人教B版（2023）必修第一冊《第三章 函數(shù)》單元測試（word含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，且，則方程在區(qū)間上

A.至少有一實(shí)根

B.至多有一實(shí)根

C.沒有實(shí)根

D.必有唯一實(shí)根

2.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+e-x，g（x）=lnx-e-x的零點(diǎn)分別為x1，x2，則（）

A.x1x2≥2B.1＜x1x2＜2

C.0＜x1x2＜1D.x1x2=1

3.（5分）反映函數(shù)基本性質(zhì)的圖象大致為

A.B.

C.D.

4.（5分）已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)．記，，，則，，的大小關(guān)系為

A.B.C.D.

5.（5分）定義一種運(yùn)算，若，當(dāng)有個不同的零點(diǎn)時，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

6.（5分）函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，則的取值范圍是

A.B.

C.D.

7.（5分）已知函數(shù)若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

8.（5分）已知是上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域?yàn)?，那么把稱為閉函數(shù)．

下列結(jié)論正確的是

A.函數(shù)是閉函數(shù)

B.函數(shù)是閉函數(shù)

C.函數(shù)是閉函數(shù)

D.函數(shù)是閉函數(shù)

10.（5分）如果函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，則下列結(jié)論中正確的是

A.B.

C.D.

11.（5分）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是

A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)

D.是奇函數(shù)

12.（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則的取值可能為

A.B.C.D.

13.（5分）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.

15.（5分）設(shè)函數(shù)，已知對任意的，若且，恒有，則的最小值是______．

16.（5分）已知函數(shù)與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，，則______．

17.（5分）已知、，為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，滿足：，，，則______，的最大值為______.

18.（5分）設(shè)函數(shù)，則______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）若，設(shè)其定義域上的區(qū)間．

判斷該函數(shù)的奇偶性，并證明；

當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

當(dāng)時，若存在區(qū)間，使函數(shù)在該區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．

20.（12分）對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若有常數(shù)，使得對任意的，存在唯一的滿足等式，則稱為函數(shù)的“均值”．

判斷是否為函數(shù)的“均值”，請說明理由；

若函數(shù)為常數(shù)存在“均值”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間試探究函數(shù)的“均值”情況是否存在、個數(shù)、大小等與區(qū)間之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論不必證明．

21.（12分）已知關(guān)于的方程，試解，

當(dāng)是方程的一個解時，求實(shí)數(shù)的值；

當(dāng)方程只有一解時，求實(shí)數(shù)的值．

22.（12分）如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的值域恰為，則稱函數(shù)為上的等域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個等域區(qū)間．

若函數(shù)，，則函數(shù)存在等域區(qū)間嗎？若存在，試寫出其一個等域區(qū)間，若不存在，說明理由；

已知函數(shù)，其中且，，

當(dāng)時，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，求的解析式；

證明：當(dāng)，時，函數(shù)不存在等域區(qū)間．

23.（12分）已知函數(shù)．

求定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；

若，證明函數(shù)在上的單調(diào)性，并求函數(shù)在區(qū)間上的最值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，所以在區(qū)間上的圖象與軸有唯一的交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，方程在區(qū)間上必有唯一的實(shí)根．

故選：

直接利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理說明結(jié)果即可．

此題主要考查函．?dāng)?shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題

2.【答案】C;

【解析】解：由題意，f（

1

e

）＜0，f（1）＞0，

∴

1

e

＜＜1，g（1）＜0，g（e）＞0，∴1＜＜e，

∴

1

e

＜＜e，且ln=ln+ln=-e-x1+e-x2＜0，

∴0＜＜1．

故選C．

3.【答案】A;

【解析】解：函數(shù)，則是偶函數(shù)，排除

且在上是增函數(shù)，排除、，

故選：．

判斷函數(shù)的奇偶性，利用當(dāng)時的單調(diào)性進(jìn)行排除即可．

此題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性以及單調(diào)性使用排除法是解決本題的關(guān)鍵．

4.【答案】B;

【解析】解：函數(shù)為偶函數(shù)，，，，．

記，，，

則，，的大小關(guān)系為：，

故選：．

根據(jù)，求得，可得的解析式．再計(jì)算，，的值，可得結(jié)論．

這道題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系及函數(shù)圖象的應(yīng)用，同時考查分段函數(shù)，，將問題轉(zhuǎn)化為于的圖象與的圖象有個不同的交點(diǎn)，然后利用定義，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.

