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第第頁(yè)【解析】高中數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)A版必修1第二章基本初等函數(shù)(I)2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)高中數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)A版必修1第二章基本初等函數(shù)(I)2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
一、選擇題
1.已知,則()
A.B.C.3D.
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值
【解析】【解答】∵,∴.
故答案為:A.
【分析】求對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,只要將自變量代入函數(shù)式即可.
2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.(,)B.(,)
C.(,)D.[,)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示
【解析】【解答】由題意得解得1<x<,所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?,).
故答案為:C.
【分析】求函數(shù)的定義域,就是求使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍.
3.設(shè)則f[f(2)]的值為()
A.0B.C.2D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法;指數(shù)函數(shù)的概念與表示;對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值
【解析】【解答】由題意可知,,
所以.
故答案為:C.
【分析】對(duì)于求指數(shù)對(duì)數(shù)型分段函數(shù)的多層函數(shù)值,由內(nèi)到外的原則進(jìn)行.
4.設(shè)則()
A.B.C.D.
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】因?yàn)?1,再得出01時(shí),有a>,即a>1;當(dāng)0綜上可知,a的取值范圍是(0,)∪(1,+∞).
故答案為:D.
【分析】先將不等式兩邊同底化,分類討論函數(shù)的單調(diào)性求解.
8.下圖是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象,已知a值取,,,,則圖象C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的a值依次是()
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】過(guò)(0,1)作平行于x軸的直線,與C1,C2,C3,C4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分別為各對(duì)數(shù)的底數(shù),顯然a1>a2>a3>a4,
所以C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的a值依次是,,,.
故答案為:D.
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷.
9.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為偶函數(shù)的是()
A.y=2xB.y=2xC.y=log2xD.y=x2
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】選項(xiàng)A為奇函數(shù),選項(xiàng)B為非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)C為非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)D為偶函數(shù).
故答案為:D.
【分析】由冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性.
10.函數(shù)的定義域是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示
【解析】【解答】由,解得或.
故答案為:D.
【分析】對(duì)數(shù)型號(hào)函數(shù)的定義域是由真數(shù)大于0的不等式的解集決定的.
11.在同一直角坐標(biāo)系中,當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),函數(shù),,所以圖象過(guò)點(diǎn),在其定義域上是增函數(shù);函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),在其定義域上是減函數(shù).
故答案為:C.
【分析】分類討論a>1和012.已知f(x)=log3x,則的大小是()
A.B.
C.D.
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。粚?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】由函數(shù)y=log3x的圖象可知,圖象呈上升趨勢(shì),即隨著x的增大,函數(shù)值y也在增大,故.
故答案為:B.
【分析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3,則函數(shù)是單調(diào)遞增的,從而比較函數(shù)值的大小.
13.(2023高一上·黑龍江期中)設(shè)a=log3π,b=log2,c=log3,則()
A.a(chǎn)>b>cB.a(chǎn)>c>bC.b>a>cD.b>c>a
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】解:∵
∵,故選A
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進(jìn)行求解.當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)為減函數(shù),
如果底a不相同時(shí)可利用1做為中介值.
14.函數(shù)f(x)=log2(3x+3x)是()
A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】∵3x+3x>0恒成立,∴f(x)的定義域?yàn)镽.又∵f(x)=log2(3x+3x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),
故答案為:B.
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性進(jìn)行判斷其奇偶性.
15.已知是(∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍是()
A.(0,1)B.C.D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法;函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【解析】【解答】由題意得,∴.
故答案為:C.
【分析】分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則各段函數(shù)遞減,且在分段交接處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值.由關(guān)于a的不等式組求a的范圍.
16.已知函數(shù)f(x)=loga(x2+2x3),若f(2)>0,則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()
A.(∞,3)B.(∞,3)∪(1,+∞)
C.(∞,1)D.(1,+∞)
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】∵f(2)=loga5>0=loga1,∴a>1.由x2+2x3>0,得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?∞,3)∪(1,+∞).設(shè)u=x2+2x3,則此函數(shù)在(1,+∞)上為增函數(shù).又∵y=logau(a>1)在(1,+∞)上也為增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞).
故答案為:D.
【分析】由f(2)>0求出a>1,由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,要注意函數(shù)的定義域.
