電工基礎(chǔ)（第五版） 課件 第6、7章 互感電路、非正弦周期電流電路

第六章互感電路6.1互感與互感電壓6.2同名端及其判定6.3具有互感電路的計(jì)算6.4空芯變壓器本章小結(jié)習(xí)題

6.1互感與互感電壓

6.1.1互感現(xiàn)象

圖6.1中,設(shè)兩個(gè)線圈的匝數(shù)分別為N1、N2。在線圈1中通以交變電流i1,使線圈1具有的磁通Φ11叫自感磁通,Ψ11=N1Φ11叫線圈1的自感磁鏈。由于線圈2處在i1所產(chǎn)生的磁場(chǎng)之中,Φ11的一部分穿過(guò)線圈2,線圈2具有的磁通Φ21叫做互感磁通,Ψ21=N2Φ21叫做互感磁鏈。這種由于一個(gè)線圈電流的磁場(chǎng)使另一個(gè)線圈具有的磁通、磁鏈分別叫做互感磁通、互感磁鏈。圖6.1互感應(yīng)現(xiàn)象由于i1的變化引起Ψ21的變化,從而在線圈2中產(chǎn)生的電壓叫互感電壓。同理,線圈2中電流i2的變化,也會(huì)在線圈1中產(chǎn)生互感電壓。這種由一個(gè)線圈的交變電流在另一個(gè)

線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象。

為明確起見(jiàn),磁通、磁鏈、感應(yīng)電壓等應(yīng)用雙下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)代表該量所在線圈的編號(hào),第二個(gè)下標(biāo)代表產(chǎn)生該量的原因所在線圈的編號(hào)。例如,Ψ21表示由線圈1產(chǎn)生

的穿過(guò)線圈2的磁鏈。

6.1.2互感系數(shù)

在非鐵磁性的介質(zhì)中,電流產(chǎn)生的磁通與電流成正比,當(dāng)匝數(shù)一定時(shí),磁鏈也與電流大小成正比。選擇電流的參考方向與它產(chǎn)生的磁通的參考方向滿足右手螺旋法則時(shí),可得

Ψ21∝i1

設(shè)比例系數(shù)為M21,則

Ψ21=M21i1

或

(6.1)

M21叫做線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù),簡(jiǎn)稱互感。

同理,線圈2對(duì)線圈1的互感為

可以證明,M12=M21(本書(shū)不作證明),今后討論時(shí)無(wú)須區(qū)分M12和M21。兩線圈間的互感系數(shù)用M表示,即

M=M12=M21

互感M的SI單位是亨(H)。

線圈間的互感M不僅與兩線圈的匝數(shù)、形狀及尺寸有關(guān),還和線圈間的相對(duì)位置及磁介質(zhì)有關(guān)。當(dāng)用鐵磁材料作為介質(zhì)時(shí),M將不是常數(shù)。本章只討論M為常數(shù)的情況。6.1.3耦合系數(shù)

兩個(gè)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通,一般情況下,只有部分相交鏈。兩耦合線圈相交鏈的磁通越多,說(shuō)明兩個(gè)線圈耦合越緊密。耦合系數(shù)k用來(lái)表示磁耦合線圈的耦合程度。

耦合系數(shù)定義為

因?yàn)?/p>

所以而Φ21≤Φ11,Φ12≤Φ22,所以有

緊密繞在一起的兩個(gè)線圈,當(dāng)

時(shí)稱全耦合。而兩線圈軸線相互垂直且在對(duì)稱位置上時(shí),k=0。所以,改變兩線圈的相互位置,可以相應(yīng)地改變M的大小。

6.1.4互感電壓

互感電壓與互感磁鏈的關(guān)系也遵循電磁感應(yīng)定律。與討論自感現(xiàn)象相似,選擇互感電壓與互感磁鏈兩者的參考方向符合右手螺旋法則時(shí),因線圈1中電流i1的變化在線圈2中產(chǎn)生的互感電壓為

(6.3)

同樣,因線圈2中電流i2的變化在線圈1中產(chǎn)生的互感電壓為

(6.4)