解：函數(shù)有個不同的零點(diǎn)等價于的圖象與的圖象有個不同的交點(diǎn)，

根據(jù)運(yùn)算，畫出與的圖象如圖，

結(jié)合圖象可知，的圖象與的圖象有個不同的交點(diǎn)實(shí)數(shù)的取值范圍是，

所以有個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是

故選

6.【答案】C;

【解析】解：由題意函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?/p>

可得：或，定義域范圍一定包括．

當(dāng)時，那么的范圍是，

此時，可得最小值為．

當(dāng)時，那么的范圍是，

此時，可得最大值為．

故選：．

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得值域?yàn)椋敲矗夯?，一定取得到分情況討論可得，的值，即可求解的取值范圍

該題考查指數(shù)函數(shù)的值域的應(yīng)用，情況討論思想，屬于中檔題．

7.【答案】C;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性.

構(gòu)造函數(shù)，即，首先利用函數(shù)的奇偶性的定義，可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用單調(diào)性的判定，可知函數(shù)為增函數(shù)，化簡，即，可得，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

解：因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，

所以，的定義域?yàn)椋?/p>

所以，所以為奇函數(shù)，

令，

則，

，

因?yàn)椋?/p>

所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，

所以在上單調(diào)遞增，

若存在使得不等式成立，

則，即，

所以，所以，

所以，即，

設(shè)，，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，

所以或，

所以

故選

8.【答案】C;

【解析】解：由為上的增函數(shù)，可得

，

，

且，即為

由可得．

故選：．

由增函數(shù)的定義，可得，，且，即為，解不等式求交集即可得到所求范圍．

該題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意分界點(diǎn)的函數(shù)值，屬于中檔題和易錯題．

9.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查了新定義問題，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域問題，屬于中檔題．

利用新定義逐項(xiàng)驗(yàn)證是否為閉函數(shù).

解：在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)不是閉函數(shù)；

由題意，在上遞減，則設(shè)存在時的值域也是，

則有，所以存在這樣的區(qū)間為，故該函數(shù)為閉函數(shù)；

，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．

上是單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)存在時的值域也是，

則有，故是閉函數(shù).

故選

10.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

解：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

對于任意的，

則與同號，所以與正確；

因?yàn)?，大小關(guān)系不確定，

所以及不一定成立，

因此，不正確.

故選

11.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的奇偶性，難度一般．

根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義分別判斷即可.

解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，

所以，，

A.，因此是奇函數(shù)，錯

B.，因此是偶函數(shù)，錯

C.，因此是奇函數(shù)，對

D.，因此是偶函數(shù)，錯.

故選

12.【答案】CD;

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，

若函數(shù)存在零點(diǎn)，即有解，

必有當(dāng)時，，即為函數(shù)的唯一零點(diǎn)，

必有，，是的可能取值，

故選：．

根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得有解，必有當(dāng)時，，即為函數(shù)的唯一零點(diǎn)，分析可得，

該題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn)，注意函數(shù)零點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】AD;

【解析】解：函數(shù)，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，

由于，，，

，，，

所以零點(diǎn)在區(qū)間，內(nèi)．

故選：

利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值，結(jié)合零點(diǎn)判斷定理，判斷選項(xiàng)即可．

此題主要考查零點(diǎn)判斷定理的應(yīng)用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題．

14.【答案】且;

【解析】由單調(diào)性可作圖：

由圖知，且

15.【答案】24;

【解析】解：當(dāng)，可得，，

同樣可得時，，且，

可得為偶函數(shù)，

畫出的圖象，可得在遞增，

由，可得，即有，

即，即，

由且，，

可得，即，可得恒成立，

可得，即有，

由任意的，可得，

則的最小值為．

故答案為：．

根據(jù)奇偶性的定義可判斷為偶函數(shù)，畫出的圖象，可得在遞增，由，可得，結(jié)合條件可得所求最小值．

此題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

16.【答案】7;

【解析】解：，，

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖象如圖：

兩函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且有個交點(diǎn)，

則．

故答案為：．

由題意畫出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

該題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

17.【答案】;略;

【解析】解：、，由題意，知、位于單位圓上，

，

則、分別表示、到直線：的距離、，

于是，，

分別取、靠近、的三等分點(diǎn)為、，

聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交、于、，

則，

在中，由余弦定理可得，，

，

容易知道到直線的距離，

，

從而

故填：；

由題意得到，位于單位圓上的，畫出圖像由，可以推出；把轉(zhuǎn)換為，到直線的距離及距離的倍，

結(jié)合余弦定理，可求出最大值為

此題主要考查了余弦定理，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于較難題．

18.【答案】;

【解析】

該題考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及分段函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由解析式求出的值，即可得答案．

