1.5集合中元素的個(gè)數(shù)

一元二次不等式的解法〔3〕閱讀材料集合中元素的個(gè)數(shù)例1

學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會(huì)。這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人。兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？分析：設(shè)A為田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生的集合，B為球類運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生的集合。那么A∩B就是兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的學(xué)生的集合。試分析

A∪B、A、B、A∩B中元素個(gè)數(shù)的關(guān)系.解：設(shè)A={田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生}， B={球類運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生}，那么， A∩B={兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的學(xué)生}， A∪B={參賽的學(xué)生}?！?card〔A∪B〕=card〔A〕+card〔B〕－card〔A∩B〕=8+12－3=17。答：兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有17名同學(xué)參賽。用圖來求解：例2.某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時(shí)參加兩個(gè)課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個(gè)課外活動(dòng)小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學(xué)小組、物理小組的人數(shù)各是多少？參加數(shù)學(xué)小組20人，參加物理小組10人. card〔A∪B〕=card〔A〕+card〔B〕－card〔A∩B〕即25=2x+x-5x=10 card〔A∪B〕=card〔A〕+card〔B〕－card〔A∩B〕能否推廣？試寫出三個(gè)集合類似公式.例3.某校高三學(xué)生共249人，畢業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)及科目如下表;表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。有人說上面的統(tǒng)計(jì)表有誤，你認(rèn)為呢？由統(tǒng)計(jì)表計(jì)算高三年級(jí)共有131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以統(tǒng)計(jì)表有誤.例4.在100個(gè)學(xué)生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂愛好者75人〔并非每個(gè)學(xué)生都有愛好〕，對(duì)美術(shù)和音樂都愛好的學(xué)生最多有多少人？最少有多少人？最多63人，最少38人.問題的提出：無限集中元素的個(gè)數(shù)？！是不是所有的無限集都有相同的個(gè)數(shù)呢？1.無限〔1〕初識(shí)無限〔2〕在有限集中，如何比較元素個(gè)數(shù)的多少？理解無限的關(guān)鍵——一一對(duì)應(yīng)〔3〕無限集中元素的個(gè)數(shù)——基數(shù)與此相關(guān)的一個(gè)定義：假設(shè)在一個(gè)集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對(duì)應(yīng)，那么稱這個(gè)集合是可數(shù)的?！?〕幾個(gè)令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？局部＝整體？！〔5〕問題的提出是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？康托在1973年11月29日給戴德金的信中提出：假設(shè)在一個(gè)集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對(duì)應(yīng)，那么稱這個(gè)集合是可數(shù)的。11月29日－12月7日，康托給無限的理論奠定了根底。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系——超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。實(shí)數(shù)集〔0，1〕是不可數(shù)的。無理數(shù)集是不可數(shù)的〔有理數(shù)集可數(shù)〕。是不是還存在數(shù)量上多于實(shí)數(shù)集的集合呢？實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。—實(shí)數(shù)、一直線上的點(diǎn)、平面上的點(diǎn)及高維空間的任一局部的點(diǎn)的基數(shù)?！皵?shù)學(xué)中的無窮無盡，其誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的理論之花。〞——E.KasnerandJ.Newman集合論危機(jī)重重：2.羅素悖論大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們稱之為“普通的〞。有許多集可能包含它自身為元素，例如集S定義如下：“但凡可以用不超過三十個(gè)字來定義的集合是S的元素。〞可以看到，S是包含它自身為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集〞。我們考查“所有普通集組成的集〞，稱它為C。那么C本身是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于C定義為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個(gè)元素。這樣的話，C必須是非普通集。這是一個(gè)矛盾。因此C必須是非普通集，但這時(shí)C包含了一個(gè)非普通集〔即C本身〕為其元素，這與C只包含普通集的定義相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在，就已經(jīng)使我們陷入矛盾。羅素的理發(fā)師悖論其他一些著名悖論〔1〕芝諾悖論1〕二分法悖論2〕阿基里斯和烏龜代數(shù)悖論：數(shù)理邏輯誕生數(shù)理邏輯這門學(xué)科在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)運(yùn)動(dòng)的過程中誕生，在十七世紀(jì)，算術(shù)因符號(hào)化促使了代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，代數(shù)使計(jì)算變得精確和方便，也使計(jì)算方法系統(tǒng)化。費(fèi)爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學(xué)代數(shù)化，大大擴(kuò)展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機(jī)械化的步驟。這反映了代數(shù)學(xué)作為普遍科學(xué)方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時(shí)代的英國(guó)哲學(xué)家霍布斯也認(rèn)為推理帶有計(jì)算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地開展這種思想。

現(xiàn)在公認(rèn)的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)〞，其中把一切推理都化歸為計(jì)算。實(shí)際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號(hào)語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進(jìn)行演算，他確實(shí)將某些命題形式表達(dá)為符號(hào)形式，但他的工作只是一個(gè)開頭，大局部沒有發(fā)表，因此影響不大。

真正使邏輯代數(shù)化的是英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾，他在1847年出版了?邏輯的數(shù)學(xué)分析?，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)〞的原型。布爾確信符號(hào)化會(huì)使邏輯變得嚴(yán)密。他的對(duì)象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的類，運(yùn)算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運(yùn)算是邏輯加法。

布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當(dāng)x、y不是類而是命題，那么x＝1表示的是命題x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否認(rèn)等