高中數(shù)學(人教A版)選修2-3之-1.3.2楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)(一)

高中數(shù)學(人教A版)選修2-3之-1.3.2楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)(一)第一頁，共21頁。一般地，對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？二項式系數(shù)有什么特點？第一頁第二頁，共21頁。展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

………………二項式系數(shù)第二頁第三頁，共21頁。(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………遞推法二項式系數(shù)的特點第三頁第四頁，共21頁。這個表稱為楊輝三角。在《詳解九章算法》一書里，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它。在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。第四頁第五頁，共21頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．第五頁第六頁，共21頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：第六頁第七頁，共21頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

第七頁第八頁，共21頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當時，第八頁第九頁，共21頁。二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值。第九頁第十頁，共21頁。（3）各二項式系數(shù)的和

二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

第十頁第十一頁，共21頁。

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）當時，（4）當時，第十一頁第十二頁，共21頁。初步訓練、選擇填空：1.(1﹣x)13的展開式中系數(shù)最小的項是（）(A)第六項(B)第七項（C）第八項(D)第九項2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CD4或5第十二頁第十三頁，共21頁。課堂練習：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大，則n=

；第十三頁第十四頁，共21頁。

例1

證明在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．第十四頁第十五頁，共21頁。4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍，求展開式中x的一次項．例2

已知的展開式中，第第十五頁第十六頁，共21頁。

例3：的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項。變式引申：1、的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項是（）A.第4項B.第4、5項C.第5項D.第3、4項2、若展開式中的第6項的系數(shù)最大，則不含x的項等于()A.210B.120C.461D.416第十六頁第十七頁，共21頁。例4、若展開式中前三項系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；（3）展開式中系數(shù)最大的項。第十七頁第十八頁，共21頁。1、已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項的系數(shù)是__________課堂練習4.已知(1+)n展開式中含x-2的項的系數(shù)為12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展開式中第4項為106，求x的值.第十八頁第十九頁，共21頁。作業(yè)作業(yè)本1.3.2（1）（1）二項式系數(shù)的三個性質(zhì)。（2）數(shù)學思想：函數(shù)思想。