第3講 枚舉法一-完整版

第3講枚舉法一興趣篇（1）1-20共有多少個(gè)數(shù)？（2）20-40共有多少個(gè)數(shù)？答案：（1）20個(gè)；（2）21個(gè)解答：（1）20-1+1=20（個(gè)）（2）40-20+1=21（個(gè)）如圖3-1所示，桌子上有一些圍棋，共有多少枚黑棋？答案：16枚^墨莫在一張紙上畫了一些圖形，如圖3-2所示，每個(gè)圖形都是由若干條線段連接組成的，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，紙上一共有多少條線段？（最外面的大長(zhǎng)方形是紙的邊框，不算在內(nèi)）3.答案：24條解答：整個(gè)紙片上有6個(gè)圖形，為了便于說(shuō)明，把各個(gè)圖形編號(hào)為A、B、C、D、E、F，如下圖所示A號(hào)圖形由5條線段連成，B號(hào)圖形由3條線段連成，C號(hào)圖形由4條線段連

成，D號(hào)圖形由3條線段連成，E號(hào)圖形由5條線段連成，F(xiàn)號(hào)圖形由4條線段連成，因此，這些圖形中一共有線段5+3+-4+3+5+4=24(條)．^小明決定去香山、頤和園、圓明園這三個(gè)景點(diǎn)旅游.要走遍這三個(gè)景點(diǎn)，他一共有多少種不同的游覽順序？答案：6種解答：小明游覽這三個(gè)旅游景點(diǎn)共有6種不同路線，如下圖所示：如下圖所示：^★小王準(zhǔn)備從青島、三亞、桂林、杭州這4個(gè)地方中選2個(gè)去旅游，小王有多少種不同的選擇？如果小王想去其中的3個(gè)地方，又有多少種選擇？答案：6種；4種解答：(1)①如果小王去青島，那么他還要從三亞、桂林、杭州中選擇一個(gè)去旅游，有3種情況，即：青島與三亞，青島與桂林，青島與杭州；如果小王不去青島而去第二個(gè)城市三亞，那么他還要從桂林、杭州中選擇一個(gè)去旅游，有2種情況，即：三亞與桂林，三亞與杭州；如果小王青島、三亞都不去，那么池只能去桂林、杭州，有1種情況.如下圖所示：綜上所示，小王的選擇有3+2+1=6（種）（2）從反面思考問(wèn)題，4個(gè)城市中選擇了3個(gè)。相當(dāng)于選出一個(gè)城市不去，因此每個(gè)城市都有可能被小王排除而選擇其他3個(gè)城市游覽方案自然也有4種了?！?★★小燒餅每個(gè)5角錢，大燒餅每個(gè)2元錢.墨莫一共有6元錢，如果把這些錢全部用來(lái)買燒餅，一共有多少種不同的買法？答案：4種解答：由于買的大燒餅不能超過(guò)3個(gè)，則分別考慮買的大燒餅有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)這四種情況：如果沒(méi)有買大燒餅，他的6元錢就都用來(lái)買小燒餅了，小燒餅就要買12個(gè)；、如果買了1個(gè)大燒餅，他還剩6-2=4（元）就只能買8個(gè)燒餅；如果買了2個(gè)大燒餅，他還剩6-2x2=2（元），只能買4個(gè)燒餅；如果買了3個(gè)大燒餅，此時(shí)他的錢都用完了，不能再買小燒餅了。即：\、沁毅1雷3小燒餅敷8q0因此，如果墨莫把錢都花完，就可以有以上4種買法．