解：根據(jù)題意，函數(shù)，

當(dāng)時，有，

當(dāng)時，，

則．

故答案為．

19.【答案】解：（1）因?yàn)椋?/p>

由解得x＞3或x＜-3，即f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱．

又，

∴f（x）為奇函數(shù)．

（2）f（x）在[α，β]（β＞α＞0）為增函數(shù)，

證明如下：∵f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），則[α，β]（3，+∞）．

設(shè)，∈[α，β]，＜，＞3，＞3，

則，

∵（-3）（+3）-（+3）（-3）=6（-）＜0，

∴（-3）（+3）＜（+3）（-3），即，

因?yàn)閙＞1，所以，即f（）＜f（），

所以f（x）在[α，β]（β＞α＞0）為增函數(shù)，

（3）由（1）得，當(dāng)0＜m＜1時，f（x）在[α，β]為減函數(shù)，

∴若存在定義域[α，β]（β＞α＞0），使值域?yàn)閇lom（β-1），lom（α-1）]，

則有，

∴，

∴α，β是方程在（3，+∞）上的兩個相異的根，

∴m（x-1）（x+3）=x-3，即m+（2m-1）x+3-3m=0，

即m+（2m-1）x+3-3m=0在（3，+∞）上的兩個相異的根，

令h（x）=m+（2m-1）x+3-3m，則h（x）在（3，+∞）有2個零點(diǎn)，

∴，解得，

即當(dāng)時，，

當(dāng)時，方程組無解，即[α，β]（β＞α＞0），不存在．;

【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義法證明函數(shù)的奇偶性；

利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照：設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可；

由得，當(dāng)時，在為減函數(shù)，故若存在定義域，使值域?yàn)椋瑒t有，從而問題可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個解，進(jìn)而問題得解．

這道題主要考查函數(shù)奇偶性的證明以及函數(shù)單調(diào)性和值域的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．

20.【答案】解：對任意的，有，

當(dāng)且僅當(dāng)時，有，

故存在唯一，滿足，

所以是函數(shù)的“均值”．

當(dāng)時，存在“均值”，且“均值”為；

當(dāng)時，由存在均值，可知對任意的，

都有唯一的與之對應(yīng)，從而有單調(diào)，

故有或，

解得或或，

綜上，的取值范圍是或．

當(dāng)或時，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時函數(shù)的“均值”為；

當(dāng)為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”．

這時任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”；

當(dāng)或或或或或時，

函數(shù)不存在“均值”．

故答案為：

當(dāng)且僅當(dāng)形如、其中之一時，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時函數(shù)的“均值”為；

當(dāng)且僅當(dāng)為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”．

這時任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)的“均值”；

當(dāng)且僅當(dāng)形如、、、、、其中之一時，

函數(shù)不存在“均值”．;

【解析】

根據(jù)均值的定義，要判斷是函數(shù)的“均值”，即要驗(yàn)證；

函數(shù)為常數(shù)存在“均值”，當(dāng)時，存在“均值”，且“均值”為；當(dāng)時，由存在均值，可知對任意的，都有唯一的與之對應(yīng)，從而有單調(diào)，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

根據(jù)，的結(jié)論對于當(dāng)或時，函數(shù)存在唯一的“均值”；當(dāng)為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”，當(dāng)為半開半閉區(qū)間時，函數(shù)不存在均值．

此題是個中檔題，考查函數(shù)單調(diào)性的理解，和學(xué)生的閱讀能力，以及分析解決問題的能力，其中問題是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．

21.【答案】解：（1）若x=-1是方程的一個解，則1-la-（1-lga）+2=0，即la-lga-2=0，

解得lga=2或lga=-1，

∴a=100或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，

∴實(shí)數(shù)a的值為100或；

（2）若方程只有一解，則△=（1-lga）2-8（1-la）=0，即9la-2lga-7=0，

解得lga=1或，

∴a=10或，

又當(dāng)a=10時，原方程為2=0不合題意，故．;

【解析】

將代入，可得，解該方程即可求得實(shí)數(shù)的值；

依題意，，解該方程即可求得實(shí)數(shù)的值．

此題主要考查方程解的求法及對數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

22.【答案】解：（1）函數(shù)f（x）=+2x存在等域區(qū)間，如[-1，0]；

（2）（Ⅰ）當(dāng)a=p時，f（x）=+b，

若函數(shù)f（x）是[0，1]上的等域函數(shù)，

當(dāng)a＞1時，f（x）為增函數(shù)，

則，

所以，

此時f（x）=2x1；

當(dāng)0＜a＜1時，f（x）為減