第02講等差數(shù)列（原卷版）

第02講等差數(shù)列1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.定義表達式：an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．2．等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.3．等差中項若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c.b叫做a與c的等差中項．4．等差數(shù)列的下標和公式若k＋l＝m＋n，則ak＋al＝am＋an.5．等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．7．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差為eq\f(1,2)d.8．等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．一．等差數(shù)列基本量的運算例1．（1）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．6（2）已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6（3）設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則（

）A． B． C． D．（4）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n，則的值是_____.【復(fù)習指導(dǎo)】：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.（5）(2020·新高考全國Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．(3)通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自變量為n的一次函數(shù)．二．等差數(shù)列的判定與證明例2．（1）已知數(shù)列的前n項和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列（2）數(shù)列中，，，則______.（3）等差數(shù)列的前項和是，若，則實數(shù)__________.（4）已知數(shù)列{}滿足．(=1\*romani)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(=2\*romanii)求數(shù)列{}的通項公式．（5）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，數(shù)列的通項為．(=1\*romani)求證：是等差數(shù)列；(=2\*romanii)設(shè)，求前項和．【復(fù)習指導(dǎo)】：判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)．(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項公式法：對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù))．(4)前n項和公式法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．三．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)例3．（1）某中學的“幫困助學”愛心募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次為期天的募捐活動，共收到捐款元，由于采取了積極措施，每天收到的捐款依次構(gòu)成等差數(shù)列，則第天收到的捐款是（

）（單位：元）A．100 B．200 C．300 D．400（2）等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項之和為（

）A．24 B．27 C．48 D．54（3）已知等差數(shù)列的前項和為是關(guān)于的方程的兩根，則（

）A．22 B．24 C．26 D．28（4）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列選項不正確的是（

）A． B． C． D．（5）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，則公差d＝______．【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列運算的兩種常用思路(1)基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar．這個性質(zhì)常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．命題點2等差數(shù)列和的性質(zhì)例4．（1）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．（2）在等差數(shù)列中，其前項和為，若，則（

）A． B． C． D．（3）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．（4）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則S2017的值等于()A．2016B．－2016C．2017D．－2017【復(fù)習指導(dǎo)】：等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差為eq\f(1,2)d.（5）等差數(shù)列，前n項和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．（6）已知等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,3n－1)，則eq\f(S11,T11)等于()A．eq\f(15,17)B．eq\f(25,32)C．1D．2（7）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項和分別為與，若，則________；________．命題點3等差數(shù)列的最值問題例5．（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且它們的前n項和有最大值，則使得的n的最大值為（）A．19 B．20 C．21 D．22【復(fù)習指導(dǎo)】：本題應(yīng)用公式，等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.對數(shù)列的公式要靈活應(yīng)用是快速解題的關(guān)鍵，解出?的關(guān)系式，再求出的臨界條件，判斷滿足的最大自然數(shù)的值.（2）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，則取最小時，（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是（

）A．4040 B．4041 C．4042 D．4043（4）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，若存在最大值，則在，中最大的數(shù)是（）A． B． C． D．無法確定（5）（多選）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，，，，則

A． B．，C． D．當時，有最大值【復(fù)習指導(dǎo)】：(1)等差數(shù)列前n項和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負項之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項之和．(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．②運用二次函數(shù)求最值．Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．1．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和．已知，，則（）A．為遞減數(shù)列 B．C．有最大值 D．2．已知A，B，C三人都去同一場所鍛煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是（

）A．3月22日 B．3月23日 C．3月24日 D．3月25日3．已知是數(shù)列的前項和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．6 B．12 C．78 D．1566．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項和為，則的最大值為（

）A．66 B．72 C．132 D．1987．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（

）A．1125塊 B．1134塊 C．1143塊 D．1152塊8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．40 B．45 C．50 D．559．等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．10 B．20 C．30 D．1510．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．2711．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，則下列說法錯誤的是（

）A．數(shù)列一定是等比數(shù)列 B．數(shù)列一定是等差數(shù)列C．數(shù)列一定是等差數(shù)列 D．數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列12．在等差數(shù)列中，為其前項和．若，且，則等于（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．201813．在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則（

）A．4040 B．2020 C．2020 D．404014．設(shè)數(shù)列的前n項和Sn，且，則數(shù)列的前11項為（

）A． B． C． D．15．在等差數(shù)列中，，其前項的和為．若，則（）A． B． C． D．16．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．17．兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為，，且，則等于（

）A． B． C． D．18．已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（

）A． B． C． D．19．已知等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，20．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．2221．等差數(shù)列的前項和為，若，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．22．等差數(shù)列的前n項和為，當首項和公差d變化時，是一個定值，則下列選項中為定值的是（

）A． B． C． D．23．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．24．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使得前項和取得最大值時的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．101125．（多選）已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．數(shù)列不是等差數(shù)列C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列26．（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．的通項公式為C．為等比數(shù)列 D．的前n項和27．（多選）已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，則（

）A．{an}的公差為2 B．{an}的通項公式為an=313nC．{an}的前n項和為 D．{|an|}的前50項和為257528．（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，，則（

）A．數(shù)列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為29．（多選）已知兩個等差數(shù)列、的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的的取值可以是（

）A． B． C． D．30．（多選）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．31．（多選）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是32．（多選）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．只在處時才取最小值33．（多選）下列命題正確的是（

）A．已知數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列一定是等差數(shù)列.B．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為24.C．已知等差數(shù)列與的前項和分別為與，若，則.D．已知等差數(shù)列的前項和為，，公差，若，則必有是中最大的項.34．已知數(shù)列對任意正整數(shù)n都有，且是方程的兩個實根，則___________.35．在等差數(shù)列中，，則使成立的最大自然數(shù)n為_______36．已知等差數(shù)列的前項和為，若數(shù)列的前項和為，則______.37．等差數(shù)列中，，前項和為，若，