．★★在一次知識(shí)搶答比賽中，小高和墨莫兩個(gè)人一共答對(duì)了10道題，并且每人都有答對(duì)的題目，如果每道題答對(duì)得1分，那么小高和墨莫分別可能得多少分？請(qǐng)把所有的可能填寫到下面的表格里．11小高的總分111111111111■11■11■11111■11墨莫的總分111111111111111111111111111111答案：個(gè)人最多得9分，我們不妨從小高考慮起，依次考慮當(dāng)小高的得分為1~9分時(shí)，墨莫的得分情況，即可得到答案．．★★兩個(gè)海盜分20枚金幣．請(qǐng)問(wèn)：(1)如果每個(gè)海盜最少分到5枚金幣，一共有多少種不同的分法？(2)如果每個(gè)海盜最多分到16枚金幣，一共有多少種不同的分法？答案：(1)11種；(2)13種解答：(1)由兩個(gè)海盜每人最少分得5枚金幣，最多分得20-5=15(枚)金幣．我們把兩個(gè)海盜可能分得金幣的情況填入下面的表格中：(2)醫(yī)每個(gè)海盜最多分得16枚金幣，那么每人最少分得20-16=4(枚)金幣．我們同樣可以把兩個(gè)海盜可能分得金幣的情況填入下面的表格中：「斑逼A45791011121131115晦盜B1U15141312111098165i(T數(shù)一數(shù)即可得到，這樣的分法有13種．．★★有15個(gè)玻璃球，要把它們分成兩堆，一共有幾種不同的分法？這兩堆球的個(gè)數(shù)可能相差幾個(gè)？9.答案：7種；可能相差13，1l，9，7．5，3，1個(gè)解答：兩堆玻璃球沒(méi)有次序之分，但這兩堆玻璃球中一定有一堆較多而另一堆較少，或者兩堆一樣多（實(shí)際上不會(huì)出現(xiàn)兩堆一樣多的情況，因?yàn)椴Ａ蚩倲?shù)15是奇數(shù)）．此時(shí)較少的一堆中至少有1個(gè)球，至多有7個(gè)球，我們根據(jù)兩堆之和有15個(gè)球列出下表較少亠■堆的球數(shù)1234567較多一堆的球數(shù)141312:11108從表格中看出，一共有7種分球的方法，兩堆中球的個(gè)數(shù)可能相差14-1=13（個(gè)），13-2=11（個(gè)），12-3=9（個(gè)），11-4=7（個(gè)），10-5=5（個(gè)），9-6=3（個(gè)），8-7=1（個(gè)）．．★★張奶奶去超市買了12盒光明牛奶，這些牛奶需要裝在2個(gè)相同的袋子里，并且每個(gè)袋子最多只能裝10盒．張奶奶一共有幾種不同的裝法？答案：5種解答：由每個(gè)袋子最多只能裝10盒，裝得少的“小袋子”中最少放2盒牛奶，而共買了12盒牛奶，則裝得少的“小袋子”中最多放6盒牛奶，那么就有2盒，3盒，4盒，5盒，6盒這5種情況．把相應(yīng)的分法填人下表以上就是所求的5種分牛奶的方法，

拓展篇1.^★如圖3-3，小高畫了一個(gè)小房子，如果每畫一筆都不能拐彎，那么她最少畫了幾筆？答案：31筆解答：圖中兩扇窗戶都只能單獨(dú)畫，門也要單獨(dú)畫，所以我們可以把圖形分成3部分看：先數(shù)③，由于每一筆都不能拐彎，一筆只能畫出一條線段，所以③要畫4筆；再看②，每扇窗戶的外框需要畫4筆，里面的一橫一豎還要畫2筆，每扇窗戶一共要畫6筆，則②共要畫6x2=12（筆）；最后看①，煙囪需畫4筆，去掉煙囪后的圖形至少要畫11筆，則①最少要畫4+11=15（筆）．綜上所述，把所有筆畫都加起來(lái)一共要畫4+12+15=31（筆）．2.^★小高把82.^★小高把8塊綠豆糕擺成如圖3-4所示的圖形，讓墨莫挑兩塊挨在一起的綠豆糕，請(qǐng)問(wèn)：墨莫一共有多少種不同的挑法？答案：7種解答：將綠豆糕分別標(biāo)上編號(hào)1、所示的圖形，讓墨莫挑兩塊挨在一起的綠豆糕，請(qǐng)問(wèn)：墨莫一共有多少種不同的挑法？答案：7種解答：將綠豆糕分別標(biāo)上編號(hào)1、2、3、4、5、6、7、8．從左上往右下數(shù)，挨在一起的兩塊綠豆糕有：1和2，2和3，3和4，4和5．從左下往右上數(shù)，挨在一起的兩塊綠豆糕有：8和7，7和6，6和3．一共有7種不同的挑法．3．