由式(6.3)和式(6.4)可看出,互感電壓的大小取決于電流的變化率。當(dāng)di/dt>0時(shí),互感電壓為正值,表示互感電壓的實(shí)際方向與參考方向一致;當(dāng)di/dt<0時(shí),互感電壓為

負(fù)值,表明互感電壓的實(shí)際方向與參考方向相反。

當(dāng)線圈中通過(guò)的電流為正弦交流電時(shí),如

則

同理互感電壓可用相量表示,即

式中,XM=ωM稱為互感抗,單位為歐姆(Ω)。思考題

1.互感應(yīng)現(xiàn)象與自感應(yīng)現(xiàn)象有什么異同?

2.互感系數(shù)與線圈的哪些因素有關(guān)?

3.已知兩耦合線圈的L1=0.04H,L2=0.06H,k=0.4,試求其互感。

4.U21=jωM?I1中互感電壓的參考方向與互感磁通及電流的參考方向之間有什么

關(guān)系?6.2同名端及其判定

分析線圈的自感電壓和電流方向關(guān)系時(shí),只要選擇自感電壓uL與電流i為關(guān)聯(lián)參考方向,其元件約束關(guān)系uL=L(di/dt)就成立,不必考慮線圈的實(shí)際繞向。當(dāng)線圈電流增加時(shí)(di/dt>0),自感電壓的實(shí)際方向與電流實(shí)際方向一致;當(dāng)線圈電流減少時(shí)(di/dt<0),自感電壓的實(shí)際方向與電流的實(shí)際方向相反。

分析互感線圈時(shí),需要知道線圈的繞向。如圖6.2所示,圖(a)和圖(b)的區(qū)別只是線圈2的繞向不同,其它情況相同。當(dāng)線圈1的電流i1增加時(shí),即di1/dt>0,由楞次定律知線圈2的互感電壓u21的方向在圖(a)中由注“*”號(hào)的一端指向另一端,在圖(b)中由注“Δ”號(hào)的一端指向另一端?？梢?jiàn),要確定互感電壓的方向時(shí),需要知道線圈的繞向。圖6.2互感電壓與線圈繞向的關(guān)系6.2.1同名端

用同名端來(lái)反映磁耦合線圈的相對(duì)繞向,從而在分析互感電壓時(shí)不需要考慮線圈的實(shí)際繞向及相對(duì)位置。

當(dāng)兩個(gè)線圈的電流分別從端鈕1和端鈕2流進(jìn)時(shí),每個(gè)線圈的自感磁通和互感磁通的方向一致,就認(rèn)為磁通相助,則端鈕1、2就稱為同名端。如圖6.1中的兩個(gè)線圈,i1、i2分

別從端鈕a、c流入,線圈1的自感磁通Φ11和互感磁通Φ12方向一致,線圈2的自感磁通Φ22和互感磁通Φ21方向一致,則線圈1的端鈕a和線圈2的端鈕c為同名端。顯然,端鈕b和端鈕d也是同名端。而a、d及b、c端鈕則稱異名端。同名端用相同的符號(hào)“*”或“Δ”標(biāo)記。為了便于區(qū)

別,僅將兩個(gè)線圈的一對(duì)同名端用標(biāo)記標(biāo)出,另一對(duì)同名端不需標(biāo)注。

在電路理論中,把有互感的一對(duì)電感元件稱為耦合電感元件,簡(jiǎn)稱耦合電感。圖6.3所示為耦合電感的電路模型,其中兩線圈的互感為M,自感分別為L(zhǎng)1、L2。圖中“*”號(hào)表示它們的同名端。6.2.2同名端的測(cè)定

如果已知磁耦合線圈的繞向及相對(duì)位置,同名端便很容易利用其概念進(jìn)行判定。但是,實(shí)際的磁耦合線圈的繞向一般是無(wú)法確定的,因而同名端就很難判別。

