湖南省邵陽市第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省邵陽市第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了解某市居民用水情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：噸).將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，…，[4,4.5]分成9組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要試行居民用水定額管理，制定一個(gè)用水量標(biāo)準(zhǔn)a.使85%的居民用水量不超過a，按平價(jià)收水費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)，則以下比較適合做為標(biāo)準(zhǔn)a的是（

）A.2.5噸 B.3噸 C.3.5噸 D.4噸參考答案：B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中，長方形面積表示頻率，找出將面積分割為和的數(shù)值，即為標(biāo)準(zhǔn).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合題意可得：解得.故要滿足的居民用水量不超過，則比較合適的取值為3噸.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中，頻率的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.2.已知全集，集合＜2＜，＞，則A.＞

B.＞

C.＜＜

D.＜參考答案：D,，所以,所以，選D.3.對于平面α和共面的直線m，n，下列命題是真命題的是（）A．若m，n與α所成的角相等，則m∥nB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m?α，n∥α，則m∥n參考答案：D略4.如圖是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期是B．函數(shù)g（x）=sinx的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到C．函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對稱中心是（﹣，0）D．函數(shù)f（x）的一個(gè)遞減區(qū)間是（5，）參考答案：C【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】根據(jù)圖象過（0，1），（2，0）求出ω和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；根據(jù)函數(shù)解析式之間的關(guān)系判斷各選項(xiàng)即可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)圖象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的圖象過（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．當(dāng)k=﹣1時(shí)，|ω|為：，周期T==．故A對．此時(shí)可得f（x）=cos（）．函數(shù)g（x）=x的圖象圖象向右平移個(gè)單位可得：=cos（）．故B對．當(dāng)x=﹣時(shí)，函數(shù)f（）=cos（）．==1，故C不對．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）當(dāng)k=2時(shí)，可得是單調(diào)遞減．故D對．故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．5.已知函數(shù)，且，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.若函數(shù)的表達(dá)式是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=26，則判斷框內(nèi)應(yīng)填（）A．k＞3？ B．k＞4？ C．k＞5？ D．k＞6？參考答案：A【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，結(jié)合流程圖所示的順序，可知該程序的作用是累加并輸出S的值，由條件框內(nèi)的語句決定是否結(jié)束循環(huán)體并輸出S，由此給出表格模擬執(zhí)行程序即可得到本題答案．【解答】解：程序在運(yùn)行過程中，各變量的值變化如下表：可得，當(dāng)k=4時(shí)，S=26．此時(shí)應(yīng)該結(jié)束循環(huán)體并輸出S的值為26所以判斷框應(yīng)該填入的條件為：k＞3？故選：A【點(diǎn)評】本題給出程序框圖，求判斷框應(yīng)該填入的條件，屬于基礎(chǔ)題．解題的關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件判斷程序的功能，結(jié)合表格加以理解，從而使問題得以解決．8.下列函數(shù)中，在內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B9.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則等于

A．4

B．5

C．6

D．8參考答案：A10.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：B集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，則中有個(gè)元素．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程有解，則________.參考答案：略12.的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

(用數(shù)值作答)．參考答案：略13.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，那么，不等式的解集是

.參考答案：考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.解絕對值不等式.14.地震的震級R與地震釋放的能量E的關(guān)系為．2011年3月11日，日本東海岸發(fā)生了9.0級特大地震，2008年中國汶川的地震級別為8.0級，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的

倍．參考答案：略15.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___▲_____．參考答案：416.已知在上是增函數(shù)，則的取值范圍是

.參考答案：17.若函數(shù)f（x）=，則不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集為．參考答案：（﹣∞，﹣）【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；其他不等式的解法．【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，討論變量的取值范圍進(jìn)行比較即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2時(shí)，x2﹣3≥1，此時(shí)函數(shù)f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此時(shí)x無解．若x＜1，即x＜2時(shí)，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1]上是增函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此時(shí)﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，則x≤﹣1，此時(shí)f（x）＜0，而x2﹣3≥1，則f（x2﹣3）＞0，此時(shí)不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣），故答案為：（﹣∞，﹣）．【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生作為樣本，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：，，…，后得到如圖的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求圖中實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若該校高一年級共有學(xué)生500人，試估計(jì)該校高一年級在這次考試中成績不低于60分的人數(shù)；(Ⅲ)若從樣本中數(shù)學(xué)成績在與兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,試用列舉法求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.參考答案：解：（Ⅰ）由可得

…………2分（Ⅱ）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為:……4分?jǐn)?shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為人

……5分(Ⅲ)數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)：人

……6分?jǐn)?shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)：人

……7分設(shè)數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生為，

數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生為

…………8分兩名學(xué)生的結(jié)果為：，

…………10分共種；

…………11分其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的情況有，，，，，，共7種，

…………12分因此，抽取的兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率為

…………13分略19.（本題共12分，第Ⅰ問5分，第Ⅱ問7分），，，平面⊥平面，是線段上一點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：⊥平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

20.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，{bn}滿足：對任意正整數(shù)n，都有an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)，如果對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（Ⅰ）通過已知得到關(guān)于數(shù)列的項(xiàng)的兩個(gè)等式，處理方程組得到，利用等差數(shù)列的定義得證（Ⅱ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，求出bn，an．（Ⅲ）先通過裂項(xiàng)求和的方法求出Sn，代入化簡得到關(guān)于n的二次不等式恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，通過對二次項(xiàng)系數(shù)的討論求出函數(shù)的最大值，令最大值小于0，求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2bn=an+an+1①，an+12=bn?bn+1②．由②得③．將③代入①得，對任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差數(shù)列．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由a1=10，a2=15．經(jīng)計(jì)算，得．∴．∴．∴，．（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化為．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．設(shè)f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，則f（n）＜0對任意正整數(shù)n恒成立．當(dāng)a﹣1＞0，即a＞1時(shí)，不滿足條件；當(dāng)a﹣1=0，即a=1時(shí)，滿足條件；當(dāng)a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，f（n）的對稱軸為，f（n）關(guān)于n遞減，因此，只需f（1）=4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．綜上，a≤1．21.等比數(shù)列滿足的前n項(xiàng)和為，且（I）求；（II）數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解:（Ⅰ），所以公比

……2分

得

……4分所以

……5分

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是

…………9分假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，

可得，

所以

從而有，，

由，得

……11分

此時(shí).

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，成等比數(shù)列.

……12分

略22.已知函數(shù)f（x）=x2++alnx（x＞0），（1）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式[f（x1）+f（x2）]≥f（）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．試證當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為“凹函數(shù)”．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（Ⅰ）由，得，由函數(shù)為[1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．（Ⅱ）由，得=，，由此入手能夠證明當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）