系統(tǒng)可靠性模型

#系統(tǒng)可靠性模型定義:系統(tǒng)：可完成某種特定功能的整體,是若干協(xié)調(diào)工作單元的有機組合．系統(tǒng)與單元是相對而言的.例如：產(chǎn)品等級(八級)：f、零件--T部件--T組合體-T單機--T機組-T裝置-T分系統(tǒng)--T系統(tǒng)失效(或故障)：系統(tǒng)喪失規(guī)定功能．通常用一個非負隨即變量X來描述產(chǎn)品的壽命，X的相應(yīng)分布函數(shù)F(t)二P{X<t},t>0為產(chǎn)品的壽命分布.產(chǎn)品可靠性函數(shù)(可靠度)為：R(t)三1-F(t)二P{X>t}.性質(zhì):(1)R(0)=1;⑵RS)=0;(3)R(t)是t的遞減函數(shù).例如:產(chǎn)品壽命為威布爾(Weibull)分布的可靠度為：R(t)二exp(—(九t)?),(九,a>0),其圖像為：plot({exp(-(0.7*t)A0.6),exp(-(0.7*t)A1),exp(-(0.7*t)A2)},t=0..8,color=[red,black,green]);

00因為:E(X)」00因為:E(X)」tdF(t)二ffdudF(t)二ffdF(t)du二f(1—F(u))du二fR(t)dt?實際上,還有更廣的關(guān)系存在:0uE(Xk)二fktk-1R(t)dt,ifP{X>0}二1,k=1,2,….(2)失效率函數(shù):(failureratefunction)設(shè)產(chǎn)品的壽命(非負連續(xù)隨機變量)分布函數(shù)為f(t),其密度函數(shù)為f(t),則定義r(t)三空為隨機變量(產(chǎn)品)的失效率函數(shù)，簡稱失效率(故障率).R(t)失效率的解釋:若產(chǎn)品工作到時刻t仍然正常,則它在(t,t+At］中失效的概率為P{t<X<t+At}F(t+At)—F(t)f(t)AtP{X<t+AtIX>t}==?=r(t)At,P{X>t}1—F(t)R(t)因此,失效率為/、P{X<t+AtIX>t}AtTOAt根據(jù)失效率的定義,我們有AtTOAt根據(jù)失效率的定義,我們有0?/R(0)=1nR(t)=0?/R(0)=1nR(t)=exp(—0r(t)二——lnR(t)nR(t)二Cexp(—dt系統(tǒng)可靠性模型:(1)串聯(lián)系統(tǒng)(seriessystem)系統(tǒng)由n個單元組成,系統(tǒng)工作的充分必要條件為所有單元均工作.用可靠性框圖表示為：TOC\o"1-5"\h\z—12°n—串聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖令X,(1<i<n)為第i個單元的壽命，則其可靠度為R(t)二P{X>t}；假定iiiX,X，…,X相互獨立,且各單元在初始時刻t二0,所有的部件都是新的,且同時開始工作，則系統(tǒng)的壽命為X二min{X,X，…，X}?12n系統(tǒng)可靠度為R(t)二P{X>t}二P{min{X,X，…,X}>t}12n=P{X>t,X>t,…,X>t}=HP{X>t}12nii=1=Hr(t)?i系統(tǒng)的失效=1率可由下面的關(guān)系獲得R(t)=11exp(—Jr(u)du)=exp(—J》r(u)du),因此,我們有iii=100i=1r(t)=》r(t),即串聯(lián)系統(tǒng)的失效率為各單兀失效率之和.ii=1如果各單元的壽命為指數(shù)分布，則系統(tǒng)的失效率為工九，由此可得出系ii=1統(tǒng)的平均壽命為一1—,此處九為單兀i的失效率.》九'ii=1(也可用馬爾可夫鏈的方式來給出指數(shù)分布串聯(lián)系統(tǒng)的MTTF(MeanTimeToFailure)).(2)并聯(lián)系統(tǒng)(parallelsystem)系統(tǒng)由n個單元組成，只有當(dāng)這n個單元全部失效后系統(tǒng)才失效，即這n個單元并聯(lián)而成.其可靠性框圖為：

