八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專題07 角平分線重難點(diǎn)知識(shí)（解析版）

專題07角平分線重難點(diǎn)知識(shí)一、相關(guān)知識(shí)（1）三角形內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.在△ABC中，若CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，則AO平分∠BAC.（2）三角形外角平分線與內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.如圖，若BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則AE平分∠FAC.（3）如圖，AD平分∠BAC，則BD：CD=AB：AC（4）如圖，三角形ABC內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，O到三邊的距離為h，則h=特殊地，直角三角形中，h=.典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：與折疊角度相關(guān)】例題1．（2021·江蘇無(wú)錫市期中）如圖1，直線AB//CD，現(xiàn)想在直線AB、CD之間作一條直線l平行于直線AB、CD，并且使直線l上的點(diǎn)到直線AB、CD之間的距離相等．小明做了如下操作：分別作∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作直線AB、CD的平行線，過(guò)點(diǎn)G分別作直線AB、CD、EF的垂線，垂足分別為M、N、H，此時(shí)直線l上的點(diǎn)到直線AB、CD的距離相等．圖1圖2（1）試說(shuō)明：；（2）若，EG=4，直線交于點(diǎn)．試問(wèn)的度數(shù)為，是三角形；周長(zhǎng)為；（3）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．如圖2，連接，將△EPF折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，若∠PEF=58°，點(diǎn)剛好落在其中的一條平行線上，試求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）90°；等邊，12；（3）32°或61°．【解析】解：（1）∵EG平分∠BEF，GM⊥BE，GH⊥EF，∴GM=GH，同理，GN=GH，∴GM=GH=GN；（2）∵AB∥CD，∴∠FEB+∠EFD=180°，∵∠FEB=120°，∴∠EFD=60°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DEF，∴∠FEG=60∠BEG=60°，∠EFG=30°，∴∠EGF=90°；∠EGK=∠BEG=60°，∴△EGK是等邊三角形，∵EG=4，∴△EGK的周長(zhǎng)為12，故答案為：90°；等邊，12；（3）①當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，如圖所示：∴∠EPF=∠QPF=90°，∵∠PEF=58°，∴∠EFP=32°；②當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時(shí)，如圖所示：同理可得：∠EFP=61°.【知識(shí)點(diǎn)2：與面積相關(guān)】例題2．（2021·重慶期中）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則：：等于（）A．：： B．：：C．：： D．：：【答案】C.【解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵點(diǎn)O是三條角平分線交點(diǎn)，∴OE=OF=OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：CB：AC=2:3:4故答案為：C．例題3．（2021·河南鄭州月考）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面積為16，則△CBG的面積為（）A．12 B．18 C．20 D．14【答案】C.【解析】解：由題意得BG平分∠ABC，過(guò)G點(diǎn)作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，則GM＝GN，∵△ABG的面積為16，∴×8×GM＝16，∴GM＝4，∴GN＝4，∴△CBG的面積＝×10×4＝20．故答案為：C．例題4．（2021·陜西清澗縣期末）如圖，是的角平分線，交于點(diǎn)，，，，，則的面積為（）A．12 B．6 C．4 D．3【答案】D.【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是∠BAC的角平分線，∴DF=DH，∵DF⊥AB∴∠DFE=∠DHG=90°，又∵DE=DG，∴△DFE≌△DHG（HL），∴S△DEF=S△DGH，同理可以證明△DFA≌△DHA（HL），∴S△ADF=S△ADH∵S△ADG=25，S△AED=19，∴S△ADF-S△DEF=19，S△ADH+S△DGH=25，即S△DEF+S△ADF=25，∴S△DEF=3，故答案為：D．例題5．（2021·山東鄒城期中）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是______．【答案】10.【解析】解：過(guò)P點(diǎn)分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AP，∵∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD＝2，∵△ABC的周長(zhǎng)是10，∴AB+BC+AC＝10，∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC＝＝10．例題6．（2021·江蘇昆山期中）如圖，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周長(zhǎng)＝24，若∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且＝5：8，則底邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】.【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，DF⊥AB，如圖所示：∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴DE＝DF，∵C△ABC＝24，AB＝AC，∴AB＝（24﹣BC）＝12﹣BC，∵S△ABD：S△CBD＝5：8，∴，∴，解得：BC=．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)3：與最短路徑相關(guān)】例題7．如圖，在中，，，，AB=5，AD平分交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】D.【解析】解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，作CH⊥AB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值，，∴，即：CE+EF的最小值為，故答案為：D．例題8．（2021·江蘇南京市期中）如圖，在RtABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO交BC于D，若CD＝3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為_(kāi)______．【答案】3.【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于P，則此時(shí)PD最小，由尺規(guī)作圖可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP⊥AB，∴DP＝CD＝3，故答案為：3．【知識(shí)點(diǎn)4：與手拉手模型相關(guān)】例題9．（2021·福建順昌期中）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于點(diǎn)O，連接OA．