八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專題07 角平分線重難點(diǎn)知識(shí)（原卷版）

專題07角平分線重難點(diǎn)知識(shí)一、相關(guān)知識(shí)（1）三角形內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.在△ABC中，若CF平分∠ACB，BE平分∠ABC，則AO平分∠BAC.（2）三角形外角平分線與內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.如圖，若BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則AE平分∠FAC.（3）如圖，AD平分∠BAC，則BD：CD=AB：AC（4）如圖，三角形ABC內(nèi)角平分線交于點(diǎn)O，O到三邊的距離為h，則h=特殊地，直角三角形中，h=.典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：與折疊角度相關(guān)】例題1．（2021·江蘇無錫市期中）如圖1，直線AB//CD，現(xiàn)想在直線AB、CD之間作一條直線l平行于直線AB、CD，并且使直線l上的點(diǎn)到直線AB、CD之間的距離相等．小明做了如下操作：分別作∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作直線AB、CD的平行線，過點(diǎn)G分別作直線AB、CD、EF的垂線，垂足分別為M、N、H，此時(shí)直線l上的點(diǎn)到直線AB、CD的距離相等．圖1圖2（1）試說明：；（2）若，EG=4，直線交于點(diǎn)．試問的度數(shù)為，是三角形；周長為；（3）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．如圖2，連接，將△EPF折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，若∠PEF=58°，點(diǎn)剛好落在其中的一條平行線上，試求的度數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2：與面積相關(guān)】例題2．（2021·重慶期中）如圖，的三邊，，長分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則：：等于（）A．：： B．：：C．：： D．：：例題3．（2021·河南鄭州月考）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面積為16，則△CBG的面積為（）A．12 B．18 C．20 D．14例題4．（2021·陜西清澗縣期末）如圖，是的角平分線，交于點(diǎn)，，，，，則的面積為（）A．12 B．6 C．4 D．3例題5．（2021·山東鄒城期中）如圖，已知△ABC的周長是10，∠B和∠C的平分線交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且PD＝2，則△ABC的面積是______．例題6．（2021·江蘇昆山期中）如圖，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周長＝24，若∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且＝5：8，則底邊BC的長為__________．【知識(shí)點(diǎn)3：與最短路徑相關(guān)】例題7．如圖，在中，，，，AB=5，AD平分交BC于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．例題8．（2021·江蘇南京市期中）如圖，在RtABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線AO交BC于D，若CD＝3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為_______．【知識(shí)點(diǎn)4：與手拉手模型相關(guān)】例題9．（2021·福建順昌期中）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于點(diǎn)O，連接OA．下列結(jié)論：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中結(jié)論正確的是_____．例題10．（2021·江蘇邳州期中）如圖在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．（1）求∠AMB的度數(shù)；（2）MO是∠AMD的平分線嗎？請(qǐng)說明理由．【知識(shí)點(diǎn)5：與證明相關(guān)】例題11.（2021·福建福州期中）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．

（1）若α＝90°時(shí)，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時(shí)，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；（3）如圖2，O為AC中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，BM＝AD，求的值．

例題12．（2021·湖北天門月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4），B（﹣2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D，過C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E，求證：BD＝2CE例題13．（2021·河南潢川月考）觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，過D作AB的垂線DE,垂足為E，可以發(fā)現(xiàn)AB、AC、CD存在的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD是否還存（1）中的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)給出證明．如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．例題14．（2021·北京四中期中）已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．例題15．（2021·湖南長沙市期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（-4，0