測(cè)定同名端比較常用的一種方法為直流法,其接線方式如圖6.4所示。當(dāng)開(kāi)關(guān)S接通瞬間,線圈1的電流i1經(jīng)圖示方向流入且增加,若此時(shí)直流電壓表指針正偏(不必讀取指

示值),則電壓表“+”柱所接線圈端鈕和另一線圈接電源正極的端鈕為同名端。反之,電壓表指針?lè)雌?則電壓表“-”柱所接線圈端鈕與另一線圈接電源正極的端鈕為同名端。上述實(shí)驗(yàn)告訴我們一個(gè)很有用的結(jié)論:當(dāng)隨時(shí)間增大的電流從一線圈的同名端流入時(shí),會(huì)引起另一線圈同名端電位升高。判別互感線圈的同名端不僅在理論分析中很重要,而且在實(shí)際應(yīng)用中也非常重要。如變壓器使用中,經(jīng)常根據(jù)需要用同名端標(biāo)記各繞組的繞向關(guān)系。在電子技術(shù)中廣泛應(yīng)用的互感線圈,許多情況下也必須考慮互感線圈的同名端。6.2.3同名端原則

當(dāng)兩個(gè)線圈的同名端確定后,如圖6.5所示,在選擇一個(gè)線圈的互感電壓參考方向與引起該電壓的另一線圈的電流的參考方向遵循對(duì)同名端一致的原則下,有

(6.5)

其中,若di2/dt>0,按照同名端的概念u12>0,與實(shí)際情況相符。同理,若di1/dt>0,則u21>0。因此,利用同名端的概念在分析互感電路時(shí),不必考慮線圈的繞向及相對(duì)位置,但對(duì)參考方向所遵循的原則必須理解和掌握。

在正弦交流電路中,互感電壓與引起它的電流為同頻率的正弦量,當(dāng)其相量的參考方向滿足上述原則時(shí),有

(6.6)

可見(jiàn),在上述參考方向原則下,互感電壓比引起它的正弦電流超前π/2。例6.1圖6.6所示電路中,M=0.025H,i1=2sin1200tA,試求互感電壓u21。

解：選擇互感電壓u21與電流i1的參考方向?qū)ν艘恢?

如圖6.6所示,則

其相量形式為

故

所以思考題

1.試判定圖6.7(a)、(b)中各對(duì)磁耦合線圈的同名端。

2.在圖6.4中,若同名端已知,開(kāi)關(guān)原先閉合已久,若瞬時(shí)切斷開(kāi)關(guān),電壓表指針如何偏轉(zhuǎn)?為什么?這與同名端一致原則矛盾嗎?3.請(qǐng)?jiān)趫D6.8中標(biāo)出自感電壓和互感電壓的參考方向,并寫(xiě)出u1和u2的表達(dá)式。6.3具有互感電路

6.3.1互感線圈的串聯(lián)

1.順向串聯(lián)

所謂順向串聯(lián),就是把兩線圈的異名端相連,如圖6.9所示。的計(jì)算

這種連接方式中,電流將從兩線圈的同名端流進(jìn)或流出。選擇電流、電壓的參考方向如圖6.9所示,則在正弦電路中有

串聯(lián)后線圈的總電壓為

其中,LF為順向串聯(lián)的等效電感:

LF=L1+L2+2M

2.反向串聯(lián)

反向串聯(lián)是兩個(gè)線圈的同名端相連,如圖6.10所示。電流從兩個(gè)線圈的異名端流入,電流、電壓按習(xí)慣選擇參考方向,如圖6.10所示,則在正弦交流電路中有

其總電壓為

其中,LR為線圈反向串聯(lián)的等效電感:

由式(6.7)和式(6.8)可以看出,兩線圈順向串聯(lián)時(shí)的等效電感大于兩線圈的自感之和,而兩線圈反向串聯(lián)時(shí)的等效電感小于兩線圈的自感之和。從物理本質(zhì)上說(shuō)明順向串聯(lián)時(shí),

電流從同名端流入,兩磁通相互增強(qiáng),總磁鏈增加,等效電感增大;而反向串聯(lián)時(shí)情況則相反,總磁鏈減小,等效電感減小。

根據(jù)LF和LR可以求出兩線圈的互感M為例6.2將兩個(gè)線圈串聯(lián)接到工頻220V的正弦電源上,順向串聯(lián)時(shí)電流為2.7A,功率為218.7W,反向串聯(lián)時(shí)電流為7A,求互感M。

解：正弦交流電路中,當(dāng)計(jì)入線圈的電阻時(shí),互感為M的串聯(lián)磁耦合線圈的復(fù)阻抗為

根據(jù)已知條件,順向串聯(lián)時(shí)有反向串聯(lián)時(shí),線圈電阻不變,根據(jù)已知條件可得

得

6.3.2互感線圈的并聯(lián)

互感線圈的并聯(lián)也有兩種連接方式,一種是兩個(gè)線圈的同名端相連,稱同側(cè)并聯(lián),如圖6.11(a)所示;另一種為兩個(gè)線圈的異名端相連,稱異側(cè)并聯(lián),如圖6.11(b)所示。在圖6.11所示電壓、電流的參考方向下,可列出如下電路方程:

（6.10）

式(6.10)中互感電壓前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。求解式(6.10)可得并聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗Z為

（6.11）L為兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效電感,即

（6.12）

式(6.11)和式(6.12)的分母中,負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。

有時(shí)為了便于分析電路,將式(6.10)進(jìn)行變量代換、整理,可得如下方程:

式(6.13)中方程與圖6.12所示電路的方程是一致的,因此,用圖6.12所示無(wú)互感的電路可等效替代圖6.11所示的互感電路。圖6.12就稱為圖6.11的去耦等效電路,即消去互感后的等效電路。用去耦等效電路來(lái)分析求解互感電路的方法稱為互感消去法。

在圖6.12中,±M前面的正號(hào)對(duì)應(yīng)于互感線圈的同側(cè)并聯(lián),負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于互感線圈的異側(cè)并聯(lián)。而L1?M和L2?M中M前的負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。同

時(shí)應(yīng)當(dāng)注意,去耦等效電路僅僅對(duì)外電路等效。一般情況下,消去互感后,節(jié)點(diǎn)將增加。有時(shí)還會(huì)遇到有互感的兩個(gè)線圈僅有一端相連接的情況,如圖6.13所示。在圖示各量

參考方向下,其端鈕間的電壓方程為

（6.14）

式中,M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)相連,負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)相連。由于?I=?I1+?I2的關(guān)系,故式(6.14)也可寫(xiě)成

由式(6.15)可得圖6.14所示的去耦等效電路模型。M前的正、負(fù)號(hào),上面的對(duì)應(yīng)于同側(cè)相連,下面的對(duì)應(yīng)于異側(cè)相連。思考題

1.圖6.15中給出了有互感的兩個(gè)線圈的兩種連接方式,現(xiàn)測(cè)出等效電感LAC=16mH,LAD=24mH,試標(biāo)出線圈的同名端,并求出M。

2.兩線圈的自感分別為0.8H和0.7H,互感為0.5H,電阻不計(jì)。試求當(dāng)電源電壓一定時(shí),兩線圈反向串聯(lián)時(shí)的電流與順向串聯(lián)時(shí)的電流之比。

3.圖6.16所示電路中,已知L1=0.01H,L2=0.02H,M=0.01H,C=20μF,R1=5Ω,R2=10Ω,試分別確定當(dāng)兩個(gè)線圈順向串聯(lián)和反向串聯(lián)時(shí)電路的諧振角頻率ω0。

4.畫(huà)出圖6.17所示電路的去耦等效電路,并求出電路的輸入阻抗。6.4空芯變壓器

變壓器是利用互感來(lái)實(shí)現(xiàn)能量傳輸和信號(hào)傳遞的電器設(shè)備。它通常由兩個(gè)互感線圈組成,一個(gè)線圈與電源相連接,稱為初級(jí)線圈;另一個(gè)線圈與負(fù)載相連接,稱為次級(jí)線圈。

若變壓器互感線圈繞在非鐵磁性材料制成的芯子上,則該變壓器稱為空芯變壓器。圖6.18所示為空芯變壓器的電路模型。圖中R1、L1分別表示初級(jí)線圈的電阻和電

感,R2、L2分別表示次級(jí)線圈的電阻和電感,兩線圈的互感為M,以上均為變壓器的參數(shù)。RL、XL為負(fù)載阻抗的電阻和電抗。當(dāng)頻率不很高時(shí),一般可以忽略原、副線圈的匝間電容。

根據(jù)圖中所示的電流、電壓參考方向和線圈的同名端,應(yīng)用KVL可以列出如下各回路電壓方程:

(（6.16）

令

其中R22=R2+RL,X22=ωL2+XL,則

求解上述方程可得

由式(6.19)可以求出空芯變壓器的輸入阻抗為

其中

Z1f稱為次級(jí)回路反射到初級(jí)回路的反射阻抗。由此可知,雖然初級(jí)回路與次級(jí)回路沒(méi)有直接的電的連接,但由于互感作用使閉合的次級(jí)電路中產(chǎn)生了次級(jí)電流,該電流又影響了初級(jí)回路。從初級(jí)回路來(lái)看,次級(jí)回路的作用可以看作是在初級(jí)回路中增加了一個(gè)阻抗。將有關(guān)數(shù)值代入式(6.20),通過(guò)對(duì)其整理、合并可得

從式(6.22)中可看出,由兩個(gè)耦合回路組成的電路可用一個(gè)等效電路來(lái)代替它。將次級(jí)回路的影響反射到初級(jí)回路而得到的等效回路是初級(jí)等效電路,其等效電阻為等效電抗為

式(6.23)和式(6.24)中,稱為反射電阻,

稱為反射電抗。

由式(6.23)可知,等效電阻大于初級(jí)回路的電阻,這是因?yàn)榇渭?jí)回路要消耗能量而反射到了初級(jí)回路的緣故。從式(6.24)可以看出,若X22>0,即次級(jí)回路呈感性,則反射到初級(jí)回路的電抗為負(fù)值,即為容性;否則,若X22<0,即次級(jí)回路呈容性,則反射到初級(jí)回路的電抗為正值,說(shuō)明初級(jí)回路呈感性?？招咀儔浩鞯某跫?jí)等效電路如圖6.19所示。

可以根據(jù)式(6.16)作出空芯變壓器的相量圖。若以?I2為參考相量,并設(shè)XL>0(感性負(fù)載),可作出RL?I2、jXL?I2、R2?I2和jωL2?I2等各相量。這些相量的和由式(6.16)可知為jωM?I1,由此可定出相量?I1,

1,從而作出R1?I1、jωL1?I1,再作出相量-jωM?I2,這些相量的和就是電壓相量?U1,如圖6.20所示。電壓相量?U2為RL?I2和jXL?I2之和。例6.3圖6.18所示的空芯變壓器的參數(shù)為:R1=5Ω,ωL1=30Ω,R2=15Ω,ωL2=120Ω,ωM=50Ω,U1=10V,次級(jí)回路中接一純電阻負(fù)載RL=100Ω,XL=0。求負(fù)載端電壓及變壓器的效率。

解令?U1=10/0°V,將已知數(shù)值代入式(6.16),可得

從而可得

第7章非正弦周期電流電路

7.1非正弦周期量及其分解

7.2非正弦周期電流電路中的有

效值、平均值和平均功率

7.3非正弦周期電流電路的計(jì)算本章小結(jié)習(xí)題 7.1非正弦周期量及其分解

工程中比較常見(jiàn)的幾種非正弦周期量如圖7.1所示,圖(a)、(b)為脈沖電路中常遇到的尖脈沖和矩形脈沖信號(hào),圖(c)所示鋸齒波是實(shí)驗(yàn)室常用的示波器中掃描電壓所具有的波形。非正弦信號(hào)可分為周期性的和非周期性的兩種。上述波形雖然形狀各不相同,但變化規(guī)律都是周期性的。含有周期性非正弦信號(hào)的電路,稱為非正弦周期電流電路。本章僅討論線性非正弦周期電流電路。從高等數(shù)學(xué)中知道,凡是滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可分解為傅里葉級(jí)數(shù)。在電

