廣西壯族自治區(qū)南寧市南丹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市南丹中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D不妨設(shè)雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)為，虛軸的端點(diǎn)為，則直線的斜率為，雙曲線的一條漸近線為，漸近線的斜率為，因?yàn)閮芍本€垂直，所以有，即，所以，整理得，即，解得雙曲線的離心率，選D.2.已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，則(

)A．a(chǎn)5+a7＞a4+a8 B．a(chǎn)5+a7＜a4+a8 C．a(chǎn)5+a7=a4+a8 D．|a5+a7|＞|a4+a8|參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】等比數(shù)列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，知此等比數(shù)列是一個(gè)負(fù)項(xiàng)數(shù)列，各項(xiàng)皆為負(fù)，觀察四個(gè)選項(xiàng)，比較的是a5+a7，a4+a8兩組和的大小，可用作差法進(jìn)行探究，比較大小【解答】解：∵a6＜0，q＞0∴a5，a7，a8，a4都是負(fù)數(shù)∴a5+a7﹣a4﹣a8=a4（q﹣1）+a7（1﹣q）=（q﹣1）（a4﹣a7）若0＜q＜1，則q﹣1＜0，a4﹣a7＜0，則有a5+a7﹣a4﹣a8＞0若q＞1，則q﹣1＞0，a4﹣a7＞0，則有a5+a7﹣a4﹣a8＞0∴a5+a7＞a4+a8故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．3.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列{an}的公差為2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的公差為2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．4.已知集合，，則集合真子集的個(gè)數(shù)(

)

A.7

B.4

C.3

D.1參考答案：A略5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為56，則判斷框中的條件可以是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設(shè)，若函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則

A.1

B.e+1

C.3

D.e+3參考答案：C略7.已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z(1，－2)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（

）A．2－i

B．2+i

C．1－2i

D．1+2i參考答案：D∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是∴∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)故選D.8.設(shè)集合M={x|x2≤4}，N={x|log2x≤1}，則M∩N=（）A．[﹣2，2] B．{2} C．（0，2] D．（﹣∞，2]參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】通過求解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式化簡集合M與集合N，然后直接利用交集運(yùn)算求解．【解答】解：集合M={x|x2≤4}=[﹣2，2]，N={x|log2x≤1}=（0，2]，則M∩N=（0，2]，故選：C．9.復(fù)數(shù)

(A)2i

(B)-2i

(C)2

(D)-2參考答案：A略10.為得到函數(shù)y=2cos2x﹣sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=2sin2x+1的圖象（）A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：∵y=2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2sin（﹣2x）+1=﹣2sin（2x﹣）+1=2sin（2x+）+1，將函數(shù)y=2sin2x+1的圖象向左平移個(gè)長度單位，可得得到函數(shù)y=2sin（2x+）+1的圖象，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的最大值是

參考答案：略12.已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+與垂直，則λ=．參考答案：﹣1考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．專題：計(jì)算題．分析：先求出互相垂直的2個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用這2個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出待定系數(shù)λ的值．解答：解：，（）?（λ+4）×1+（﹣3λ﹣2）×（﹣3）=0?λ=﹣1，故答案為﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題考查2個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，及2個(gè)向量垂直的條件是他們的數(shù)量積等于0．13.過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于A,B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【答案解析】解：設(shè)，則，

∵過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于A，B兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，∴兩式相減可得，

∴∴，∴．【思路點(diǎn)撥】利用點(diǎn)差法，結(jié)合是線段的中點(diǎn)，斜率為，即可求出橢圓的離心率．14.記函數(shù)的圖象與軸圍成的區(qū)域?yàn)镸,滿足的區(qū)域?yàn)镹，若向區(qū)域M上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域N的概率為

.參考答案：15.如果2+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則mn的值為．參考答案：﹣20【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；數(shù)學(xué)模型法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理可知，2﹣i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求得m，n的值得答案．【解答】解：∵2+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，∴由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理可得，2﹣i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則﹣m=（2+i）+（2﹣i）=4，m=﹣4，n=（2+i）（2﹣i）=5．∴mn=﹣40．故答案為：﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理，是基礎(chǔ)題．16.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊為，點(diǎn)是其外接圓上的任意一點(diǎn)，若，則的最大值為

.參考答案：17.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，既有極大也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若時(shí)，取得極值，求的值；（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)=－1時(shí)，證明在其定義域內(nèi)恒成立，并證明（）.參考答案：解析：，（Ⅰ）因?yàn)闀r(shí)，取得極值，所以，

即

故．

………………3分（Ⅱ）的定義域?yàn)?方程的判別式,(1)當(dāng),即時(shí)，,在內(nèi)恒成立,此時(shí)為增函數(shù).(2)當(dāng),即或時(shí)，要使在定義域內(nèi)為增函數(shù),只需在內(nèi)有即可,設(shè)，由

得,

所以.由(1)(2)可知,若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，的取值范圍是.………………9分（Ⅲ）證明：，當(dāng)=－1時(shí)，，其定義域是，令，得.則在處取得極大值，也是最大值.而.所以在上恒成立.因此.因?yàn)?，所?則.所以=<==.所以結(jié)論成立.

………………13分19.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，為正常數(shù)．

（Ⅰ）若，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對(duì)任意，，都有，求的的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），.........................2分

∵，令，得，或，........................3分

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．

....................4分

（Ⅱ）∵，∴，∴，..................................5分設(shè)，依題意，在上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，令，得：對(duì)恒成立，設(shè)，則，∵，∴，∴在上是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有最大值為，∴．...9分當(dāng)時(shí)，，，令，得：，

設(shè)，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，綜上所述，.......................12分20.已知ΔABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的值．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）5【分析】（Ⅰ）由余弦定理和題設(shè)條件求得，再由余弦定理和，解得，利用正弦定理，即可求得的值；（Ⅱ）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出方程組，即可求解的值，得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題意知，即整理得，即，即，又由，所以，又由余弦定理可得，即，整理得又因?yàn)?，可得，即，由正弦定理可得?（Ⅱ）由，，根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式，可得，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21.如圖1，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．（1）求證：OF∥平面ACD；（2）求二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）在上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．.專題：空間角．分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個(gè)法向量，找出平面ADB的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．解答：（1）證明：如圖，因?yàn)椤螩AB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則A（0，﹣2，0），C（0，0，2）．，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，．∴，即OF∥AC．∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．（2）解：∵∠DAB=60°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)，．設(shè)二面角C﹣AD﹣B的大小為θ，為平面ACD的一個(gè)法向量．由有即取x=1，解得，．∴=．取平面ADB的一個(gè)法向量=（0，0，1），∴．（3）設(shè)在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．設(shè)，∵，∴．又∵，∴，解得λ=±1（舍去﹣1）．∴，則G為的中點(diǎn)．因此，在上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，且點(diǎn)G為的中點(diǎn)．設(shè)直線AG與平面ACD所成角為α，∵，根據(jù)（2）的計(jì)算為平面ACD的一個(gè)法向量，∴．因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和