12???—n—若假定在id(independentdistribution)的情況下，系統(tǒng)的壽命為X二max{X,X，…,X},且在時刻t=0時所有單元是新的，則系統(tǒng)的可靠度12nR(t)二P{max{X,X，…，X}>t}12n二1-P{max{X，X，…，X}<t}12n二1-P{X<t，X<t，…X<t}12n二l-Ft1[1-R(t)]i(思考題:若各單元為指數(shù)分布,請給出系統(tǒng)的MTTF)3.表決系統(tǒng):(k-out-of-n:Gsystem：n中取k：G系統(tǒng))系統(tǒng)由n個單元組成，只要當(dāng)這n個單元中的k單元工作,系統(tǒng)才工作,此系統(tǒng)稱為n中取k表決系統(tǒng),記為:k/n(G)?即當(dāng)失效的單元數(shù)大于或等于n-k+1時,系統(tǒng)才失效.如果在iid(independentidenticaldistribution)情況下，且在初始時刻所有部件均是新的，則系統(tǒng)可靠度為y(n)R(t)二乙P{X<t,?..,X<t,X>t,?..,X>t}丿=丄j丿j+1n1jy(n)二乙.[R(t)]j[1-R(t)]n-j円Ij丿00一個重要等式:ykj=0勺)Rn-j(1ykj=0勺)Rn-j(1—R)jIj丿1B(n—k,k+1)0(0<R<1)-1}Proof:d

dRj=0/n)Rn-j(1—R)j]=nIj丿Rn-k-1(1-R)n!=(n—k—l)!k!Rn-k7—R"n!對上式進行積分,積分上，下限分別為R和0得出結(jié)論.#在上面的證明中用到了:B(s,t)三JxB(s,t)三Jxs—i(1-x)t—idx,r(f)三Jxf—ie-xdx,00B(s,t)=r（s）r（t）r（s+1）r(f+1)二fr(f).因而,系統(tǒng)的可靠度也可寫為：R（R（t）=系統(tǒng)可靠性框圖為：n!R0(t)JUk-1(1-U)n-kdU.(n-k)!(k-1)!0如果單元的壽命密度函數(shù)為f0（t）,則系統(tǒng)的失效率函數(shù)為f0(t)[R0(t爪-1[1-R0(t)]n-k0JUk-1(1-U)n-kdU當(dāng)R(t)二e-k時，R(t)=R(t)=￡j=k/n)e-山(1—e-尢t)n-j,Ij丿MTTF

=JR(t)dt但在id情況下，問題略微復(fù)雜一些，例如對2/4(G)系統(tǒng)，我們有,0=JH00=JH0j=k=工！(1—y)j-1yn-jdy='n)e-j"(1—e-入t)n-jdtIj丿kj=k1工九j=kR(t)二R(T)R(T)R(T)R(T)+F(T)R(T)R(T)R(T)+R(T)F(T)R(T)R(T)TOC\o"1-5"\h\z123412341234+R(T)R(T)F(T)R(T)+R(T)R(T)R(T)F(T)+F(T)F(T)R(T)R(T)123412341234+R(T)F(T)F(T)R(T)+R(T)R(T)F(T)F(T)+F(T)R(T)F(T)R(T)123412341234+F(T)+F(T)R(T)R(T)F(T)+R(T)F(T)R(T)F(T)1234234-firstlecture表決系統(tǒng)的另外一種形式是k/n(F)系統(tǒng),它是由N單兀組成，如果在這N個單元中有k或k個以上單元失效，則系統(tǒng)失效.因此，我們可以得出k/n(F)系統(tǒng)等價于N-k+1/n(G)系統(tǒng).表決系統(tǒng)與串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)的關(guān)系:1/n(F)或N/n(G)是串聯(lián)系統(tǒng)；N/n(F)或1/n(G)系統(tǒng)為并聯(lián)系統(tǒng).多數(shù)表決系統(tǒng)：(n+1)/(2n+1)(G)或(n+1)/(2n+1)(F)系統(tǒng).表決系統(tǒng)應(yīng)用：工程系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集；數(shù)據(jù)融合；社會科學(xué)；等等。串-并聯(lián)系統(tǒng)：其可靠性框圖為系統(tǒng)可靠度為R(t)={1-FI[1-R(T)]}.ijI=1/=1并-串聯(lián)系統(tǒng)：其可靠性框圖為

