2023學(xué)年完整公開課版《導(dǎo)數(shù)和極值》

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'>0f'<0復(fù)習(xí):函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)f在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)鞏固：定義域Rf′=2-=-1令-1>0,得<0或>1，則f單增區(qū)間（－∞，0）,（1，∞）令-1<0,得0<<1,f單減區(qū)間0,1注意:1:首先，注意定義域,2:其次，多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接（第一步）解（第二步）（第三步）yxOx1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)在1、3處函數(shù)值f1、f3與1、3左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比,有什么特點(diǎn)f2比2左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比呢觀察圖像：一、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)0附近有定義，如果對(duì)0附近的所有點(diǎn)，都有f<f0,則f0是函數(shù)f的一個(gè)極大值，記作y極大值=f0；如果對(duì)0附近的所有點(diǎn)，都有f>f0,則f0是函數(shù)f的一個(gè)極小值，記作y極小值=f0；◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值即峰谷處的值）使函數(shù)取得極值的點(diǎn)0稱為極值點(diǎn)yxO探究：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值即切線斜率）有何特點(diǎn)？結(jié)論:極值點(diǎn)處，如果有切線，切線是水平的即:f=0x1

x2x3f1=0f2=0f3=0思考：若f0=0，則0是否為極值點(diǎn)？xyO分析y

x3進(jìn)一步探究:極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)圖像單調(diào)性有何特點(diǎn)極大值極小值即:極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性互異f<0yxO1aby=f(x)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè)f<0f>0f>0探究:極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)有何規(guī)律2

xX<x2

x2X>x2

f

(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f

(x)

f(x)增f>0f=0f<0極大值減f<0f=0增減極小值f>0注意：（1）f0=0，0不一定是極值點(diǎn)2）只有f0=0且0兩側(cè)單調(diào)性不同，0才是極值點(diǎn)3求極值點(diǎn)，可以先求f0=0的點(diǎn)，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點(diǎn)處，f=0xyoax1x2x3x4x5x6b若上圖是函數(shù)f的圖像，則它的極值點(diǎn)為：若上圖是函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)f’圖像，則它的極值點(diǎn)為：1、3、5、62、4極大值點(diǎn)為1、5，極小值點(diǎn)為3、6極大值點(diǎn)為2，極小值點(diǎn)為4例1:求的極值。f’=2-4令f’=0，解得：=-2或=2當(dāng)變化時(shí)，f’與f的變化情況如下表：X(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f’(x)+0-0+f(x)遞增遞減遞增所以，當(dāng)=-2時(shí)，f有極大值，且極大值為f-2=當(dāng)=2時(shí)，f有極小值，且極小值為f2=變式1

求在時(shí)極值。解：f的定義域?yàn)镽變式2求函數(shù)y=3-323-1的極值。注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。思考判斷下面5個(gè)命題的真假：①