【高效備課】人教版八(上) 11.2 與三角形有關(guān)的角 11.2.1 三角形的內(nèi)角 課件

第第頁【高效備課】人教版八(上)11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角課件(共44張PPT)

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

R·八年級(jí)上冊(cè)

前面我們學(xué)習(xí)了與三角形有關(guān)的線段，今天我們就來學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角.三角形內(nèi)角和定理是本章的重要內(nèi)容，也是“圖形與幾何”必備的知識(shí)基礎(chǔ)．它從“角”的角度刻畫了三角形的特征．三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的研究過程，同時(shí)也說明了證明的必要性．

新課導(dǎo)入

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過經(jīng)歷探究活動(dòng)的過程，得出三角形的

內(nèi)角和定理.

2．能運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和定理.

3．能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)并歸納直角

三角形的性質(zhì)與判定.

推進(jìn)新課

探索并證明三角形內(nèi)角和定理

在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究．

知識(shí)點(diǎn)1

方法：度量、剪拼、折疊

B

B

C

C

A

A

A

B

B

C

A

A

B

B

C

A

B

B

C

C

方法：度量、剪拼、折疊

A

B

C

方法：度量、剪拼、折疊

追問1運(yùn)用度量的方法，得出的三個(gè)內(nèi)角的和都是180°嗎？為什么？

不一定，測(cè)量可能會(huì)有誤差．

追問2通過度量、剪拼或折疊的方法驗(yàn)證了手中的三角形紙片的三個(gè)內(nèi)角和等于180°，但我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個(gè)，而形狀不同的三角形有無數(shù)個(gè)，我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和都等于180°”這個(gè)結(jié)論呢？

需要通過推理去證明．

你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？

追問1在下圖中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)了一條過點(diǎn)A的直線l，直線l與邊BC有什么位置關(guān)系？

直線l與邊BC平行．

B

B

C

C

A

l

B

B

C

C

A

l

追問2在操作過程中,我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的直線l，由此，你又能受到什么啟發(fā)？你能發(fā)現(xiàn)證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路嗎？

通過添加與邊BC平行的輔助線l，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明該結(jié)論．

證明：過點(diǎn)A作直線l，使l∥BC．

∵l∥BC，

∴∠2=∠4，

∠3=∠5

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．

追問3結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？

已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．

A

B

C

2

4

1

5

3

l

A

B

C

2

4

1

5

3

l

追問3結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？

已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．

證明：∵∠1+∠4+∠5=180°

（平角定義），

∴∠A+∠B+∠C=180°

（等量代換）．

追問4通過前面的操作和證明過程，你受到了什么啟發(fā)？你還能用其他方法證明此定理嗎？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

追問4通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

n

追問4通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？

C

A

B

1

2

3

4

5

l

P

6

m

n

追問4通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？

運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理

知識(shí)點(diǎn)2

例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．

解：∵由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，得

∠BAD=∠BAC=20°.

在△ABD中，

∠ADB=180°–∠B–∠BAD

=180°–75°–20°

=85°.

北

北

C

A

B

D

E

例2如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？

解：

∠CAB=∠BAD-∠CAD

=80°-50°

=30°.

過C點(diǎn)作正南方向線，則有

∠1=∠3，∠2=∠4

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠ACB=∠1+∠2

=∠3+∠4

=50°+40°

=90°

（等量代換）．

北

北

C

A

B

D

E

南

3

4

1

2

練習(xí)1如圖，說出各圖中∠1的度數(shù)．

30°

105°

1

（2）

80°

50°

1

（1）

22°

1

（3）

50°

45°

68°

練習(xí)2如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測(cè)C處的仰角∠CBD=45°．從C處觀測(cè)A，B兩處的視角∠ACB是多少？

A

B

D

C

∠ACB=∠ACD–∠BCD

=60°–45°=15°.

【課本P13練習(xí)第1題】

問題在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你是用什么知識(shí)解決的？

A

B

C

∠C=90°，三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。

A

B

C

探索直角三角形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)3

在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度數(shù)嗎？為什么？你能求出∠A+∠B的度數(shù)嗎？

利用上面的結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？

直角三角形的兩個(gè)銳角互余．

A

B

C

直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，

直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．

A

B

C

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°．

此性質(zhì)的幾何推理格式該怎樣表示？

例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？

分析：兩個(gè)角的關(guān)系是什么？這兩個(gè)角分別在什么三角形中？你如何驗(yàn)證自己的想法？

C

D

E

A

B

例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？

C

D

E

A

B

解：在Rt△AEC中，

∵∠C=90°，

∴∠CAE+∠AEC=90°

（直角三角形兩銳角互余）．

在Rt△BDE中，

∵∠D=90°，

例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？

C

D

E

A

B

解：∴∠DBE+∠BED=90°

（直角三角形兩銳角互余）．

∵∠AEC=∠BED

（對(duì)頂角相等），

∴∠CAE=∠DBE

（等角的余角相等）．

探索直角三角形的判定

知識(shí)點(diǎn)4

我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余．反過來，你能得出什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論成立嗎？如何驗(yàn)證你的想法？

利用三角形內(nèi)角和定理可得：

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．

類比性質(zhì)的幾何推理格式，判定的幾何推理格式又該怎樣表示？

推理格式：

在Rt△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形．

A

B

C

相等．

同角的余角相等．

練習(xí)如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？

D

A

B

C

【課本P14練習(xí)第1題】

D

A

B

C

變式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，則CD是△ACB的高嗎？為什么？

是．

有兩個(gè)角互余的三角形

是直角三角形．

D

A

B

C

變式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB為直角三角形嗎？為什么？

是．

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．

變式3如圖，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形嗎？為什么？

是．

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．

（證明過程略）．

D

E

A

B

C

隨堂演練

1.△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.

90°

30°

60°

基礎(chǔ)鞏固

2.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則圖中除直角外相等的角有__________________

______________，互余的角有：____________

________________________________________.

∠A=∠BCD，

∠A與∠B，∠A與∠ACD，∠B與∠BCD，∠ACD與∠BCD

∠B=∠ACD

3.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).

2

3

1

4

解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，

∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.

∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.

即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.

則∠BCD=360°－150°－80°=130°.

【課本P13練習(xí)第2題】

4.如圖，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？

【課本P14練習(xí)第2題】

解:△ADE是直角三角形.理由如下:

∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.

又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.

∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.

5.如圖，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度數(shù).

解：∵∠ABC=70°，∠C=6