系統(tǒng)可靠度為R(t)二i-H[i-FIr(t)].iji=j=1冷貯備系統(tǒng):轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠的情形系統(tǒng)由n個單元組成，在初始時刻，一個單元開始工作，其余n-1個單元作冷貯備.當(dāng)工作單元失效時,貯備單元逐個地去替換,直到所有單元都失效時，系統(tǒng)才失效.可靠性框圖為:這里冷貯備是指貯備的單元在貯備期間不失效，不劣化，即貯備期的長短對后來的工作壽命無關(guān).系統(tǒng)壽命為:X=YX,系統(tǒng)的可靠度為：ii=1R(t)=1-F(t)=1-P{X<t}=1-P{X+X+…+X<t}12n=1-F(t)*F(t)*…*F(t).12n這里*表示卷積(convolution)A(t)*B(t)三J*B(t-u)dA(u)=\A(t-u)dB(u)?怎樣理解卷積？………)系統(tǒng)的平均壽命為:MTTF=￡E(X)i當(dāng)F(t)=1—e-尢t,i二1,2,…,n時:我們有iR(t)=e-k2—1叢k!<k=0nMTTF=“

、九(思考題：當(dāng)F(t)=1—e-3,i=1,2,…,n時,情況為??)?Hints:Laplacetransform/inverseLaplacetransform.>with(inttrans):>laplace(c*exp(-c*t),t,s);invlaplace((s+5)/(s+2)A2,s,t);3texp(-2t)+exp(-2t)invlaplace((s+5)A2/(s+2)A3,s,t);29/2texp(-2t)+6texp(-2t)+exp(-2t)特別是當(dāng)系統(tǒng)由兩個指數(shù)分布單元組成時,我們有(方法一)F(t)*F(t)=P{X+X<t}=fF(t—x)dF(x)=f(1—e-/-x))de嗎x121210=1—2exp(—kt)+1exp(—kt)k-k1k-k272112(方法二)LS[7)*F2(t)](S)=LSF(t)](S)-LSF(t)](S)=做反Ls變換得1—s+k12kk=21+1k—ks+kk—k21112k—2—三ALs-1[A](t)=1—R(t)?(隨機變量X的特征值：Expectation:e(X),Variance:Var(X),中位數(shù)，眾數(shù)，分位數(shù)，中心矩：E{[X-E(X)]m},原點矩：E{(X)m}，偏度(skewness)：e{[(X-E(X)]3}/(、Var(X))3；峰度(kurtosis):E{[(X-E(X)]3}心Var(X))4-3,等等，但注意，一般有限的特征值不能完全確定隨機變量的分布)。數(shù)學(xué)變換：兩個重要：正態(tài)分布(一般統(tǒng)計學(xué))，指數(shù)分布(可靠性)理解再應(yīng)用，在理解。轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形開關(guān)也可能失效,我們只討論兩種類型:(i)開關(guān)壽命0-1型;(ii)開關(guān)壽命指數(shù)型6.2.1.轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形:開關(guān)壽命0-1型轉(zhuǎn)換開關(guān)在每次使用時，開關(guān)正常的概率為p,失效概率為q二1-p,因而,在下列兩種情形之一,系統(tǒng)就失效:當(dāng)正在工作的單元失效,使用轉(zhuǎn)換開關(guān)時開關(guān)失效;所有n個單元全部失效.假設(shè)：n個單元為iid,且其壽命分布為指數(shù)分布，即F(t)二1-exp(-九t),而且單元的壽命與開關(guān)的壽命相互獨立.i為了給出系統(tǒng)的可靠度，我們引進一個隨機變量VV二j,當(dāng)?shù)趈次使用開關(guān)時，開關(guān)首次失效，j二1,2,…,n-1;V二n，當(dāng)n-1次使用開關(guān)時，開關(guān)都正常.因而，我們有P{V=j}=pj-1q,j=1,2,…,n-1.E(V)=》jP{V=j}=E(V)=》jP{V=j}=j=1藝j=1jpj-1q+npn-1=(1一pn).q(sum('k*pA(k-l)*q','k'=l..n-l)+n*pA(n-l);simplify(%);)那么，系統(tǒng)的壽命為：X=X+X+…+XTOC\o"1-5"\h\z12VR(t)=P{X+X+…+X>t}12V=》P{X+X+…+X>11V=j}P{V=j}12Vj=1=P{X+X+?…+X>t}pj-1q+P{X+X+?…+X>t}pn~112j12nj=1由于F(t)=1-exp(-九t),因而有，iP{X+X+…+X>t}丄凹!exp(-Xt),j=1,2,…,n?i=012i=0i=0事實上，上面的分布為r分布.i!R(t)=藝pj-1q藝g)iexp(-毗)+pn-1藝g)'exp(—九t)i!i!j=1i=0i=0=藝亞exp(-Xt)i!思考題：此系統(tǒng)與6.1模型的關(guān)系?MTTF=E(X+X+…+X)TOC\o"1-5"\h\z12V=1Le(X+X+…+XIV=j)P{V=j}12Vj=1.=》jE(X)P{V=j}=E(X)E(V)=1(1-pn)、一j=111叫、、、當(dāng)每個單兀的失效率不同時，系統(tǒng)的r(t),MTTF較復(fù)雜.下面我們只討論兩個單元的情況.Iq,whenj=1,