17.已知函數(shù)在[1,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.8≤a≤6B.8【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】.
故答案為:C.
【分析】由于底數(shù)小于1,則真數(shù)部分在區(qū)間上單調(diào)遞增,且在左端點(diǎn)處函數(shù)值大于0.
18.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足,則a的最小值是()
A.B.1C.D.2
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】由于為偶函數(shù),所以且因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增,所以即的最小值為.
故答案為:C.
【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(log2a)≤f(1),再由函數(shù)的單調(diào)性脫去f得關(guān)于a的不等式求a的范圍.
19.函數(shù)f(x)=ax2+loga(x1)+1(a>0,a≠1)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
【答案】(2,2)
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)x=2時(shí),f(2)=a0+loga1+1=2,所以圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,2).
故答案為:(2,2).
【分析】對(duì)于指數(shù)型函數(shù),由a0=1,對(duì)數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得過(guò)定點(diǎn)的情形.
20.函數(shù)y=2+log2x(x≥1)的值域?yàn)椋?/p>
【答案】[2,+∞)
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值
【解析】【解答】設(shè)y=2+t,t=log2x(x≥1),∵t=log2x在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴t≥log21=0.∴y=2+log2x的值域?yàn)閇2,+∞).
故答案為:[2,+∞).
【分析】先求出真數(shù)部分的值域,再由底數(shù)為2即大于1得對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù),求函數(shù)的值域.
21.已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≥4時(shí);當(dāng)x4時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值,由已知解析式求值.
二、填空題
22.函數(shù)y=loga(x1)+1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(2,1)
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)x1=1,即x=2時(shí),不論a為何值,只要a>0且a≠1,都有y=1.
故答案為:(2,1).
【分析】對(duì)數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得到其過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).
23.已知,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);絕對(duì)值不等式
【解析】【解答】原不等式等價(jià)于或解得或.
故答案為:(1,]∪[1,+∞).
【分析】將絕對(duì)值不等式通過(guò)討論去掉絕對(duì)值,得對(duì)數(shù)不等式組,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求x的范圍.
24.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)(a>0,且a≠1)的反函數(shù),且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則a=.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的概念與表示;互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系
【解析】【解答】函數(shù)(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是(a>0,且a≠1),
因?yàn)閒(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,所以,又a>0,所以.
故答案為:2.
【分析】指數(shù)函數(shù)與相同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求出函數(shù)應(yīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式中求a的值.
三、解答題
25.已知loga(2a+1)1時(shí),原不等式等價(jià)于解得a>2.
當(dāng)0綜上所述,a的取值范圍是2.
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【分析】解同底型對(duì)數(shù)不等式時(shí),要對(duì)底數(shù)分類,由單調(diào)性討論得到不等式組,求解,要注意真數(shù)大于0.
26.已知f(x)=(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定義域;
(2)求使f(x)>0成立的x的取值范圍.
【答案】(1)解:由>0,得21時(shí),由>0=loga1得>1,∴01時(shí),所求的取值范圍為;
當(dāng)0【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【分析】(1)求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域,由真數(shù)大于0得不等式,求出定義域;
(2)對(duì)數(shù)型不等式,要對(duì)底數(shù)大于1和小于1分類討論,由函數(shù)的單調(diào)性求解.
27.若不等式2xlogax0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).
23.已知,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.
24.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)(a>0,且a≠1)的反函數(shù),且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則a=.
三、解答題
25.已知loga(2a+1)0,a≠1).
(1)求f(x)的定義域;
(2)求使f(x)>0成立的x的取值范圍.
27.若不等式2xlogax1,再得出01時(shí),有a>,即a>1;當(dāng)0綜上可知,a的取值范圍是(0,)∪(1,+∞).
故答案為:D.
【分析】先將不等式兩邊同底化,分類討論函數(shù)的單調(diào)性求解.
8.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】過(guò)(0,1)作平行于x軸的直線,與C1,C2,C3,C4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分別為各對(duì)數(shù)的底數(shù),顯然a1>a2>a3>a4,
所以C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的a值依次是,,,.
故答案為:D.
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷.
9.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】選項(xiàng)A為奇函數(shù),選項(xiàng)B為非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)C為非奇非偶函數(shù),選項(xiàng)D為偶函數(shù).
