高中數(shù)學(xué)概率大題

高中數(shù)學(xué)概率大題(經(jīng)典二)一．解答題(共10小題)1．某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為P],壽命為2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率;當(dāng)pi=，p2=時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)．2．已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品．需要從中取出2個(gè)正品，每次取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止.設(shè)E為取出的次數(shù)，求E的分布列及EE.3．某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))，假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為X.求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；求使P(X=m)取得最大值的整數(shù)m.在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象，一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅(此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅)，只好把籠子打開(kāi)一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.以E表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù).寫(xiě)出E的分布列(不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)和數(shù)學(xué)期望EE；求概率P(E2EE).A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表(單位：小時(shí))：678678910111236912(I)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；(III)再?gòu)腁,B，C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7,9,(單位:小時(shí))，這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為ui，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為uo，試判斷％和比的大小.(結(jié)論不要求證明)6?某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)E的分布列為12345P商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，n表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).(I)求事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；求n的分布列及期望En.7．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；“星隊(duì)”兩輪得分之和為x的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.購(gòu)買(mǎi)某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買(mǎi)了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-.求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元).某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶(hù)，得到用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿(mǎn)意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿(mǎn)意度等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意記事件C：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶(hù)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率，求C的概率.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)，若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀(guān)完全相同，從中任意選取3個(gè).(I)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(II)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.13．為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加，現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名，從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.14．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)15．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢(qián)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱(chēng)n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.17．設(shè)每個(gè)工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為，，，，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)k臺(tái)設(shè)備供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于，求k的最小值.18.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位：分)的頻率分布直方圖如圖：求頻率分布直方圖中a的值；分別求出成績(jī)落在［50,60)與［60,70)中的學(xué)生人數(shù)；從成績(jī)?cè)冢?0,70)的學(xué)生任選2人，求此2人的成績(jī)都在［60,70)中的概率.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.(I)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率；(II)用X表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).參考答案與試題解析一．解答題(共10小題)(2005?湖北)某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為P1，壽命為2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換．在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率;當(dāng)p1=，p2=時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)．【解答】解：因?yàn)樵撔吞?hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為P],壽命為2年以上的概率為p2.所以壽命為1?2年的概率應(yīng)為p1-p2.其分布列為：壽命0?11?22?P1-P1P1-P2P2一只燈泡需要不需要換，可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)公式得到在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為P5,需要更換2只燈泡的概率為C2p3151(1-p1)2；在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡是兩個(gè)獨(dú)立事件的和事件：①在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1-P])2；②在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為P1-P2.故所求的概率為P3=(1-P1)2+P]-p2.由(II)當(dāng)卩廠(chǎng)，P2=時(shí)，在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡的概率P3=(1-P1)2+P1(P1-P2)=.在第二次燈泡更換工作，至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況：換5只的概率為p35==；換4只的概率為C1p4(1-p)=5X(1-)=，533故至少換4只燈泡的概率為：P4=+=.即滿(mǎn)兩年至少需要換4只燈泡的概率為.(2004?安徽)已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品.需要從中取出2個(gè)正品，每次取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止.