P{V=力=[p,whenj=2.R(t)=P{^X>t}jj=1

=P{X>11V=1}P{V=1}+P{X+X>11V=2}P{V=2}112=qP{X>t}+pP{X+X>t}112=qexp（—九t）+p[1-P{X+X<t}]112=qexp（-尢t）+p[1-fP{X<t-u}dF（u）]1120=qexp（—尢t）+p{1-f（1-exp[—尢（t-u）]）尢exp（—尢u）du}11220=qexp（—九t）+p{1-f（1-exp[—九（t-u）]）九exp（—九u）du}11220p尢=exp（—九t）+1—[exp（—九t）-exp（—九t）]1九一九2112MTTF=1+纟.九九轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形:開關(guān)壽命指數(shù)型假設(shè)開關(guān)的壽命X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，并于各部件的壽命相互獨立.這樣開關(guān)對系統(tǒng)的影響有兩種不同的形式：（1）當(dāng)開關(guān)失效時,系統(tǒng)立即失效.系統(tǒng)的壽命為：X=min（X+X+…+X,X）12nKR（t）=P{min（X+X+…+X,X）>t}12nK=P{X+X+…+X>t}P{X>t}12nKi=0TOC\o"1-5"\h\z=exp（—九t）￡1（九t-exp（—九t）i!Ki=0i=0MTTF=fR（t）dt二藝兀ftiexp（-（X+九）t）dti!K0i=00=藝-=藝-—fxiexp(—x)dxi=0(X+XK)i+1i!0=EXi=_1[1-(丄)n](X+X)i+1XX+X(2)當(dāng)開關(guān)失效時，0系統(tǒng)并不立即失效，當(dāng)工作單元失效需要開關(guān)轉(zhuǎn)換時，由于開關(guān)失效而使系統(tǒng)失效.為簡單起見,我們只討論兩個單元的情況,X,X,X分別為單元1,2和開關(guān)的壽命，并且服從參數(shù)為X,X,X的指數(shù)分布:在7id情況下，則系統(tǒng)的壽命為X二X+XI，此處I為事件a12{X>X}A的示性函數(shù)，即K1