故答案為:D.
【分析】由冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性.
10.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示
【解析】【解答】由,解得或.
故答案為:D.
【分析】對(duì)數(shù)型號(hào)函數(shù)的定義域是由真數(shù)大于0的不等式的解集決定的.
11.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),函數(shù),,所以圖象過(guò)點(diǎn),在其定義域上是增函數(shù);函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),在其定義域上是減函數(shù).
故答案為:C.
【分析】分類討論a>1和012.【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】由函數(shù)y=log3x的圖象可知,圖象呈上升趨勢(shì),即隨著x的增大,函數(shù)值y也在增大,故.
故答案為:B.
【分析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3,則函數(shù)是單調(diào)遞增的,從而比較函數(shù)值的大小.
13.【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】解:∵
∵,故選A
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性進(jìn)行求解.當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)為減函數(shù),
如果底a不相同時(shí)可利用1做為中介值.
14.【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性;指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】∵3x+3x>0恒成立,∴f(x)的定義域?yàn)镽.又∵f(x)=log2(3x+3x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),
故答案為:B.
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性進(jìn)行判斷其奇偶性.
15.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法;函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【解析】【解答】由題意得,∴.
故答案為:C.
【分析】分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則各段函數(shù)遞減,且在分段交接處左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值.由關(guān)于a的不等式組求a的范圍.
16.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】∵f(2)=loga5>0=loga1,∴a>1.由x2+2x3>0,得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?∞,3)∪(1,+∞).設(shè)u=x2+2x3,則此函數(shù)在(1,+∞)上為增函數(shù).又∵y=logau(a>1)在(1,+∞)上也為增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞).
故答案為:D.
【分析】由f(2)>0求出a>1,由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,要注意函數(shù)的定義域.
17.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】.
故答案為:C.
【分析】由于底數(shù)小于1,則真數(shù)部分在區(qū)間上單調(diào)遞增,且在左端點(diǎn)處函數(shù)值大于0.
18.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】由于為偶函數(shù),所以且因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增,所以即的最小值為.
故答案為:C.
【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(log2a)≤f(1),再由函數(shù)的單調(diào)性脫去f得關(guān)于a的不等式求a的范圍.
19.【答案】(2,2)
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)x=2時(shí),f(2)=a0+loga1+1=2,所以圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,2).
故答案為:(2,2).
【分析】對(duì)于指數(shù)型函數(shù),由a0=1,對(duì)數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得過(guò)定點(diǎn)的情形.
20.【答案】[2,+∞)
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值
【解析】【解答】設(shè)y=2+t,t=log2x(x≥1),∵t=log2x在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴t≥log21=0.∴y=2+log2x的值域?yàn)閇2,+∞).
故答案為:[2,+∞).
【分析】先求出真數(shù)部分的值域,再由底數(shù)為2即大于1得對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù),求函數(shù)的值域.
21.【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
【解析】【解答】.
故答案為:
【分析】當(dāng)當(dāng)x4時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值,由已知解析式求值.
22.【答案】(2,1)
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)x1=1,即x=2時(shí),不論a為何值,只要a>0且a≠1,都有y=1.
故答案為:(2,1).
【分析】對(duì)數(shù)型函數(shù)由loga1=0,可得到其過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).
23.【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);絕對(duì)值不等式
【解析】【解答】原不等式等價(jià)于或解得或.
故答案為:(1,]∪[1,+∞).
【分析】將絕對(duì)值不等式通過(guò)討論去掉絕對(duì)值,得對(duì)數(shù)不等式組,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求x的范圍.
24.【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的概念與表示;互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系
【解析】【解答】函數(shù)(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是(a>0,且a≠1),
因?yàn)閒(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,所以,又a>0,所以.
故答案為:2.
【分析】指數(shù)函數(shù)與相同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求出函數(shù)應(yīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式中求a的值.
25.【答案】解:當(dāng)a>1時(shí),原不等式等價(jià)于解得a>2.
當(dāng)0綜上所述,a的取值范圍是2.
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【分析】解同底型對(duì)數(shù)不等式時(shí),要對(duì)底數(shù)分類,由單調(diào)性討論得到不等式組,求解,要注意真數(shù)大于0.
26.【答案】(1)解:由>0,得21時(shí),由>0=lo
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