★★要沿著如圖3-5所示的道路從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，并且每段路最多只能經(jīng)過(guò)一次，一共有多少種不同的走法？圖3—5答案：4種解答：從A點(diǎn)出發(fā)，可以先向上走，也可以先向右走。①若從A點(diǎn)出發(fā)向上走，而遇到岔路時(shí)可以向上也可以向右．但這兩種方式都只有一種走法到達(dá)B，否則就有路線會(huì)重復(fù)經(jīng)過(guò)，如下圖所示：可以到達(dá)8可枚到達(dá)B不能到達(dá)可以到達(dá)8可枚到達(dá)B不能到達(dá)E若從A出發(fā)向右走，則遇到岔路口時(shí)可以向上也可以向左，如下圖所示，共有2種符合題意的走法綜上所述，從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有4種符合題意的走法?！铩镄「?、萱萱、卡莉婭三個(gè)人去看電影，他們買了三張座位相鄰的票.他們?nèi)说淖豁樞蛞还灿卸嗌俜N不同的安排方法？答案：6種解答：一共有2+2+2—6（種）安排座位的方法，如下圖所示：小高/萱萱一亠卡莉姻下圖所示：小高/萱萱一亠卡莉姻'卡莉婭一萱聲萱萱萱萱—?小高小高一萱萱萱萱—?小高小高一萱聲小高一*卡莉婭卡範(fàn)婭一小篙

^★小李擺攤賣貨，小木偶每個(gè)賣1元，大木偶每個(gè)賣2元，他今天共賣出了5個(gè)木偶．小李今天一共可能賣了多少錢？答案：5元、6元、7元、8元、9元或10元解答：小李可能賣的錢數(shù)有5元，6元，7元，8元，9無(wú)以及10元，如下表所示：賣出的小木偶數(shù)/X賣出的小木偶數(shù)/X個(gè))54321*賣出的大本偶數(shù)八;個(gè))0124.賣的錢數(shù)元》5678910^^(1)老師給小高14個(gè)相同的作業(yè)本，如果小高把這些本子全都分給墨莫和卡莉婭，有多少種不同的分法？(可以只分給一個(gè)人)(2)老師給小高14個(gè)相同的作業(yè)本，如果小高只需要把這些本子分成2堆，又有多少種不同的分法？答案：(1)15種；(2)7種解答：(1)墨莫分得的作業(yè)本個(gè)數(shù)可以是從O到14本，一共有15種情況，當(dāng)墨莫分完后，剩下的作業(yè)本就全部歸卡莉婭了，所以一共就會(huì)有15種不同的分法：(2)分成2堆時(shí)，每堆至少要有l(wèi)本作業(yè)本．因此從表格中可以看出，14本作業(yè)本共有7種不同的分法：較少一一靈的冬數(shù)12345Ji7較多一堆的今數(shù)1312n1097^★盤子里一共有20顆花生，小高和墨莫一起吃.每人一口吃2顆，兩個(gè)人一起把花生吃完(每人至少吃一口)．請(qǐng)列舉出他們吃花生數(shù)量的所有情況．答案：他們吃花生數(shù)量的所有情況如下表：小高246g101214161818161412108642解答：注意到每人一口吃2顆花生，所以每個(gè)人吃的花生顆數(shù)都是偶數(shù)．我們對(duì)小高吃的花生顆數(shù)進(jìn)行枚舉，他可能吃了2、4、6、8、10、12、14、16、18顆花生，對(duì)應(yīng)可求出墨莫吃的顆數(shù)，如圖3-6，有7個(gè)按鍵，上面分別寫著：1?7這7個(gè)數(shù)字，請(qǐng)問(wèn)：從中選出2個(gè)按鍵，使它們上面數(shù)字的差等于2，一共有多少種選法？從中選出2個(gè)按鍵，使它們上面數(shù)字的和大于9，一共有多少種選法？