2022-2023學年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為()

A.B.C.D.

2.“”是“，，成等比數列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等差數列中，，則數列的前項和等于()

A.B.C.D.

4.如圖，在平行六面體中，，，為的中點，則用向量，，可表示向量為()

A.

B.

C.

D.

5.已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關系是()

A.B.

C.與相交但不垂直D.或

6.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足()

A.B.C.D.

7.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到該拋物線的準線的距離之和的最小值為()

A.B.C.D.

8.直線交橢圓于，兩點，為橢圓上異于，的點，，的斜率分別為，，且，則該橢圓的離心率為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列四個選項中，正確的是()

A.數列，，，，與數列，，，，是同一數列

B.數列的圖象是一群孤立的點

C.數列，，，，的一個通項公式是

D.若數列的前項和，則

10.已知雙曲線，則下列關于雙曲線的結論正確的是()

A.實軸長為B.焦距為

C.離心率為D.焦點到漸近線的距離為

11.在平面上，動點與兩定點，滿足且，則的軌跡是個圓，這個圓稱作為阿波羅尼斯圓已知動點與兩定點，滿足，記的軌跡為圓則下列結論正確的是()

A.圓方程為：

B.過點作圓的切線，則切線長是

C.過點作圓的切線，則切線方程為

D.直線與圓相交于，兩點，則的最小值是

12.如圖所示，在棱長為的正方體中，，，分別為，，的中點，則()

A.直線與所成的角為

B.直線與平面所成的角為

C.直線與平面平行

D.平面截正方體所得的截面面積為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知空間向量，，則______．

14.已知直線與互相平行，則它們之間的距離是______．

15.在數列中，，，，則______．

16.已知實數，滿足，則代數式的最大值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

求出滿足下列條件曲線的方程：

求焦點在軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓的標準方程；

經過點的等軸雙曲線的標準方程．

18.本小題分

在等差數列中，，，求數列的通項公式及前項和；

在等比數列中，，，求數列的通項公式及前項和．

19.本小題分

已知拋物線：經過點，為坐標原點，，是拋物線上異于的兩點．

求拋物線的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

若，求證：直線過軸上一定點．

20.本小題分

已知數列的首項，且滿足．

求證：是等比數例；

若，記數列的前項和為，求證：．

21.本小題分

如圖，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，，，．

求證：平面；

若，平面與平面的夾角為，求點到平面的距離．

22.本小題分

已知橢圓：的兩焦點，，且橢圓過

求橢圓的標準方程；

過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線與軸負半軸交于點，若點的縱坐標的最大值為，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：直線的斜率，

設其傾斜角為，

，得．

故選：．

由直線方程求得直線的斜率，再由傾斜角的正切值等于斜率求解．

本題考查直線的斜率與傾斜角的關系，是基礎題．

2.【答案】

【解析】解：若，，成等比數列，則，解得，

故“”是“，，成等比數列”的充分不必要條件，

故選：．

根據等比數列的性質以及充分必要條件的定義判斷即可．

本題考查了充分必要條件，考查等比數列的性質，是基礎題．

3.【答案】

【解析】解：根據題意，等差數列中，，

則．

故選：．

根據題意，分析可得，計算可得答案．

本題考查等差數列的求和，涉及等差數列的性質，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：在平行六面體中，，，，為的中點，

故．

故選：．

直接利用向量的線性運算求出結果．

本題考查的知識要點：向量的線性運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：直線的方向向量是，平面的法向量是，

，

則與的位置關系是或．

故選：．

由，得到與的位置關系是或．

本題考查線面的位置關系、直線的方向向量、平面的法向量等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

6.【答案】

【解析】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，

，

這兩條異面直線所成的角滿足，

．

故選：．

利用向量夾角余弦公式直接求解．

本題考查向量夾角余弦公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

7.【答案】

【解析】解：已知拋物線方程為，

則拋物線的焦點的坐標為，

又，

即點在拋物線外部，

由拋物線的定義可得：點到點的距離與到該拋物線的準線的距離等于，

又，當且僅當、、三點共線時取等號，

即點到點的距離與到該拋物線的準線的距離之和的最小值為．

故選：．

設拋物線的焦點為，則點到點的距離與到該拋物線的準線的距離等于，然后結合拋物線的定義求解即可．

本題考查了拋物線的定義，屬基礎題．

8.【答案】

【解析】解：設，

則由在橢圓上可得，

直線與的斜率之積為，

，

把代入化簡可得，，離心率．

故選：．

設，由題意可得的關系式，結合橢圓系數的關系和離心率的定義可得．

本題考查橢圓的簡單性質，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：根據數列項的有序性可知，顯然錯誤；

由于為正整數，即數列的圖象是一群孤立的點，B正確；

數列，，，，分子為從開始的連續(xù)正整數，分母為開始，相差的正整數，故其一個通項公式為，C正確；

數若列的前項和，則，D正確．

故選：．

由已知結合數列定義檢驗選項AB，結合數列的通項公式檢驗選項C，結合和與項的遞推關系檢驗選項D．

本題主要考查了數列的定義，數列的通項公式的求解，還考查了數列的和與項的遞推關系的應用，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：已知雙曲線，

