2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破03函數(shù)背景下的不等式

《函數(shù)背景下的不等式》專項突破高考定位函數(shù)、方程、不等式三者之間關(guān)系密不可分，也是高中數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容。函數(shù)不等式問題，其構(gòu)思新穎，條件隱蔽，技巧性強，解法靈活，往往讓學(xué)生感覺頭痛?？键c解析（1）數(shù)形結(jié)合解不等式（2）單調(diào)性解不等式（3）同構(gòu)解不等式題型解析類型一、利用圖像解不等式例1-1（抽象函數(shù)作圖）（2021·江西·高三月考（文））若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)圖象變換，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意是上的奇函數(shù)，且在遞增，且，所以在遞增，且.的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知，滿足的的取值范圍為.故選：C.練、已知定義在R上的偶函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)的草圖，將，轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足在內(nèi)單調(diào)遞增，所以滿足在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以．作出函數(shù)的草圖如下：由，得，得，所以或所以或解得或，即不等式的解集為．故選：D練．已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，任意滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函數(shù)，得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合單調(diào)性求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對稱，則，因為任意滿足，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故等價于，解得.故選：D例1-2（周期函數(shù)作圖）．（2021·山東菏澤·高三期中）定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有個，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)周期為4，關(guān)于對稱，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像結(jié)合奇偶性得到，解得答案.【詳解】為偶函數(shù)，，即，函數(shù)周期為.，函數(shù)關(guān)于對稱.和均為偶函數(shù)，故只考慮的情況，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：不等式的整數(shù)解有且僅有個，則需要滿足，解得.故選：D.例1-3（類周期作圖）．（2021·福建·福州四中高三月考）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，分段求函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象可得解．【詳解】因為，，∵時，，∴時，，；∴時，，，當(dāng)時，由解得或，如圖，由圖可知，若對任意，都有，則．故選：B.類型二、利用單調(diào)性解不等式例2-1（2021·河南·孟津縣第一高級中學(xué)高三月考（理））若函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用其性質(zhì)解不等式即可【詳解】的定義域為,因為，所以是奇函數(shù)，所以不等式可化為，因為在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，解得，故選：A.練．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三月考（理））已知減函數(shù)，若，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，列出不等式即可求出范圍.【詳解】易知為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，由，得，于是得，解得.故選:C.例2-2．（2021·廣東·揭陽市揭東區(qū)教育局教研室高三期中）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為()A．-1 B． C． D．【答案】A【分析】首先利用一次函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求出上的單調(diào)性，然后再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得到不等式，然后結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)和的范圍求解即可.【詳解】由一次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，且對于，；由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)易知，在上也是單調(diào)遞減的，且對于，，故在上單調(diào)遞減，又由，得為偶函數(shù)，且，若要對任意的，不等式恒成立，即對，不等式恒成立，，即，即，不妨令，，由一次函數(shù)性質(zhì)可知，，解得，故實數(shù)的最小值為.故選：A.練、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由，判斷出在上是增函數(shù)，然后再根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可求出的解集.【詳解】解：對任意的，都有，在上是增函數(shù)，令，則，為偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，當(dāng)時，，即，解得：，當(dāng)時，，即，解得：，綜上所述：的解集為：.故選：A.類型三、同構(gòu)法解不等式例3-1．（2021·遼寧沈陽·高三月考）設(shè)定義域為的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，解出即可．【詳解】解：令，則，

故g（x）在R遞增，

不等式，

即，

故，

故x＜2x?1，解得：x＞1，

故選：D.練（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定義在上的偶函數(shù)，說明奇函數(shù)，若時，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；【詳解】解：∵是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，∴為增函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵，若，，所以；若，，在上為增函數(shù)，可得，綜上得，不等式的解集是.故選：C.例3-2（指對互化同構(gòu)解不等式）．（2021春?淇濱區(qū)校級月考）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個選項也是顯然，可得，則顯然在，上恒成立；當(dāng)時，，令，，在上單調(diào)遞增．因為，，所以，即，再設(shè)，令，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍為．故選：．練．（2021春?南陽期末）若，不等式在上恒成