圖3-6答案：(1)5種；(2)6種解答：(1)按鍵上最小的數(shù)字是1，則減數(shù)最小是1；按鍵上最大的數(shù)字是7，則減數(shù)最大是7-2=5；因此減數(shù)共有1、2、3、4、5這5種情況，則按鍵共有5種取法：減數(shù)112345被減數(shù)134567(2)如果選出的較小的數(shù)是1，和最大為1+7=8，不滿足要求．如果較小的數(shù)是2，和最大為2+7—9，不滿足要求，如果較小的數(shù)是3，和要大于9，另一個(gè)數(shù)只能是7．如果較小的數(shù)是4，則另一個(gè)數(shù)可能是6、7．如果較小的數(shù)是5，則另一個(gè)數(shù)可能是6、7．如果較小的數(shù)是6，則另一個(gè)數(shù)只能是7．因此共有6種取法：較小數(shù)34455較大數(shù)167679.小高、墨莫、卡莉婭三個(gè)人一共有7本課外書，每個(gè)人至少有一本，小高、墨莫、卡莉婭分別有幾本課外書？請(qǐng)寫出全部可能的情況．解答：首先，小高至少有1本課外書．此時(shí)，墨莫和卞7-1=6(本)課外書，又每人至少有1本，因此列出表來(lái)共有5種情況，如圖1所示．又墨莫和卡莉婭是兩個(gè)不同的人，因此本題的枚舉有順序．

小高1111小高11111墨莫12345卡莉婭543￡1小高墨莫212223]24卡莉嫩4321小高333墨莫123卡莉婭321/k^r44?Ot-xjnt^12卡莉孃2151卡莉孃1類似地，可以得到小高有2本、3本、4本、5本課外書時(shí)，墨莫和卡莉婭兩人的課外書的數(shù)量，分別如圖2、圖3、圖4、圖5所示．但小高是不可能有6本課外書的，否則墨莫和卡莉婭兩人一共只有1本課外書，與題意矛盾，綜上所述，三人的課外書一共有5+4+3+2+1=15(種)10．小王有5個(gè)相同的飛機(jī)模型，他要把它們放在一個(gè)3層的貨架上，每層至少要放1個(gè)，小王一共有多少種不同的放法？過(guò)了幾天，他又要把18個(gè)相同的汽車模型放到另一個(gè)3層貨架上，每層最少要放5個(gè)，這時(shí)有多少種不同的放法？答案：6種；10種解答：(1)解答：(1)(2)先在每層都放5輛，還剩下18-5x3-3輛沒(méi)有放.第一層—第一層第一層—第一層003012021030102第一層i色第三層111120201210300因此共有4+3+2+1=10(種)不同的放法，只要把上表中的數(shù)字都加上5，就能夠得到所有可能的放法，如下表所示：第一層■/第一層■/*********Jjl&i'558557576535657第一層第二層S￡c第二層666675756765855所以一共有10種不同的放法．(1)小明買回來(lái)一袋糖豆，他數(shù)了一下，一共有10個(gè)．現(xiàn)在他要把這些糖豆分成3堆，一共有多少種不同的分法？(2)如果小明有兩袋糖豆，每袋10個(gè)，要把這兩袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5個(gè)，一共有多少種不同的分法？答案：(1)8種；(2)5種

解答：（1）共有4+3+1=8（種）分法，如下表所示：（2）2袋共有2x10-20（個(gè)）糖豆，先給每堆都放人5個(gè)，則已經(jīng)分出去5x3—15（個(gè)）糖豆，還剩下5個(gè)糖豆要分?5個(gè)糖豆往3堆中放，按照小堆個(gè)數(shù)從小到大的順序枚舉如下：只要把上表中的數(shù)字都加上5，就能夠得到所有可能的放法，所以一共有5種不同的放法.A、B、C、D、E這五個(gè)人一起回答一道題目，結(jié)果只有兩個(gè)人答對(duì)了，所有可能的回答情況一共有多少種？