牛頓的引力定律

牛頓的引力定律

0開普勒引力定律牛頓的強制法是人類識別自然規(guī)律的重要結(jié)果。強制法是經(jīng)典力學(xué)的重要組成部分，為天然力學(xué)奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了漫長而又曲折的過程.許多科學(xué)家如哥白尼、伽利略、笛卡爾、哈雷、虎克等對宇宙進行觀測和研究.丹麥天文學(xué)家第谷連續(xù)二十多年對行星的位置進行了精確測量,積累大量的數(shù)據(jù).開普勒繼承第谷遺留下的寶貴資料,并通過觀測研究,經(jīng)過長期艱苦的計算,總結(jié)出行星繞太陽運動的三條基本定律,為牛頓建立萬有引力定律創(chuàng)造了條件.開普勒不僅發(fā)現(xiàn)了行星運動三定律,而且力圖探求行星運動何以有這些規(guī)律,他將磁力引入太陽系的見解是探討太陽、行星之間存在力的相互作用的一種最早嘗試.大約50年后,牛頓在前人引力研究的基礎(chǔ)上,運用開普勒三定律和他總結(jié)的運動三定律,經(jīng)歷了廿年時間才透徹地解決這一難題,在1687年出版的劃時代巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中他提出了完整的萬有引力定律.1為促進法律糾紛的準備條件1.1克氏原則的自然法第一(軌道)定律:各行星繞太陽作橢圓運動,太陽位于橢圓的一個焦點上.第二(面積)定律:行星和太陽之間的連線,在相等時間掃過的面積相同.第三(周期)定律:行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期T的平方和橢圓軌道半長軸a的立方成正比,即Τ2a3=T2a3=恒量附:開普勒定律所描述的運動是相對日心——恒星參照系而言的.1.2萬有引力定律的成正比及其后果其一,一切物體總保持勻速直線運動狀態(tài)或靜止狀態(tài),直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止.其二,在力的作用下,物體的加速度與所受的合外力成正比,與物體的質(zhì)量成反比,加速度的方向與合力的方向相同.其三,兩個物體間的作用力與反作用力大小相等,方向相反,作用在同一直線上.因此,根據(jù)開普勒第一定律和牛頓第一定律得到結(jié)論:力是連續(xù)不斷地作用在行星上.根據(jù)開普勒第二定律可以得到:連續(xù)不斷作用在行星上的力其方向永遠指向太陽.運用開普勒第三定律,還可進一步證明:太陽中心的引力與行星到太陽的距離平方成反比,再根據(jù)牛頓第三定律可得出萬有引力定律.2規(guī)則的理由2.1太陽的高斯常把行星的橢圓運動近似看成圓周運動,運用普通物理知識和初等數(shù)學(xué)工具,從開普勒三定律和牛頓三定律出發(fā)推導(dǎo)出萬有引力定律.(1)開普勒第一定律表明:各行星按不同的橢圓軌道繞太陽運動,軌道的形狀取決于橢圓的偏心率e.太陽系九大行星的偏心率見下表:由表可知:行星的偏心率都很小,可近似認為兩焦點重合e=o,太陽位于圓心上,因此行星的運動看成是圓周運動.根據(jù)開普勒第二定律:在dt時間內(nèi)行星相對太陽的徑矢所掃過的扇形BOC面積dA對dt的微商是常量,即dAdt=C2(CdAdt=C2(C是常量)dAdt=ddt(12(r?rθ))=12r2ω=12rv=C2v=Cr(1)dAdt=ddt(12(r?rθ))=12r2ω=12rv=C2v=Cr(1)因而行星繞太陽運動是勻速圓周運動.(2)設(shè)任意一行星繞太陽作圓周運動,太陽是軌道的圓心,行星質(zhì)量為m,線速度為v,半徑為r,公轉(zhuǎn)周期為T,受到太陽的作用力F,其加速度為av=2πrΤ(2)v=2πrT(2)根據(jù)牛頓第二定律:行星受的力即為圓周運動的向心力.F=ma=mv2r=m4π2rΤ2(3)F=ma=mv2r=m4π2rT2(3)根據(jù)開普勒第三定律:Τ2a3=Τ2r3=C1T2a3=T2r3=C1恒量(對任意繞太陽運動的行星都適用)將T2=C1r3代入(3)式得F=4π2C1?mr2F=4π2C1?mr2令k=4π2C1k=4π2C1得F=k?mr2(4)F=k?mr2(4)此式表明:太陽作用在行星上的力與行星到太陽的距離的平方成反比,和行星的質(zhì)量成正比.式中K與行星無關(guān)的常量,僅與太陽的性質(zhì)有關(guān),稱為“太陽的高斯常量”.(3)又行星繞太陽運動時,受到太陽對其作用力F,由力的相互作用可知,太陽必受到行星對它的反作用力F′.由牛頓第三定律應(yīng)有:F=F′或F=-F′由運動相對性可知,以行星不動,太陽繞行星轉(zhuǎn)動,仿照前面的推導(dǎo)可得到F′=Κ′Μr2(Μ為太陽的質(zhì)量K′為行星的高斯常量)故有Κmr2=Κ′Μr2ΚΜ=Κ′m=常量對其它各行星均有:行星的高斯常量該行星的質(zhì)量=G(萬有引力常量)ΚΜ=GΚ=GΜ代入(4)式得F=GΜmr2(5)2.2重1p2a的a根據(jù)理論力學(xué)的知識,運用高等數(shù)學(xué)和解析幾何知識,精確地由開普勒定律導(dǎo)出萬有引力定律.(1)開普勒第二定律另一種表述形式:r×v=恒矢量m(r×v)=r×(mv)=恒矢量=J(角動量)(m為行星質(zhì)量)dJdt=0(6)表明:行星受到有心力的作用,太陽就是有心力的力心,故行星在有心力作用下運動,且太陽、行星在同一平面內(nèi),由開普勒第一定律可知,行星沿橢圓軌道運動.又由單位時間內(nèi),徑矢掃過的面積相等dAdt=常量(A有徑矢掃過的面積)P1,P2為行星沿著它的軌道運動時兩相鄰瞬間的位置,且對太陽的張角為△θ,自P1沿軌道運動到P2所需時間為△t,故有A=S△OP1P2當(dāng)△t→0時P2→P1,△A近似地等于OP1P2′的面積,S△ΟΡ1Ρ2′=12r2?△θdAdt=lim△t→0△A△t=lim△t→012r2△θ△t=12r2˙θdAdt=12r2˙θ=常量(7)(2)根據(jù)開普勒行星軌道定律,把太陽、行星都視為質(zhì)點,運用解析幾何知識r=p1+ecosθ(0<e<1)式中r為徑矢長,p為半正焦弦,e為偏心率,θ為極角,且p=b2a=a(1-e2)行星繞太陽的運動遵循軌道微分方程:F(r)=-mC2u2(d2udθ2+u)(其中r2˙θ=C,u=1r=1+ecosθp)(8)dudθ=ddθ(1r)=ddθ(1+epcosθ)=-epsinθd2udθ2=ddθ(-epsinθ)=-epcosθ代入(8)式得:F=-mC2u21p=-C2p?mr2(9)又由開普勒面積定律得dAdt=12r2˙θ=C2常量橢圓面積為πab,行星公轉(zhuǎn)周期為TdAdt=πabΤ=C2C=2πabΤ半正焦弦p=a(1-e2)=b2a將C、p式子代入(9)式F=-mC2p?1r2=-4π2a2b2Τ2?ab2?mr2=-4π2a3Τ2?mr2令μ=4πa3Τ2得:F=-μmr2(10)其中μ與行星無關(guān),而與太陽的性質(zhì)有關(guān)的常量,稱為“太陽的高斯常量”該式表明:行星運行所受到引力的大小與行星到太陽的距離平方成反比,與行星的質(zhì)量成正比,方向指向太陽.(3)太陽與行星之間的作用是相互的,行星對太陽的作用力為F′,由運動的相對性,可推導(dǎo)出F′=-μ′Μr2(Μ是太陽的質(zhì)量,μ′是行星的高斯常量)由牛頓第三定律得:F=-F′,或F=F′μmr2=μ′Μr2μΜ=μ′m=G(萬有引力常量)將μ=GM代入F=-μmr2得:F=-GΜmr2(其中負號表示為引力)(11)2.3萬有引力定律的數(shù)學(xué)描述上述兩種推導(dǎo)得出的結(jié)論只涉及到行星與太陽之間,現(xiàn)在將其推廣到其它各行星之間以及地球與地面上各物體之間.同理,地球吸引某星或某物m′F′=G′Μ地m′r2(G′為地球的高斯常量)若令m′=M太,即地球吸引另一物體是太陽,代入上式得,地球與太陽之間引力F′=G′Μ地Μ太r2該式與(11)式F=F′=GΜ太Μ地r2比較得G′=G對其它物體也可進行類似的討論,同理得出G=G′=G′′=G′′′=…即對于所有相互吸引的物體,G是相同的,即G是普適常量,稱為“萬有引力常量”.綜合上述,萬有引力定律數(shù)學(xué)表達式為:F=GΜmr2(12)3萬有引力定律萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)對于天文學(xué)的發(fā)展有很大的推動作用.牛頓還曾利用它正確解釋潮汐現(xiàn)象.人們應(yīng)用這一定律去認識前所未知的太陽系成員.在1846年發(fā)現(xiàn)了海王星,在1930年又發(fā)現(xiàn)了冥王星,還以它和開普勒定律為基礎(chǔ),研究天體運動的規(guī)律,確定行星的質(zhì)量和軌道,計算行星、慧星、衛(wèi)星的位置,在星際航行方面起著重要的作用.牛頓的萬有引力定律同任何一個物理理論一樣都