設(shè)E為取出的次數(shù)，求E的分布列及Eg.【解答】解：由題意知每次取1件產(chǎn)品，???至少需2次，即g最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時(shí)，g=4,?g可以取2，3，4當(dāng)變量是2時(shí)，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到P(g=2)=X=；P(g=3)=XX+XX=；P(g=4)=1--=.?g的分布列如下：g234PEg=2XP(g=2)+3XP(g=3)+4XP(g=4)=.(2013?安徽)某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))，假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為X.求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；求使P(X=m)取得最大值的整數(shù)m.【解答】解：(I)因?yàn)槭录嗀：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，由于P(A)=P(B)==，故P()=P()=1-，因此學(xué)生甲收到活動(dòng)信息的概率是1-(1-)2=(II)當(dāng)k=n時(shí)，m只能取n,此時(shí)有P(X=m)=P(X=n)=1當(dāng)kVn時(shí)，整數(shù)m滿(mǎn)足kWmWt,其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動(dòng)信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為()2,當(dāng)X=m時(shí)，同時(shí)收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k-m,僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m-k,由乘法原理知：事件｛X=m｝所包含的基本事件數(shù)為P(X=m)==當(dāng)kWmVt時(shí)，P(X二M)VP(X=M+1)o(m-k+1)2W(n-m)(2k-m)omW2k-假如kW2k-Vt成立，則當(dāng)(k+1)2能被n+2整除時(shí)，kW2k-V2k+1-Vt,故P(X=M)在m=2k-和m=2k+1-處達(dá)到最大值；當(dāng)(k+1)2不能被n+2整除時(shí)，P(X=M)在m=2k-□處達(dá)到最大值(注：[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù))，下面證明kW2k-Vt因?yàn)閘WkVn,所以2k--k=2=20而2k--n=V0，故2k-Vn,顯然2k-V2k因此kW2k-Vt綜上得，符合條件的m=2k-[](2007?安徽)在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象，一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅(此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅)，只好把籠子打開(kāi)一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.以E表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù).寫(xiě)出E的分布列(不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)和數(shù)學(xué)期望EE；求概率P(E2EE).【解答】解：(I)由題意知以E表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)，E的可能取值是0,1,2,3，4，5，6得到E的分布列為：E0123456P???數(shù)學(xué)期望為E^=(1X6+2X5+3X4)=2.(II)所求的概率為P(E2Eg)=P(E22)=.5.(2016?北京)A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層A班6B班678C班36(I)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表(單位：小時(shí))：789101112912(II)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；(III)再?gòu)腁,B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7,9,(單位:小時(shí))，這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為u1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為u0，試判斷％和比的大小.(結(jié)論不要求證明)【解答】解：(I)由題意得：三個(gè)班共抽取20個(gè)學(xué)生，其中C班抽取8個(gè)，故抽樣比K==,故C班有學(xué)生8^=40人，(II)從從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，共有5X8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有2種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為8時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有4種情況；故周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率P==;(III)u＞卩.01(2016?東城區(qū)模擬)某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)E的分布列為^12345P商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，n表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).求事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；求n的分布列及期望En.【解答】解：(I)由題意知購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對(duì)立事件是購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款，設(shè)A表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”，???(II)根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)E的分布列對(duì)應(yīng)于n的可能取值為200元，250元，300元.得到變量對(duì)應(yīng)的事件的概率p(n=200)=p(g=1)=，P(n=250)=P(E=2)+P(g=3)=+=，p(n=300)=1-p(n=200)-p(n=250)=1--=.?n的分布列為n200250300P?En=200X+250X+300X=240(元)?(2016?山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【解答】解：(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)包含“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)”，“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”三個(gè)基本事件，故概率P=++=++=，(11)“星隊(duì)”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，則P(X=0)==，P(X=1)=2X[+]=,P(X=2)=+++=，P(X=3)=2X=，P(X=4)=2X[+]=P(X=6)==故X的分布列如下圖所示：X012346P???數(shù)學(xué)期望EX=OX+1X+2X+3X+4X+6X==(2016?天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解：(1)從10人中選出2人的選法共有=45種，事件A：參加次數(shù)的和為4,情況有：①1人參加1次，另1人參加3次，②2人都參加2次；共有+=15種，???事件A發(fā)生概率：P==.(II)X的可能取值為0,1,2.P(X=0)==P(X=1)==，P(X=2)==，.?.X的分布列為：X012P?EX=0X+1X+2X=1.(2015?鄂州校級(jí)模擬)購(gòu)買(mǎi)某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買(mǎi)了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元).【解答】解：由題意知各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p,記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為由題意知E?B(104,p).(I)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)2=0,=1-P(E=0)=1-(1-p)104,又P(A)=1-,故p=(II)該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和.支出10000E+50000,盈利n=10000a-(10000^+50000),盈利的期望為En=10000a-10000EE-50000,由E?B(104,10-3)知，