答案：10種解答：①如果A答對(duì)了，那么另一個(gè)答對(duì)的人可能是B、C、D、E,共有4種情況．如果A答錯(cuò)了，而B答對(duì)了，那么另一個(gè)答對(duì)的人可能是C、D、E，共有3種情況．如果A、B答錯(cuò)了，而C答對(duì)了，那么另一個(gè)答對(duì)的人可能是D、E，共有2種情況．如果A、B、C答錯(cuò)了，而D答對(duì)了，那么另一個(gè)答對(duì)的人只能是E，共有1種情況因此兩人答對(duì)共有4+3+2+1=10(種)可能，(1)有2個(gè)相同的白球和1個(gè)紅球，如果把這3個(gè)小球排成一排，有多少種不同的排法？(2)有2個(gè)相同的白球和3個(gè)相同的紅球，如果把這5個(gè)小球排成一排，有多少種不同的排法？答案：(1)3種；(2)10種解答：(1)由于紅球只有1個(gè)，只要它的位置確定了，其他兩個(gè)白球兢確定了，則共有3種不同的排法：(白，白，紅)；(白，紅，白)；(紅，白，白)．(2)可以先考慮個(gè)數(shù)比較少的白球，因?yàn)橹灰獌蓚€(gè)白球的位置確定了，紅球就確定了．如果第一個(gè)白球放在第一位，那么另外一個(gè)白球可以放在第二、三、四、五位，有4種排法；如果第一個(gè)白球放在第二位，那么另外一個(gè)白球可以放在第三、四、五位，有3種排法；如果第一個(gè)白球放在第三位，那么另外一個(gè)白球可以放在第四、五位，有2種排法；如果第一個(gè)白球放在第四位，那么另外一個(gè)白球可以放在第五位，有1種排法；第一個(gè)白球不可能放在第五位，綜上所述，2個(gè)白球3個(gè)紅球排成一排，共有4+3+2+1=10（種）不同的排法.班主任要從甲、乙、丙、丁、戊這五個(gè)小朋友里面選出四個(gè)人參加乒乓球賽，有多少種不同的選法？如果已經(jīng)選出了甲、乙、丙、丁，現(xiàn)在要把他們分成兩組，進(jìn)行雙打比賽，有多少種不同的分法？答案：15種；3種解答：（1）要從5個(gè)人中去掉一個(gè)不選，那只有5種可能性，分別是去掉甲、乙、丙、丁、戊．所以從5個(gè)小朋友中選4個(gè)人有5種選法．（2）與甲搭檔的只可能是乙、丙、丁3個(gè)人中的一人，也就是說(shuō)只有甲乙（丙丁），甲丙（乙?。?，甲?。ㄒ冶?種分組方式．超越篇1.小明參加了一次小測(cè)驗(yàn)，每個(gè)小題2分，每個(gè)大題5分，兩種題目各有3道．小明的得分一共有多少種不同的可能？答案：16種解答：由于小題和大題各有3道，則小明答對(duì)小題的數(shù)目可能是0道、1道、2道、3道，答對(duì)大題的數(shù)目也是如此，對(duì)于以上的4種情況，可以列一個(gè)總表來(lái)表示：小題對(duì)0這小題對(duì)小題對(duì)2道小題對(duì)3道大題對(duì)0這0分2分4分6分大題對(duì)［遴5分7分9分11分大題對(duì)2道分芻分14分諾分大題對(duì)3道1$分17分19分21分在上面的表格中，小明的總分各不相同，因此一共有4x4=16（種）不同的得分。2．幾個(gè)小朋友在屋子里玩石頭剪子布，墨莫在門外問(wèn)他們一共有幾個(gè)人，其中一個(gè)小朋友說(shuō)：“不能直接告訴你人數(shù)，不過(guò)我們現(xiàn)在一共伸出來(lái)了22根手指，并且有3個(gè)人出石頭，”請(qǐng)問(wèn)：屋子里可能有幾個(gè)人在玩游戲？（出石頭的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5根）答案：14人、11人或8人解答：出石頭的有3人，而出石頭的不伸手指頭，那么伸出的這22根手指頭就只能是出剪子和出布的人伸出的，與出石頭的人無(wú)關(guān)．