2023學年完整公開課版任意角市賽

第5章三角函數511任意角角的定義【導入】現實生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角例如體操中的“前空翻轉體540度”“后空翻轉體720度”等動作這里不僅角度超出了0°~360°，并且旋轉的方向也不相同【探究】如圖是兩個咬合的齒輪旋轉的示意圖，可以看出兩個齒輪旋轉的方向剛好相反，聯想到角的旋轉定義一個角的大小取決于繞頂點旋轉的的射線旋轉的角度，我們知道，要準確描述這些現象，不僅要知道旋轉的度數，還要知道旋轉的方向，這就需要我們對角的概念加以推廣角的分類【定義】我們規(guī)定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角如果一條射線沒有任何旋轉，那么它就形成了一個零角零角的始邊和終邊重合，如果是零角，那么

左圖中的角是一個正角，它等于730°右圖中，正角，負角，，正常情況下，如果以零時為起始位置，那么鐘表的時針與分針在旋轉時形成的角總是負角730°

為了簡單起見，在不引起混淆的情況下，角或∠可以簡記為

相等角、角的加減【1】設∠α由射線OA繞端點O旋轉而成，∠β由射線OA繞端點O旋轉而成如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α=β設α，β是任意角，我們規(guī)定：把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是αβ類似于實數t的相反數是-t，我們引入角α的相反角的概念如圖：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角角α的相反角記為-α，則α-β=α-βαβαβαα-α-αOA于是角的減法可以轉化為角的加法相等角、角的加減【總結】（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再局限于0°~360°（2）確定任意角的度數既要知道旋轉量，又要知道旋轉方向，如順時針旋轉30°和逆時針旋轉30°縮成的角是不同的，它們互為相反角（3）用圖像表示角時，箭頭的方向體現角的正負，因此箭頭不能少（4）角的概念推廣后，角的加減可以類比正負數的加減規(guī)則象限角與軸上角:【定義】我們通常在坐標系內討論角為了方便，我們把角的頂點固定在原點，角的終邊始終與軸的非負半軸重合那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角如下圖左邊的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角αβ如果角的終邊在坐標軸上，那么它就不屬于任何一個象限，此時我們稱這個角為軸上角如上邊右圖的角γγ30°-120°象限角與軸線角【問題】銳角，第一象限角，小于90°的角，它們之間的區(qū)別是什么？α=390°【答】①第一象限角不一定是銳角，如圖左②銳角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如圖中30°75°③小于90°的角還包括零角和負角，如圖右α=0°β=-130°【問題】把角放在坐標系中之后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應，反過來，對于直角坐標系內的任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？終邊相同的角30°OB【答】不難發(fā)現，OB除了可以表示30°的角之外，還可以表示390°，-330°等角與30°終邊相同的這些角都可以表示成30°角與個∈周角的和390°=30°360°=1，-330°=30°-360°=-1一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內，可以構成一個集合S={β|β=α·360°，∈}即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和那么終邊相同的角有什么關系？否【總結】對于S={β|β=α·360°，∈}的理解應注意以下幾點：終邊相同的角【1】α是任意角【2】∈有三層含義：①特殊性：每取一個整數值，就對應一個具體的角②一般性：表示所有與角α終邊相同的角包括角α本身③從集合意義上看，表示角的終邊按一定的方向旋轉的圈數，取正整數時，逆時針旋轉；取負整數時，順時針旋轉；=0時，沒有旋轉【3】集合中的·360°與α之間用連接，如·360°-30°應看成·360°-30°，表示與-30°角終邊相同的角例1在0°~360°范圍內，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角軸上的角的集合【整理】軸線角的集合表示終邊相同的角{α|α=·360°，∈}{α|α=·360°180°，∈}{α|α=·360°90°，∈}{α|α=·360°270°，∈}{α|α=·180°，∈}{α|α=·180°90°，∈}{α|α=·90°，∈}=上的角的集合S拓展一：分別寫出圖中終邊落在兩個陰影部分的角α的集合【解】①在0°~360°范圍來看，陰影部分的角α的范圍是30°≤α≤105°，所以在坐標系中角α的范圍是

30°75°①②{α|·360°30°≤α≤·360°105°,∈}②在0°~360°范圍來看，陰影部分的角α的范圍是210°≤α≤285°，所以在坐標系中角α的范圍是{α|·360°210°≤α≤·360°285°,∈}拓展二：若α是第二象限角，請確定2α的終邊所在的位置【解】①因為α是第二象限角，所以

·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以2·360°180°＜2α＜2·360°360°,∈如圖，即2α的終邊位于第三或者第四象限，或者位于y軸的負半軸上拓展三：若α是第二象限角，請確定的終邊所在的位置【解】①因為α是第二象限角，所以

①·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以