幾何概型（龍航）

新課標(biāo)長沙縣第九中學(xué)主講教師：龍航錄制教師：王碩指導(dǎo)教師：數(shù)學(xué)組全體成員2017年5月19日數(shù)學(xué)《人教版A版》高一必修3第三章《幾何概型》（1）所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)有限性（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型復(fù)習(xí)1古典概型2古典概型的概率公式PA=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)復(fù)習(xí)題：在0至10中，任意取出一整數(shù)，則該整數(shù)小于5的概率思考：在0至10中，任意取出一實(shí)數(shù)，則該數(shù)小于5的概率問題1（轉(zhuǎn)盤游戲）：如圖所示，規(guī)定指針指向金額區(qū)域表示中獎(jiǎng)，圖1中轉(zhuǎn)盤中獎(jiǎng)的概率是多少？圖1圖2圖3中獎(jiǎng)的概率與獎(jiǎng)金所在區(qū)域的位置有關(guān)系嗎？若沒有，那么中獎(jiǎng)的概率與什么有關(guān)？定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度面積或體積成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型geometricmodelsofprobability，簡稱幾何概型。特征：（1）、無限性：基本事件的個(gè)數(shù)無限（2）、等可能性：基本事件出現(xiàn)的可能性相同P(A)=構(gòu)成事件A的測度(區(qū)域長度、面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的測度(區(qū)域長度、面積或體積)記為：幾何概型的概率公式：有限性等可能性幾何概型古典概型同異等可能性無限性判斷以下各題的是何種概率模型。（1）在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一個(gè) 元素,則的概率。（2）已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M（60，0），在線段OM上任取一點(diǎn)P，則的概率。（1）為古典概率模型。（2）為幾何概率模型。

口答：例1、一海豚在水池中自由游弋，水池長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m的概率．30m20m2m

解：設(shè)事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見陰影部分）

P（A）＝＝答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為031例題分析：例2某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音

機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于

10分鐘的概率。電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于內(nèi)因此由幾何概型的求概率公式得：P（A）=（60-50）/60=1/6“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為1/6歸納解題步驟：（1）記事件（2）構(gòu)造幾何圖形（3）求概率（4）下結(jié)論例3：取一個(gè)邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓如圖,隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則P(A)=答:豆子落入圓內(nèi)的概率為。1、如右下圖所示的單位圓,假設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到陰影部分的概率課堂練習(xí)解：由題意可得從而：基本事件的全體對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)槊娣e為１的單位圓事件A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)榈谝粋€(gè)圖形的陰影部分面積１／２事件B對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)榈诙€(gè)圖形的陰影部分面積３／８故幾何概型的知識(shí)可知，事件A、B發(fā)生的概率分別為：設(shè)“豆子落在第一個(gè)圖形的陰影部分”為事件A，“豆子落在第二個(gè)圖形的陰影部分”為事件B。2、取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1m的概率有多大？解：由題意可得故由幾何概型的知識(shí)可知，事件A發(fā)生的概率為：設(shè)“剪得兩段繩長都不小于1m”為事件A。則把線段三等分，當(dāng)剪斷中間一段時(shí)，事件A發(fā)生3m1m1m3、有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出01升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率解：由題意可得則：基本事件的全體對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)轶w積為1升的水事件A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?yàn)轶w積為01升的水故由幾何概型的知識(shí)可知，事件A發(fā)生的概率為：設(shè)“取出的01升水中含有細(xì)菌”為事件A。課堂小結(jié)1幾何概型的特征：無限性、等可能性、可區(qū)域化2幾何概型主要用于解決與測度有關(guān)的題目3注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別。4如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解。1在區(qū)間［1,3］上任取一數(shù),則這個(gè)數(shù)大于15的概率為A025B05C06D075D課后練習(xí)：ABCD無法計(jì)算B2如圖所示,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為則陰影區(qū)域的面積為3、已知棱長為2的正方體，內(nèi)切球O，若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為_______思考:在單位圓內(nèi)有一點(diǎn)A，現(xiàn)在隨機(jī)向圓內(nèi)扔一顆小豆子。（1）求小豆子落點(diǎn)正好為點(diǎn)A的概率。（2）求小豆子落點(diǎn)不為點(diǎn)A的概率。結(jié)論：若A是不可能事件，則PA=0；反之不成立即：概率為0的事件不一定是不可能事件。若A是必然事件，則PA=1；反之不成立即：概率為1的事件不一定是必然事件。A:如圖所示,因?yàn)檫^一點(diǎn)作射線是均勻的,因而應(yīng)把在∠ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能的,基本事件是射線CM落在∠ACB內(nèi)任一處,使|AM|>|AC|的概率只與∠BCC′的大小有關(guān),這符合幾何概型的條件1/6△ABC中,∠A=30°,過直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M,求|AM|>|AC|的概率題組一：與長度有關(guān)的幾何概型1、當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒，你看到黃燈的概率是多少_______2、在單位圓⊙O的一條直徑MN上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作弦與MN垂直且弦的長度超過1的概率是__________題組二：與角度有關(guān)的幾何概型變1:在等腰直角△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求使△ACM為鈍角三角形的概率變2:在等腰直角△ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM小于AC的概率在等腰直角△ABC中,過直角頂點(diǎn)C任作一條射線L與斜邊AB交于點(diǎn)M,求AM小于AC的概率題組三：與體積有關(guān)的幾何概型1、已知棱長為2的正方體，內(nèi)切球O，若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為_______2、用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入了一個(gè)很小的沙礫，試求這個(gè)沙礫距離球心不小于1cm的概率例2:假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙稱為事件A的概率是多少問題1：如果用表示報(bào)紙送到時(shí)間,用Y表示父親離家時(shí)間,請(qǐng)問與Y的取值范圍分別是什么？問題2：父親要想在離開家之前拿到報(bào)紙，請(qǐng)問與y除了要滿足上述范圍之外，還要滿足什么關(guān)系？例2:假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙稱為事件A的概率是多少問題3：這是一個(gè)幾何概型嗎？那么事件A的概率與什么有關(guān)系？長度、面積、還是體積？問題4：怎么求總區(qū)域面積？怎么求事件A包含的區(qū)域面積？我們畫一個(gè)與、y有關(guān)系的圖像例2:假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在