2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破09構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)專項(xiàng)突破高考定位構(gòu)造函數(shù)的題型設(shè)計(jì)能夠很好的考察學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，近些年，試題都多處設(shè)計(jì)了構(gòu)造函數(shù)，也將是以后每年必考的試題?？键c(diǎn)解析（1）分離構(gòu)造（2）合成構(gòu)造（3）同構(gòu)（4）原導(dǎo)混構(gòu)分項(xiàng)突破類型一、分離構(gòu)造倆個(gè)函數(shù)例1-1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.【答案】2【分析】先利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)，再將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而畫出圖象進(jìn)行判定.【詳解】，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與圖象的（如圖所示）：由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故答案為：2.例1-2．（2018·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，作函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下，，結(jié)合圖象可知，<b<2，故答案為:.類型二、同構(gòu)例2-1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較大?。驹斀狻拷猓毫詈瘮?shù)，因?yàn)槎x域?yàn)榈氖瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)；，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上為減函數(shù)，，因?yàn)?，所以，?故選：B.練1（2021·天津·南開(kāi)中學(xué)高三月考）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】令，所以所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以，?故選：C.練2（2021·黑龍江大慶·高三月考（理））設(shè)，，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，再由，得出，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【詳解】解：令，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，又，所以，又，，，所以.故選：A.例2-2.（2021·江蘇揚(yáng)州·高三月考）已知且，且，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，由題可得，，，根據(jù)單調(diào)性可判斷大小.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象如下，由題可得，，，，，，則，，，，，即，.故選：A.練1．（2021·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三月考）已知，且，，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，然后分別利用導(dǎo)數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性可求得答案【詳解】設(shè)，則，又，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以，故選：A.例2-3（指對(duì)轉(zhuǎn)換同構(gòu)解方程）．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c，滿足，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并判斷的范圍，通過(guò)變形得，得的大小關(guān)系，再直接解方程求的范圍，最后三個(gè)數(shù)比較大小.【詳解】設(shè)，時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，時(shí)，，而，所以，，故，即，而，所以．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并且根據(jù)指對(duì)互化，這樣根據(jù)單調(diào)性可得.練．（2021·安徽高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（）.若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.【答案】（1，+∞）.【分析】將原方程化為，進(jìn)而，即，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法得出單調(diào)遞增，則，再次構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法得到結(jié)論.【詳解】∵，∴，∴，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，∴，令，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，∴.若，則，沒(méi)有零點(diǎn)；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，只有一個(gè)零點(diǎn)；若，則，，，令，則，即在單調(diào)遞增，∴，即.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn).綜上：時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)，，∴，∴，這幾步的處理，我們稱為函數(shù)的“同構(gòu)”，有一定的技巧，但可以大大降低運(yùn)算量，需要自己總結(jié)歸納.例2-4（指對(duì)互化同構(gòu)解不等式）．（2021春?淇濱區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個(gè)選項(xiàng)也是顯然，可得，則顯然在，上恒成立；當(dāng)時(shí)，，令，，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以，即，再設(shè)，令，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍為．故選：．練．（2021春?南陽(yáng)期末）若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：設(shè)，求導(dǎo)可得，在單調(diào)遞增，，，，，，，，，，，又在單調(diào)遞增，，即，，，設(shè)，，求導(dǎo)可得，令，解得，，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在取得極小值點(diǎn)，也為的最小值點(diǎn)，（e），即，可得則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．練．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意，當(dāng)?shù)仁綄?duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則有對(duì)恒成立，又，令，則，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以（1），即，故在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以的最小值為（e），則，所以正數(shù)的取值范圍是．故選：．練．（2021春?東至縣校級(jí)期中）若對(duì)任意，不等式恒成立，則的范圍是A． B．， C．， D．【解答】解：由題意可得：，，由可得，即，令，可得，由可得，由可得，如圖：可得在單調(diào)遞增，若，則，可得，令，只需要，對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，實(shí)數(shù)的范圍為，，故選：．類型三、原導(dǎo)混合構(gòu)造例3-1（含ex的原導(dǎo)混合構(gòu)造）（2021·江西贛州·高三期中（理））已知定義在上的函數(shù)滿足且有，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后確定其單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再利用單調(diào)性得解集．【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以是上的增函?shù)，，不等式即為，即，所以，故選：D．練（含ex的原導(dǎo)混合構(gòu)造）26．（2021·廣東·揭陽(yáng)市揭東區(qū)教育局教研室高三期中）若定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式的解集為_(kāi)_______________．【答案】【分析】構(gòu)造，由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】構(gòu)造，則，函數(shù)滿足，則，故在上單調(diào)遞增．又∵，則，則不等式?，即，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可知．故答案為：.例3-2（含x2的原導(dǎo)混合構(gòu)造）1．（2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期中（理））已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，構(gòu)造出，會(huì)得到在上單調(diào)遞增，再將待解不等式的形式變成和相關(guān)的形式即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)，所以，即為上奇函數(shù)對(duì)求導(dǎo)，得，而當(dāng)時(shí)，有，故時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增不等式，又是奇函數(shù)，則，即所以，解得，即.故選：A.例3-3（含lnx的原導(dǎo)混合構(gòu)造）2．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最后分情況解不等式可得答案.【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，求，分兩種情況求解，當(dāng)時(shí)，，只需，解得，當(dāng)時(shí)，，只需，解得所以的范圍是故選：A.練（含lnx的原導(dǎo)混合構(gòu)造）3．（2021·江蘇·無(wú)錫市第一中學(xué)高三月考）已知是定的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，且滿足：，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得到函數(shù)單調(diào)遞減，再結(jié)合，和的奇偶性，通過(guò)分析得到當(dāng)，，，，故不等式等價(jià)于或，求解即可.【詳解】令，則，故函數(shù)單調(diào)遞減，定義域?yàn)?，?），時(shí)，；時(shí)，．時(shí)，；時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，，又（1）．當(dāng)，，又為奇函數(shù)，當(dāng)，．不等式等價(jià)于或解得或者故答案為：D.例3-4（含sinx的原導(dǎo)混合構(gòu)造）（2020·陜西西安市·交大附中）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是連續(xù)不間斷，任意，有，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，進(jìn)而得出在定義域內(nèi)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可解出所求不等式.【詳解】令，定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，因?yàn)槿我獾?，有，所以?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，則函數(shù)是上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞增，由，因?yàn)?，所以，，即，所以，又因?yàn)?，因?練、已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象是一段連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則,由條件可得