下列結(jié)論：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中結(jié)論正確的是_____．【答案】①②④.【解析】解：由題意，AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB，在△ADC與△EAB中，，∴△ADC≌△ABE，∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正確；∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠EOD=90°，∴BE⊥CD，故②正確；過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥CD與M，AN⊥BE于N，∵△ADC≌△ABE，∴，∴AM=AN，∴OA平分∠BOD，∵BE⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明OA平分∠CAE，故③錯(cuò)誤，故答案為：①②④．例題10．（2021·江蘇邳州期中）如圖在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．（1）求∠AMB的度數(shù)；（2）MO是∠AMD的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）36°；（2）MO是∠AMD的平分線.【解析】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°；（2）MO是∠AMD的平分線．理由：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴S△AOC=S△BOD，AC=BD∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD．【知識(shí)點(diǎn)5：與證明相關(guān)】例題11.（2021·福建福州期中）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．

（1）若α＝90°時(shí)，直接寫(xiě)出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時(shí)，（1）中結(jié)論是否還成立，說(shuō)明理由；（3）如圖2，O為AC中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，BM＝AD，求的值．【答案】（1）CD＝CB；（2）CD＝CB，理由見(jiàn)解析；（3）＝2．【解析】證明：（1）CD與CB的數(shù)量關(guān)系為：CD＝CB．∵∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，∴∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CB⊥AB，∴CD＝CB，故答案為：CD＝CB；（2）CD＝CB，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，則∠CEB＝∠CFD＝90°，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，∴∠CDF＝α＝∠ABC，在△CDF和△CBE中，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CD＝CB；（3）延長(zhǎng)DO至點(diǎn)N，使ON＝DO，連接AN，在△AON和△COD中，，∴△AON≌△COD（SAS），∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠DAN+∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，在△AND≌△BCM中，，∴△AND≌△BCM（SAS），∴CM＝DN＝2DO，∴＝2．例題12．（2021·湖北天門月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4），B（﹣2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E，求證：BD＝2CE【答案】（1）（4，2）；（2）見(jiàn)解析.【解析】解：（1）過(guò)C作CM⊥OA于M，∵∠AOB=∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠CAM，在△ABO和△CAM中，，∴△ABO≌△CAM，∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2）；（2）延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BEF中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=CF=2CE．例題13．（2021·河南潢川月考）觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，過(guò)D作AB的垂線DE,垂足為E，可以發(fā)現(xiàn)AB、AC、CD存在的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD是否還存（1）中的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)給出證明．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．【答案】（1）AB＝AC+CD；（2）存在，見(jiàn)解析；（3）AB＝CD﹣AC.【解析】解：（1）AB＝AC+CD，理由如下：∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，∴∠B=45°，CD⊥AC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∠DEB=∠DEA=90°，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=45°，∴∠B=∠EDB，∴BE=ED=CD，在Rt△AED和Rt△ADC中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∴AB+AE+BE=AC+CD；（2）還存在AB＝CD+AC，理由如下：在AB上截取AG＝AC，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由如下：在AF上截取AG＝AC，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，∵∠FGD=180°-∠AGD，∠ACB=180°-∠ACD，∴∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．例題14．（2021·北京四中期中）已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）36，126；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】解：（1）∵∠ACE=18°，AE=CE，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ABE=36°，∴∠AEB=126°；故答案為：36，126（2）在AC上截取AF=AB，連接EF，又∵AE=AE，∠EAF=∠EAB，∴△AEF≌△AEB，∴EF=BE，∠AFE=∠ABE∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴∠FEC=∠FCE，∴EF=CF∴AC=AF+CF=AB+BE；（3）∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE，∵∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點(diǎn)E到CA、CB的距離相等，又∵AD是∠BAC的平分線，∴點(diǎn)E到AC、AB的距離相等，∴點(diǎn)E到BA、BC的距離相等，∴BE是∠ABD的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠ACD=