七年級數學上冊專題4.1 幾何圖形（知識講解）-2022-2023學年七年級數學上冊基礎知識專項講練（人教版）

/專題4.1幾何圖形（知識講解）【學習目標】1．理解幾何圖形的概念，并能對具體圖形進行識別或判斷；2.掌握立體圖形從不同方向看得到的平面圖形及立體圖形的平面展開圖，在平面圖形和立體圖形相互轉換的過程中，初步培養(yǎng)空間想象能力；3.理解點線面體之間的關系，掌握怎樣由平面圖形旋轉得到幾何體，能夠借助平面圖形剖析常見幾何體的形成過程.【要點梳理】要點一、幾何圖形1．定義：把從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形．特別說明：幾何圖形是從實物中抽象得到的，只注重物體的形狀、大小、位置，而不注重它的其它屬性，如重量，顏色等.2．分類：幾何圖形包括立體圖形和平面圖形(1)立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體，圓柱，圓錐，球等.(2)平面圖形：有些幾何圖形(如線段、角、三角形、圓等)的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形．特別說明：常見的立體圖形有兩種分類方法：(2)常見的平面圖形有圓和多邊形，其中多邊形是由線段所圍成的封閉圖形，生活中常見的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形等．(3)立體圖形和平面圖形是兩類不同的幾何圖形，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系．要點二、從不同方向看從不同的方向看立體圖形，往往會得到不同形狀的平面圖形．一般是從以下三個方向：(1)從正面看；(2)從左面看；(3)從上面看．從這三個方向看到的圖形分別稱為正視圖(也稱主視圖)、左視圖、俯視圖．要點三、簡單立體圖形的展開圖有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖．特別說明：(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．要點四、點、線、面、體長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點.從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關系.此外，從運動的觀點看：點動成線，線動成面，面動成體.【典型例題】類型一、幾何圖形1．(1)下面這些基本圖形和你很熟悉，試寫出它們的名稱；(2)將這些幾何體分類，并寫出分類的理由．【答案】(1)從左向右依次是球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱．(2)按柱、錐、球劃分，則有圓柱、長方體、三棱柱為柱體；圓錐為錐體；球為球體【分析】(1)針對立體圖形的特征，直接填寫它們的名稱即可；(2)按柱體、錐體、球體進行分類即可．解：(1)從左向右依次是球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱．觀察圖形，按柱、錐、球劃分，則有圓柱、長方體、三棱柱為柱體；圓錐為錐體；球為球體．【點撥】本題考查了立體圖形的認識和幾何體的分類，熟記立體圖形的特征是解決本題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，請寫出下列立體圖形是由哪些幾何體組合而成的．【分析】根據生活中常見的幾何體的特征進行求解即可得到答案．解：圖①是由底面完全重合的圓錐和圓柱組合而成的；圖②是由底面完全重合的兩個圓錐組合而成的；圖③是由完全相同的四個正方體組合而成的．【點撥】本題主要考查了立體圖形中的幾何體，解題的關鍵在于能夠熟練掌握常見的幾何體的特征．【變式2】請將下圖中的幾何體進行分類，并說明它們是由哪些面圍成的．【答案】（1）、（2）、（6）是柱體，（3）、（4）錐體，（5）是球體．【分析】根據幾何體的特征可分為柱體、錐體、球體，將圖中的圖形歸類即可解答．解：圖中（1）、（2）、（6）是柱體，其中圖（1）是長方體，它由6個長方體的平面圍成；圖（2）是圓柱體，它由2個圓和一個曲面圍成；圖（6）是棱柱體，它是由2個三角形平面和三個長方形平面圍成；圖中（3）、（4）錐體，其中圖（3）是圓錐體，它由一個圓和一個曲面圍成；圖（4）是棱錐體，它是由4個三角形平面圍成；圖（5）是球體，它由一個曲面圍成．【點撥】本題主要考查了幾何體的分類，按照幾何體的特征進行分類是解本題的關鍵．2．如圖是一個長方體形狀的包裝紙盒的展開圖，已知紙盒中相對兩個面上的數互為相反數．(1)填空：______，______，______；(2)求代數式的值．【答案】(1)1，-2，-3；(2)0【分析】（1）先根據長方體的平面展開圖確定a、b、c所對的面的數字，再根據相對的兩個面上的數互為相反數，確定a、b、c的值；（2）化簡代數式后將a、b、c的值代入化簡后的式子求值．（1）解：∵由長方體紙盒的平面展開圖知，a與-1、b與2、c與3是相對的兩個面上的數字或字母，相對的兩個面上的數互為相反數，∴所以a=1，b=-2，c=-3．故答案為：1，-2，-3．（2）==，當a=1，b=﹣2，c=﹣3時，原式=．【點撥】本題考查了長方體的平面展開圖、相反數及整式的化簡求值．解決本題的關鍵是根據平面展開圖確定a、b、c的值．舉一反三：【變式1】如圖是由若干個大小相同的小立方塊搭成的幾何體，請分別畫出從正面、左面、上面所看到的該幾何體的形狀圖．【答案】見分析【分析】根據正面、左面、上面所看到的形狀畫圖即可.解：如圖所示：【點撥】此題考查了從不同方向看幾何體，有良好的空間想象能力是解答本題的關鍵．【變式2】一個幾何體由大小相同的小立方體搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數，請畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖．【答案】見詳解【分析】由已知條件可知，從正面看有3列，每列小正方形數目分別為3，2，3；從左面看有3列，每列小正方形數目分別為2，3，3，據此畫出圖形即可．解：由已知條件可知，從正面看有3列，每列小正方形數目分別為3，2，3；從左面看有3列，每列小正方形數目分別為2，3，3，圖形如下圖所示，【點撥】本題考查從不同方向看幾何體，由幾何體的從上面看到的圖形以及小正方形內的數字，可知從正面看的圖形的列數與上面看到的圖形的列數相同，且每列小正方形數目為從上面看到的圖形中該列小正方形數字中的最大數字．從左面看到的圖形的列數與從上面看到的圖形的行數相同，且每列小正方形數目為從上面看到的圖形中相應行中正方形數字中的最大數字．類型二、從不同方向看2．十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數、面數、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點數棱數（E）四面體長方體正八面體正十二面體你發(fā)現頂點數、面數、棱數（E）之間存在的關系式是．(2)一個多面體的面數比頂點數小8，且有30條棱，則這個多面體的面數是．(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，設該多面體外表面三角形的個數為個，八邊形的個數為個，求的值．【答案】(1)6；6；；(2)12；(3)14【分析】（1）觀察可得頂點數+面數-樓數=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面數；（3）根據題意得到多面體的棱數，可求得面數即為x+y的值．（1）解：完成表格，如下：多面體頂點數面數棱數（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體201230根據表格得：頂點數、面數、棱數（E）之間存在的關系式是；故答案為：；（2）解：由題意得：，解得；故答案為：12（3）解：有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；共有條棱，那么，解得，．【點撥】本題考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用．舉一反三：【變式1】十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，回答下列問題：(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體44長方體8612正八面體812正十二面體201230四面體棱數是；正八面體頂點數是．你發(fā)現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是．(2)一個多面體的面數比頂點數小8，且有30條棱，則這個多面體的面數是．(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點出都有3條棱，設該多面體外表三角形的個數為個，八邊形的個數為個，求的值．【答案】(1)6；6；V+F-E=2(2)12(3)a+b=14．【分析】（1）觀察可得頂點數+面數-棱數=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面數；（3）得到多面體的棱數，求得面數即為a+b的值．（1）解：四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；關系式為：V+F-E=2；故答案為：6；6；V+F-E=2；（2）解：∵一個多面體的面數比頂點數小8，∴V=F+8，∵V+F-E=2，且E=30，∴F+8+F-30=2，解得F=12；故答案為：12；（3）解：∵有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；∴共有24×3÷2=36條棱，那么24+F-36=2，解得F=14，∴a+b=14．【點撥】本題考查了歐拉公式和數學常識，注意多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用．【變式2】18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．(1)根據上面的多面體模型，直接寫出表格中的m，n的值，則______，______．多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體446長方體m612正八面體n812正十二面體201230(2)你發(fā)現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是_______．(3)一個多面體的面數等于頂點數，且這個多面體有30條棱，求這個多面體的面數．【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)這個多面體的面數為16【分析】（1）觀察圖形即可得出結論；（2）觀察可得：頂點數+面數-棱數=2；（3）將所給數據代入（2）中的式子即可得到面數．（1）解：觀察圖形，長方體的定點數為8；正八面體的頂點數為6；多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體201230故答案為：8；6；（2）解：觀察表格可以看出：頂點數+面數-棱數=2，關系式為：V+F-E=2；（3）解：由題意得：F+F-30=2，解得F=16，∴這個多面體的面數為16．【點撥】本題主要考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用，正確理解題意是解題的關鍵．類型三、幾何體的點、棱、面及之間關系3.如圖所示是一個多面體的展開圖形，每個面（外表面）都標注了字母，請你根據要求回答問題：(1)這個多面體是什么常見幾何體；(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．【答案】(1)長方體(2)在上面【分析】（1）根據多面體的展開圖形可知，多面體是長方體；（2）根據長方體及其表面展開圖的特點可知，其中面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對．（1）解：根據多面體的展開圖形可知，多面體是長方體；（2）解：根據長方體及其表面展開圖的特點可知，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，如果在前面，在左面，則在下面，在上面．【點撥】本題主要考查了長方體的展開圖，根據展開圖形分析出面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，回答下列問題：(1)根據上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體44長方體8612正八面體812正十二面體201230四面體棱數是；正八面體頂點數是．你發(fā)現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是．(2)一個多面體的面數比頂點數小8，且有30條棱，則這個多面體的面數是．(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點出都有3條棱，設該多面體外表三角形的個數為個，八邊形的個數為個，求的值．【答案】(1)6；6；V+F-E=2(2)12(3)a+b=14．【分析】（1）觀察可得頂點數+面數-棱數=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面數；（3）得到多面體的棱數，求得面數即為a+b的值．（1）解：四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；關系式為：V+F-E=2；故答案為：6；6；V+F-E=2；（2）解：∵一個多面體的面數比頂點數小8，∴V=F+8，∵V+F-E=2，且E=30，∴F+8+F-30=2，解得F=12；故答案為：12；（3）解：∵有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；∴共有24×3÷2=36條棱，那么24+F-36=2，解得F=14，∴a+b=14．【點撥】本題考查了歐拉公式和數學常識，注意多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用．【變式2】18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．(1)根據上面的多面體模型，直接寫出表格中的m，n的值，則______，______．多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體446長方體m612正八面體n812正十二面體201230(2)你發(fā)現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是_______．(3)一個多面體的面數等于頂點數，且這個多面體有30條棱，求這個多面體的面數．【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)這個多面體的面數為16【分析】（1）觀察圖形即可得出結論；（2）觀察可得：頂點數+面數-棱數=2；（3）將所給數據代入（2）中的式子即可得到面數．（1）解：觀察圖形，長方體的定點數為8；正八面體的頂點數為6；多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體201230故答案為：8；6；（2）解：觀察表格可以看出：頂點數+面數-棱數=2，關系式為：V+F-E=2；（3）解：由題意得：F+F-30=2，解得F=16，∴這個多面體的面數為16．【點撥】本題主要考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用，正確理解題意是解題的關鍵．類型四、展開圖4．如圖所示是一個多面體的展開圖形，每個面（外表面）都標注了字母，請你根據要求回答問題：(1)這個多面體是什么常見幾何體；(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．【答案】(1)長方體(2)在上面【分析】（1）根據多面體的展開圖形可知，多面體是長方體；（2）根據長方體及其表面展開圖的特點可知，其中面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對．（1）解：根據多面體的展開圖形可知，多面體是長方體；（2）解：根據長方體及其表面展開圖的特點可知，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，如果在前面，在左面，則在下面，在上面．【點撥】本題主要考查了長方體的展開圖，根據展開圖形分析出面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，面“”與面“”相對，是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖是一個長方體紙盒的展開圖，如果長方體相對面上的兩個數字之和相等，求的值．【答案】16【分析】分別找到x與y相對的數字即可求解．解：因為這是長方體紙盒的展開圖，所以“4”與“10”相對，“”與“2”相對，“6”與“”相對，所以，所以，，所以．【點撥】本題考查了長方體的展開圖，正確找出相對面是解題的關鍵．【變式2】一種長方體牛奶包裝盒的長、寬、高分別為6，4，12．為了生產這種包裝盒，需要先畫出展開圖紙樣．（1）如圖，給出甲、乙、丙三種紙樣，其中正確的是；（2）從已知正確的紙樣中選出一種，在圖中標注上尺寸；（3）利用你所選的一種紙樣，求出包裝盒的表面積．【答案】（1）甲、丙；（2）見分析；（3）288【分析】（1）根據長方體的展開圖特征即可求解；（2）根據各邊的長短標上對應的尺寸；（3）根據長方體的表面積公式計算即可．解：（1）根據長方體的展開圖特征可得正確圖紙樣為甲、丙；（2）根據各邊的長短標上對應的尺寸如下：（3）該包裝盒的表面積為2×6×12+2×4×12+2×6×4=144+96+48=288．【點撥】本題考查長方體的應用，熟練掌握長方體的展開圖和長方體的表面積公式是解題關鍵．類型五、點、線、面、體5．如圖，第二行的圖形繞虛線旋轉一周，便能形成第一行的某個幾何體，用線連一連．【答案】見分析【分析】根據旋轉的特點和各幾何圖形的特性判斷即可．解：如圖所示：【點撥】本題考查了點、線、面、體，解決本題的關鍵是掌握點動成線，線動成面，面動成體．舉一反三：【變式1】把一個長方形繞它的一條邊所在的直線旋轉一周能得到一個圓柱體，那么把一個長為8cm，寬為6cm的長方形，繞它的一條邊所在的直線旋轉一周后，你能計算出所得到的圓柱體的體積嗎？(結果保留π)【答案】所得到的圓柱體的體積為288πcm3或384πcm3分析：分兩種情況討論，①若繞著長所在的直線旋轉，②若繞著寬所在的直線旋轉，分別計算出圓柱的體積即可．解：①若繞著長所在的直線旋轉，所得圖形為圓柱，此時底面圓半徑為6cm