)。圖1圖1一端口正弦電流電路如圖1所示的一端口電路N有：p(t)二u(t)i(t)若設正弦交流一端口電路的正弦電壓和電流分別為：u=\2Ucos①ti=J21cos(①t一甲)式中，p=pu-pi為端口上電壓與電流的相位差，則在某瞬時輸入該正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的瞬時功率為p(t)=u(t)-i(t)=\2Ucosgt)x*；21cos(?t—申) (1-4)由式(1-4)可知：瞬時功率由兩部分組成，一部分是恒定分量UIcos申，另一部分是兩倍于電壓(或電流)角頻率的正弦分量。。1-5)如果把式(4)進一步展開為：p=UIcos申(1+cos2wt)+UIsin申sin2w1-5)則瞬時功率分解為兩個都隨時間變化的部分：一部分是非正弦周期分量UIcos申(l+cos2?t)，它是輸入正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的瞬時功率中的不可逆部分，除零值外，它恒大于零，其作用是在正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路內(nèi)部消耗的能量；另一部分是正弦分量UIsinpsin2?t，它是輸入正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的瞬時功率中的可逆部分，它在一個周期內(nèi)正負交替變化兩次，其作用是在正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路內(nèi)部與外部之間周期性交換能量。由于瞬時功率的實用意義不大，為了充分反映正弦穩(wěn)態(tài)電路中能量轉(zhuǎn)換的情況，下面將介紹一些其他的功率概念。2.2平均功率：平均功率為瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值。由于式(1-4)所示的瞬時功率為周期量，故正弦穩(wěn)態(tài)電路一端口電路的平均功率1-6)P=1JTp(t)dt=1JTUI[cosq+cos(2①t—Q)]dt=UIcos1-6)T0 T0由式(6)可見平均功率就是式(1-4)中的恒定分量，也是式(1-5)中不可逆部分的恒定分量，其單位為瓦(W)。式(1-6)表明，正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路吸收的平均功率等于端口上電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下端口上電壓的有效值、電流有效值和cos申的乘積，也就是說平均功率不僅取決于電壓有效值、電流有效值的大小，還與電壓和電流相位差的余弦有關(guān)Ocosp稱為該二端口網(wǎng)絡的功率因數(shù)，而申稱為功率因數(shù)角(申就是電壓和電流的相位差角)。在電氣工程中，平均功率也稱為有功功率。2.3無功功率1-7)式(1-4)還可以改寫為如下形式：p(t)=u(t)-i(t)=P(1+cos2wt)+Qsin2wt1-7)為正、負交替變化，則表示在電源和負載間往返交換的功率分量，它的幅值為Q=UIsin9。在工程上為了描述電源與負載間的能量往返交換的情況，把Q定義為無功功率，即：Q=UIsin9無功功率的單位是乏（var）。無功功率可以是正的，也可以是負的。當申>0時，電壓超前于電流（感性電路）時，Q>0,在圖1相關(guān)聯(lián)參考方向下，認為該電路“吸收”無功功率；當申<0時，即電壓滯后電流（容性電路）時，Q<0，認為該電路“發(fā)出”無功功率；當申=0時，即電壓與電流同相位（電阻性電路），Q=0，認為該電路即不吸收也不發(fā)出無功功率。無功功率就是電源與負載之間往返交換功率的最大值且交換的頻率是交流信號的兩倍。從有功功率和無功功率的概念出發(fā)，可以認為Ucos申、Usin申為電壓的有功分量、無功分量；Icos申、Isin申為電流的有功分量、無功分量。2.4視在功率：電路輸入端電壓與電流有效值的乘積的定義為正弦交流電路的視在功率。視在功率用字母S表示，即S=UI （1-8）視在功率的單位是伏安（VA）。在電工技術(shù)中，視在功率這個概念有其實用意義，電機、變壓器等電氣設備的容量就是指的視在功率。例如，某大型變壓器的容量是10000kVA，就是說它的額定視在功率是10000kVA，當cosp=1時，這臺變壓器的輸出有功功率時10000kVA，而當cos申=0.75時，它的輸出有功功率就是10000x0.75=7500kVA。由于S二UI，P二UIcos9，Q二UIsin9，在同一電路的S，P，Q,之間有下列關(guān)系：9二arCtan多可見，三者之間構(gòu)成一個直角三角形，叫做功率三角形。在功率三角形中，P是三角形的底邊，Q是它的對邊，S是它的斜邊，S和P之夾角為功率因數(shù)角申，如圖2所示：圖2功率三角形對于同一電路，功率三角形與其阻抗三角形、電壓三角形是相似三角形。2.5功率因數(shù)P九二=cos9S該式表示電源向負載能夠發(fā)出的實際功率相對最大功率的折扣。提高功率因數(shù)最簡便的措施是并聯(lián)電容器。并聯(lián)電容器的容性無功電流能抵消負載的感性無功電流使總的無功電流減小，即減小了電壓和電流之間的相位差，從而提高了電路的總功率因數(shù)。