由于出剪子的伸2根手指頭，出布的伸j根手指頭，而一共伸出了22根手指頭，因此出剪子的不超過(guò)11個(gè)，出布的不超過(guò)4個(gè)．當(dāng)出布的有0人時(shí)，伸出的22根手指頭都是出剪子的人伸出的，那么出剪子的人有22-2=11（個(gè)）;當(dāng)出布的有1人時(shí)，出剪子的人一共伸出了22-5=17（根）手指頭，但是出剪子的每人伸出2根手指頭，而17是奇數(shù)，這就出現(xiàn)了矛盾；當(dāng)出布的有2人時(shí)，出剪子的人一共伸出了22-5x2=12（根）手指頭，那么出剪子的人就有12-2=6（個(gè)）；當(dāng)出布的有3人時(shí)，出剪子的人一共伸出了22-5x3=7（根）手指頭.7也是奇數(shù)，于是又出現(xiàn)矛盾；當(dāng)出布的有4個(gè)人時(shí)，出剪子的人一共伸出了22-4x5=2（根）手指頭，那么此時(shí)出剪子的人就只有1個(gè).綜上所述，出石頭、出布和出剪子的人數(shù)可能是：對(duì)應(yīng)的屋里總?cè)藬?shù)也有3種情況：3+0+11=14（人），或3+2+6=11（人），或3+4+1=8（人）．3．一次小測(cè)驗(yàn)一共4道題，最初每位同學(xué)都有4分的基礎(chǔ)分，然后每答對(duì)一道題加3分，每答錯(cuò)一道題扣1分，不答不扣分，同學(xué)們的得分可能是多少？答案：目得分可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分，有14種惰況解答：一共有4道題目，那么答對(duì)的題目可能是0~4道.如果答對(duì)了0道題，則答錯(cuò)的和不答的一共有4道題，有5種情況：類似地，可以得到答對(duì)1道、2道、3道、4道題時(shí)的所有得分情況：綜上所述，一共有5+4+3+2+1=15（種）答題結(jié)果．其中4道題都不答，與答對(duì)1道答錯(cuò)3道得分一樣，都是4分，而其他的答題結(jié)果對(duì)應(yīng)的得分各不相同，因此每位同學(xué)的得分有14種可能，分別是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分．4．現(xiàn)在有1分、2分、5分的硬幣各5枚，要用這些硬幣湊出2角錢，一共有多少種不同的湊法？答案：8種解答：因1分和2分的硬幣加在一起只有1角5分，要湊出2角，則5分的硬幣至少有1枚．當(dāng)5分硬幣只取1枚時(shí)，1分和2分的硬幣必須全都選出，才能湊夠2角錢，有1種湊法．當(dāng)取2枚5分硬幣時(shí)，我們還要用5枚1分硬幣和5枚2分硬幣湊出1角錢，有3種湊法：當(dāng)取3枚5分硬幣時(shí)，還要用5枚1分硬幣和5枚2分硬幣湊出5分錢，也有3種湊法：3分硬幣的傘數(shù)3332分硬幣的個(gè)數(shù)2101分硬幣的個(gè)數(shù)135當(dāng)取4枚5分硬幣時(shí)，已經(jīng)湊夠2角錢了，1分和2分硬幣只能一個(gè)都不取，不可能取5枚5分硬幣，否則就超過(guò)2角錢了，綜合上面4種情況可得，湊出2角錢一共有1+3+3+1=8（種）湊法．5．如圖3-7，媽媽在5張卡片上分別寫了1、1、1、2、2這5個(gè)數(shù)字，讓小明從里面挑出3張來(lái)組成一個(gè)三位數(shù)．小明可能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？圖3-7答案：7個(gè)解