=P{X<t,X<X}+P{X+X<t,X>X}1K112K1=fP{X<x}dP{X<x}+fP{X<t—x}dP{X<x}K12100=f[1—exp(—Xx)]Xexp(—Xx)dx+f[1—exp(—X(t—x))]Xexp(—Xx)dxK11211由此得出:00因而,1—R(t)=P{X<t}A1,ifAoccurs;0,otherwise.R(t)=exp(—九t)+九+九一九K12[exp(—Xt)—exp(—(X+X)t)]21K<MTTF=丄+X1XX(X—X)21K<MTTF=丄+X1XX(X—X)21K溫貯備系統(tǒng):轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠的情形解法一:曹晉華書p55(討論了兩種情況：(i)X相同；(ii)n=2)解法二:假設(shè)(X,Y),(i=1,2,,n)為第i個單元的工作與貯備壽命，則系統(tǒng)壽命為(以n=3為例)：X=X+XI+XI+XI12{Y2>X1}3{Y2<X1，Y3>X1}3{Y2>X1，Y3>X1+X2}溫貯備系統(tǒng):轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形.溫貯備系統(tǒng):轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形:開關(guān)壽命0-1型令V=1如果開關(guān)時開關(guān)正常；V=0如果開關(guān)時開關(guān)不正常.系統(tǒng)壽命為(以兩個單元的系統(tǒng)為例)X=X+XII.12{Y>X}{V=1}因而,系統(tǒng)的可靠度為:21R(t)=P{X>t}=P{X>t,V=0}+P{X+XI>t,V=1}112{Y>X}溫貯備系統(tǒng):轉(zhuǎn)換開關(guān)不完全可靠的情形21關(guān)壽命指數(shù)型當(dāng)開關(guān)失效時,系統(tǒng)立即失效.系統(tǒng)的壽命為X=min{X+XI,X}，則系統(tǒng)的可靠度為12{Y2>X1}KR(t)=P{X>t}P{X+XI>t}.K12{Y>X}當(dāng)開關(guān)失效時,系統(tǒng)并不21失效,當(dāng)工作單元失效需要開關(guān)轉(zhuǎn)換時,由于開關(guān)失效而使系統(tǒng)失效.系統(tǒng)的壽命為X二X+XII,12{Y>X}{X>X}則系統(tǒng)的可靠度為：21K11-R(t)=P{X<t}=P{X<t,Y<X}+P{X<t,Y>X}2121=P{X<t,Y<X}+P{X<t,Y>X}2121=P{X<t,Y<X}+P{X+X<t,Y>X,X>X}+P{X<t,Y>X,X<X}N中取連續(xù)K(N中連續(xù)取K)(Consecutive-k-out-of-n)Definition：(consecutive-k-out-of-n：Fsystem)：Thesystemconsistsofncomponentsarrangedinalineoracircle,thesystemfailsifandonlyifsomekconsecutivecomponentsfail.LetS(i,j)besetofallcomponentstatesofalinearworkingsystemwhichconsistsofcomponentsi,i+1,…,j.L(1,j)denotesalinearconsecutive-k-out-of-j：Fsystem.s,sareworkingstateandfailurestateofcomponent/.Theorem:s(1,n-1)二S(1,n)US(1,n-k-1)ss…s?TOC\o"1-5"\h\zLLLn—kn-k+1nProof.IfL(1,n)works,thenofcourseL(1,n-1)works.ThuswehaveS(1,n-1)nS(1,n)US(1,n-k-1)ss…s；Ontheotherhand,LLLn-kn-k+1nTheonlycasethatL(1,n-1)worksbutL(1,n)doesn'tiswhenthelastk+1componentsinL(1,n)havethestatesasspecified,i.e.,S(1,n-1)匸S(1,n)US(1,n-k-1)ss…s?LLLn-kn-k+1nTheProofiscompleted.Corollary:r(1,n)二R(1,n-1)-R(1,n-k-1)p廿q,LLLn-kn-k+jj=1WhereR(1,j)isthereliabilityofthelinearconsecutive-k-out-of-j:Fsystem;pisthereliabilityofcomponenti,q=1-p.應(yīng)用舉例:(consecutive-k-out-o