一元二次方程知識點總結(jié)及典型習題

元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容（一）、一兀二次方程的概念1?理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為般形式；2?正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)（1）明確只有當_次項系數(shù)門工0時，整式方程血，+加+c二D才是一元二次方程。（2）各項的確定（包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)）.（3）熟練整理方程的過程3?—元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4?列出實際問題的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1?明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2?根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3?體會不同解法的相互的聯(lián)系；4?值得注意的幾個問題：（1）開平方法：對于形如丁和或（盤T町‘二0）的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如“打的方程的解法:當?。?時，玄一-LV^；當汽二f)時，Y-「一“；當汽，時，方程無實數(shù)根。配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為2「卅-油勺方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；求解：若八0時，方程的解為x一小n若股M時，方程無實數(shù)解。公式法：一兀二次方程加“兀卜亡=O(iJH0)的根-b±\b2-4aeX=2a當汀7—"時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等;當，■-:-4.：.d時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫b當汀-4農(nóng)門時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一兀二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。（三）、根的判別式1?了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）△="…斗n廣（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程-/J-T-'：!（打H0）j?T0①當方程有實數(shù)根；jr0Jy0（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）0②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2?常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程（“‘十l）x°t（a2i4）0無實數(shù)根。（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0,—元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）—元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題（四）、一元二次方程的應(yīng)用數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗。增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（口），增長率（Q，變化的次數(shù)（小，變化后的基數(shù)），這四者之間的關(guān)系可以用公式表示。其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積只有400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得準，多少年華屬周瑜？（36歲）（3）已知：打一心：分別是“％：的三邊長，當仞＞0時，關(guān)于兀的一元二次方程c（xz+亠fli）一2^max-0有兩個相等的實數(shù)根，求證:人曲是直角三角形。（4）已知:門上、匸分別是皿丹「的三邊長，求證：方程b?x2十（護1c'-a7）xvc?'=0沒有實數(shù)根。（5）當閃是什么整數(shù)時，關(guān)于兀的一兀二次方程心」與x~+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù)？（出I）（6）已知關(guān)于尢的方程，其中血為實數(shù)，(1)當附為何值時，方程沒有實數(shù)根？(2)當旳為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案：(1)心7(2).I丄相關(guān)練習一元二次方程的概念1?一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：2-U心(}.\I>.((I皿廠」&「一、；)(3)3>(.v+l)=7(^4-2)-5(3心”-9)(4)(m亠-4m)+(m-2)27-5m(2w\0,3)(5)?-l)'=4(^-3)3(3o\2a-5)2?應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值（1）田為何值時，關(guān)于尤的方程（也—運）X存—腳I3）x=4m是一元二次方程。（冊=芒）x2-7x^S八——：—0（2）若分式卜卜I，貝叫=（"叮3?由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值（1）關(guān)于工的一元二次方程（口―1）丫"十工I^1=0有一個根為0,貝％=（"二1）（2）已知關(guān)于工的一元二次方程1C=0（￡7H0）有一個根為1，一個根為〔，貝幾丨八，■-,門止丨；-（0,0）（3）已知C為實數(shù)，并且關(guān)于工的一元二次方程的一個根的相反數(shù)是方程的一個根，求方程./?.v..'-0的根及c的值。（0,-3，c=0）（二）一元二次方程的解法1?開平方法解下列方程:(1)丨蘭..1(亠1一3,-5)(2)⑺嘰CM5622)(3)2-Z7(原方程無實根)(4)(rm(也一用.-0)及甌+“7「一1+2怡TOC\o"1-5"\h\z(5)氣('2?配方法解方程：(1).(丨U，-〔1(T-「?北)(2)r￡■T-「I-5±Vii'ZJl=\)_】斗JT6(3(r3?公式法解下列方程：_3土J亍_(1)」,「'.m-二("；)(2)."+?■-?-：")("-兒-川)_H(3)7/=11歹(朋7小)(4)9『二創(chuàng)_2(原方程無實數(shù)根)(5)x+2=(x-2)(2—1)-33+>-15)4?因式分解法解下列方程：(1)昇［，'(x二+合)(2)「1—4?-0(；'■-^.y.-5)_J___3g-u('打’~2)(4)小'、,m(KI-0-.「?-7$)(5)6jc2-3v：3x=2；2x-V6(6)(x-5)2(y)(7)(x2t3xf-2(xJ+3)-8-0(x{=-2,x2丁4，m=1)5?解法的靈活運用(用適當方法解下列方程)：(1)v；2(2x-7)"-7128C\(2)2m-m7+12(m?-2用)'(3)6x(-V-2)=a-2)Cv+3)(\_It_：)(4)TOC\o"1-5"\h\z3~233?(]_「「_?)(5)81(2jc-5)?=144(X"3)?_273(JW』-二)6?解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：(1)j?-2mx+m1-n2=0xx-m-n^x2-m+/?)^(2)x2+3a~=4or-2c7+l(Xi二=a+\（3）（m+w）x2\-2nxm-nm-n（出iTD）（"（4）_工十1）—盤（工H—1）=（C_1）工（討論a）（三）一元二次方程的根的判別式1?不解方程判別方程根的情況：3(x2\-2)=4x（1）4.J,-廠-二（有兩個不等的實數(shù)根）（3(x2\-2)=4x（3廠mz（有兩個相等的實數(shù)根）2?&為何值時，關(guān)于x的二次方程（1）有兩個不等的實數(shù)根（―U八］）（2）有兩個相等的實數(shù)根心一1）（3）無實數(shù)根（"I）3?已知關(guān)于x的方程4;t3-{m丨2)x=l-m有兩個相等的實數(shù)根?求m的值和這個方程的根.m—2,X|一丄或_m—2,X|一丄或_2)4?若方程X，I2((7+Y)x\a--十也「5=0有實數(shù)根，求：正整數(shù)a.5?對任意實數(shù)m求證：關(guān)于x的方程(m2+l)x2-2mx^卜4=0無實數(shù)根.6?斤為何值時，方程仗廠1)扌十口斤十芳工卜(Jt十2)=0有實數(shù)根.斗(當/；—]_()時，原方程有一個實數(shù)根，；k工I214,所以當214且A上1214,所以當214且A上1時方程有兩當山0時，解得L個實數(shù)根。綜上所述，當用》:時，方程有實數(shù)根.)7?設(shè)附為整數(shù)，且訂時，方程x2e2(2m?3)x*4m?-1斗席+8=0有兩個相異整數(shù)根，求閃的值及方程的根。（當滬12時，方程的根為；當旳=24時，方程的根為）（四）一元二次方程的應(yīng)用1?已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積.（3,4，5,面積為6）2?—個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4,求這個兩位數(shù).（84）3?某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？（550,605）4?某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不計利息稅）（10%）5?某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（20元）6?已知甲乙兩人分別從正方形廣場ABCD的頂點B、C同時出發(fā)，甲由C向D運動，乙由B向C運動，甲的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，若正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩人相距M幣千米？（2分鐘后）7?某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路,使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元,若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分數(shù)相同,試求這個百分數(shù).（20%）8?如圖，東西和南北向兩條街道交于0點，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，當乙通