則，，，

對于選項A，雙曲線的實軸長為，

即選項A正確；

對于選項B，雙曲線的焦距為，

即選項B錯誤；

對于選項C，雙曲線的離心率為，

即選項C錯誤；

對于選項D，雙曲線的焦點到漸近線的距離為，

即選項D正確．

故選：．

由雙曲線的性質，結合雙曲線離心率的求法逐一判斷即可．

本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎題．

11.【答案】

【解析】解：設，由題意可得，

整理可得：，即的軌跡為圓心，半徑的圓，

所以A正確；

中，因為，所以過的切線長為，所以B正確；

中，因為，即在圓上，，

所以過的切線的斜率為，

所以切線方程為：，即，所以不正確；

中，直線：整理可得：，

則直線過與的交點，

即直線恒過，而此點在圓內，所以直線與圓有兩個交點，

當與直線垂直時，弦長最小，

，此時，所以D正確．

故選：．

設的坐標，由題意可得的軌跡方程為圓心，半徑的圓，判斷出的真假；由切線長及切線的方程的求法，判斷，的真假；將直線的方程整理可得恒過定點，且此點在圓內，且當時，弦長最小，并求出的最小值．

本題考查點的軌跡方程的求法及直線與圓的綜合應用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于：連接，，，

由，分別為，的中點，可得，

在正方體中，可得，

所以為異面直線直線與所成的角，

由為等邊三角形，所以可得直線與所成的角為，故A正確；

對于：取的中點為，連接，

因為是的中點，可得四邊形為平行四邊形，

所以，因為平面，

所以直線與平面所成的角為，

其中，所以，所以不正確；

對于：如圖所示，取的中點，連接，，

由，且平面，平面，所以平面，

同理可證：平面，因為，且，平面，

平面平面，又因為平面，所以平面，所以C正確；

對于：因為，為，的中點，所以，

因為，所以，所以，，，四點共面，

所以截面即為等腰梯形，因為正方體的棱長為，

可得，，在直角中，可得，

則高為，

所以梯形的面積為，所以D正確．

故選：．

連接，，，可得為異面直線直線與所成的角，求解判斷；取的中點為，連接，可得直線與平面所成的角為，求解可判斷；取的中點，連接，，證得平面平面，可判定；由，得到截面為等腰梯形，求得梯形的面積，可判定．

本題考查空間幾何體的性質，考查線面角的求法，考查線線角的求法，考查截面面積的求法，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由于空間向量，，則．

故答案為：．

直接利用向量的坐標運算求出結果．

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．

14.【答案】

【解析】解：直線與分別化為：，．

直線與互相平行，

，

解得，

直線即．

它們之間的距離．

故答案為：．

由于直線與互相平行，可得，解出，再利用兩條平行線之間的距離公式即可得出．

本題考查了兩條平行線之間斜率關系及其距離公式，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：在數列中，，，，

可得是首項為，公差為的等差數列，

則，即，

所以，

所以．

故答案為：．

由等差數列的性質推得是首項為，公差為的等差數列，由等差數列的通項公式和數列的裂項相消求和，計算可得所求和．

本題考查等差數列的定義、通項公式和數列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：因為實數，滿足，

即點到點與到點的距離之和為，

又因為，

所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

所以，，，，

所以橢圓的方程為，

而表示橢圓上的點到直線的距離的倍，

設為橢圓上的任意一點，且點到直線的距離為，

則，

所以當時，取最大值為，

所以此時最大值為．

故答案為：．

由題意可得點在橢圓上，表示橢圓上的點到直線的距離的倍，設為橢圓上的任意一點，利用點到線的距離公式求出的最大值即可得答案．

本題考查了函數最值幾何意義、轉化思想，難點是得出點的軌跡，屬于中檔題．

17.【答案】解：橢圓的焦點在軸上，且長軸長為，短軸長為，

，，

，，

橢圓的方程為：；

設對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為，

將點，代入可得，

，

方程為，即．

【解析】根據長軸長求出，根據短軸長求出，從而寫出橢圓方程；

設對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為，代入的坐標，可得雙曲線的方程．

本題考查了橢圓以及雙曲線的方程和性質，屬于基礎題．

18.【答案】解：由題意，設等差數列的公差為，

則，

整理，得，

解得，

，，

由題意，設等比數列的公比為，

則，

即，

解得，

，，

．

【解析】先設等差數列的公差為，再根據題干已知條件列出關于首項與公差的方程組，解出與的值，根據等差數列的通項公式與求和公式即可計算出數列的通項公式及前項和；

先設等比數列的公比為，再根據題干已知條件列出關于首項與公比的方程組，解出與的值，根據等比數列的通項公式與求和公式即可計算出數列的通項公式及前項和．

本題主要考查等差數列與等比數列的基本運算．考查了方程思想，轉化與化歸思想，等差數列的通項公式與求和公式的運用，等比數列的通項公式與求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬基礎題．

19.【答案】解：由拋物線：經過知，，解得，

所以拋物線的方程為：，

所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為；

證明：當直線的斜率不存在時，設，，

因為，所以，解得，

此時的方程為，過軸上的點；

當直線的斜率存在時且不為，設其方程：，，

設，，

聯(lián)立，整理可得：，，即，

，，

因為，即，可得，

即直線的方程為：，

可證得直線過定點．

【解析】由拋物線過點，可得的值，可得拋物線的方程；進而求出焦點坐標及準線方程；

分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之積，由，可得，求出參數的值，即證得直線過軸上一定點．

本題考查拋物線的方程的求法及直線與拋物線的綜合應用，屬于中檔題．

20.【答案】證明：由，變形為，，

數列是等比數例，首項為，公比為．

由可得：，

，

數列的前項和，

，

相減可得，

化為，

．

【解析】由，變形為，即可證明結論．

由可得：，利用錯位相減法可得數列的前項和，進而證明結論．

本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：設與相交于點，連接，

四邊形為菱形，，為的中點，

，，又，平面，平面，

平面；

連接，，為中點，，

又，，平面，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系．

、、，

設