提高功率因數(shù)的意義：（1）電源利用率提高；（2）負載吸收有功功率大，線路的損耗小。2.6復功率的定義正弦交流電路的有功功率、無功功率和視在功率三者之間的關(guān)系還可以通過“復功率”表述。S口UI*二UIcosp+jUIsinQ二P+jQ復功率是一個輔助計算功率的復數(shù)，它將正弦穩(wěn)態(tài)電路的三個功率和功率因數(shù)統(tǒng)一為一個公式表示。它并沒有實際的物理意義。復功率的單位是（伏安VA）。注意：正弦交流電路中總的有功功率是電路各部分有功功率之和，總的無功功率是電路各部分無功功率之和，即有功功率和無功功率分別守恒。電路中的復功率也守恒，但視在功率不守恒。二、非正弦交流電路中電量的概念1、非正弦周期交流電路的有效值在第1節(jié)中我們介紹過正弦量有效值的概念，其定義可適用于任何周期性信號。以周期電流為例，它的有效值定義式為：若i（t）為非正弦周期電流，且可以展開成下列傅里葉級數(shù)形式:i(t)=I+左Icos(k?t+p)TOC\o"1-5"\h\z0km 1kk=1i2(t)=12+藝I2cos2(k?t+p)+藝211cos(k?t+p)0km 1k 0kmk=1 k=1+藝另21Icos(k?t+p)cos(q?t+p)kmqm 1k 1qk=1q=1將上式結(jié)果代入有效值定義式，并利用三角函數(shù)的正交性，則有:1jTI2dt=I2T00 01T I2JTI2cos2(k?t+Q)dt=-T0km 1k 2k丄JT211cos(k?t+Q)dt=0T0 0km 1k1JT21Icos(k?t+Q)cos(q?t+Q)dt=0T0kmqm 1k 1q其中Ik=襄為k次諧波的有效值。故非正弦周期電流的有效值為:I=I2+II=I2+I2+I2+?…=V012-1)0 kk=1同理，非正弦周期電壓的有效值為:

TOC\o"1-5"\h\zU:U2+U2+U2+二U2+hU2 (2-2)0 12 0 k' k=1以上兩式表明，非正弦周期電流或電壓的有效值為其直流分量和各次諧波分量有效值的平方和的平方根。在正弦電路中，正弦量的最大值與有效值之間存在J廠倍的關(guān)系；對于非正弦周期信號，其最大值與有效值之間并無此簡單關(guān)系。2、非正弦周期交流電路的平均值在電工技術(shù)和電子技術(shù)中，為了描述交流電壓、電流經(jīng)過整流后的特性，常采用周期函數(shù)f(t)取絕對值之后的平均值。以電流為例有：2-3）I=JT|i(t)dtavT2-3）按上式可求得正弦交流電流的平均值為：avIcos=mavIcos=m4I工4cos?tdt04Imsinat11=0.6371=0.898I①T 0 m它相當于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，這是因為電流取絕對值后相當于把負半周的值變?yōu)閷恼怠Ｗ⒁猓寒斒褂貌煌愋偷碾姽x表測量同一個非正弦周期電流或電壓時，會得出不同的結(jié)果。因此在測量非正弦周期電流和電壓時，要注意選擇合適的儀表，并注意不同類型儀表的讀數(shù)表示含義不同。3、非正弦周期交流電路的瞬時功率和平均功率若一端口電路的端口電壓u(t)和電流i(t)均為非正弦周期量，其傅里葉級數(shù)形式分別為u（t）=U+乙Ucos（kat+申）0 km 1ukk=1i（t）=I+藝Icos（kat+申）0 km 1 ikk=1在關(guān)聯(lián)參考方向下，一端口電路吸收的瞬時功率如下：p（t）=u（t）i（tp（t）=u（t）i（t）U+送U0km

k=1=UI+1送U000k=1+送Ucos（kat+申）Icos（kat+申）km 1ukkm 1ikk=1+翠Ucos（kat+申）Icos（qat+申）km 1ukqm 1iqk=1q=1cos（k?t+申）.I+送Icos（kat+申）

0km1ik

k=1cos（kat+申）+U cos（kat+申）km1uk0km1ik

k=11uk2-4）其平均功率為：p（t）dt

將式（2-4）代入上式進行積分，并利用三角函數(shù)的正交性，積分式中的第二、三、五項的積分值為零平均功率計算式中僅剩下列兩項積分：UIcos(k?t+申)cos(k?tUIcos(k?t+申)cos(k?t+申)dtkmkm 1uk 1ik2-5)T0 00 T0k=1q=1'—申)ukik=UI'—申)ukik00 2kmkmk=1=UI+藝UIcos申00 kk kk=1=P+藝P0kk=1=P+P+P+…012式中U=Ukm,I=4m,申=申—申,k=1,2,…。分別為k次諧波電壓有效值、電流有效值和阻抗角。k.J2 kQ2k uk ik式（2-5）表明，不同頻率的電壓與電流只構(gòu)成瞬時功率，不能構(gòu)成平均功率，只有同頻率的電壓與電流才能構(gòu)成平均功率。電路的平均功率等于直流分量和各次諧波分量各自產(chǎn)生的平均功率之和。4、視在功率S=UI=:U2+藝U2?：I2+藝I20 k 0 k1 k=1 * k=1注意：