工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件,因此都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T(mén),角頻率ω=2π/T,則其分解為傅里葉級(jí)數(shù)為用三角公式展開(kāi),式(7.1)還可以寫(xiě)成另外一種形式,即

上述兩式應(yīng)滿足下列關(guān)系:其中a0、ak、bk為傅里葉系數(shù),可按下列各式求得

可見(jiàn),將周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù),實(shí)質(zhì)上就是計(jì)算傅里葉系數(shù)a0、ak、bk。式(7.1)中A0是不隨時(shí)間變化的常數(shù),稱為f(t)的直流分量或恒定分量,它就是f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值;第二項(xiàng)A1msin(ωt+θ1),其周期或頻率與原周期函數(shù)f(t)的周期或頻率相同,稱為基波或一次諧波;其余各項(xiàng)的頻率為基波頻率的整數(shù)倍,分別為二次、三次、…、k次諧波,統(tǒng)稱為高次諧波,k為奇數(shù)的諧波稱為奇次諧波,k為偶數(shù)的諧波稱為偶次諧波。

例7.1求圖7.2所示矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)。

解圖示周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為

根據(jù)前述有關(guān)知識(shí)得

由此可知,該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為

以上介紹了用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)求解函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。工程上經(jīng)常采用查表的方法來(lái)獲得周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。電工技術(shù)中常見(jiàn)的幾種周期函數(shù)波形及其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式如表7.1所示。電工技術(shù)中常見(jiàn)的周期函數(shù)具有某種對(duì)稱性時(shí),其傅里葉級(jí)數(shù)中不含某些諧波。它們有一定的規(guī)律可循,掌握這些規(guī)律可使分解傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。

1.周期函數(shù)為奇函數(shù)

奇函數(shù)是f(t)=-f(-t)的函數(shù),其波形對(duì)稱于原點(diǎn),如表7.1中的三角波、梯形波、矩形波都是奇函數(shù)。可以證明奇函數(shù)的a0=0,ak=0,所以奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有正弦項(xiàng),不含直流分量和余弦項(xiàng),可表示為2.周期函數(shù)為偶函數(shù)

偶函數(shù)是f(t)=f(-t)的函數(shù),其波形對(duì)稱于縱軸,如表7.1中半波整流波、全波整流波均是偶函數(shù)。偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中bk=0,所以偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)。

3.奇諧波函數(shù)

圖7.3奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù)是指函數(shù)f(t)滿足f(t)=-f(t+T/2)的函數(shù),也就是說(shuō),將波形移動(dòng)半個(gè)周期后便與原波形對(duì)稱于橫軸,所以也叫鏡像函數(shù),如圖7.3所示,圖中虛線表示移動(dòng)后的波形。表7.1中,三角波、梯形波、鋸形波都是奇諧波函數(shù)。交流發(fā)電機(jī)所產(chǎn)生的電壓實(shí)際為非正弦周期性的電壓(一般為平頂波),也屬于奇諧波函數(shù)。

可以證明,奇諧波函數(shù)的傅里

葉展開(kāi)式中只含有奇次諧波,

而不含直流分量和偶次諧波,

可表示為函數(shù)對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)或縱軸,除與函數(shù)自身有關(guān)外,與計(jì)時(shí)起點(diǎn)也有關(guān)。而函數(shù)對(duì)稱于橫軸,只與函數(shù)本身有關(guān),與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。因此,對(duì)某些奇諧波函數(shù),合理地選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn),可使它又是奇函數(shù)或又是偶函數(shù),從而使函數(shù)的分解得以簡(jiǎn)化。如表7.1中的三角波、矩形波、梯形波,它們本身是奇諧波函數(shù),其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波,如表中選擇的計(jì)時(shí)起點(diǎn),則它們又是奇函數(shù),不含余弦項(xiàng),所以,這些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有奇次正弦項(xiàng)。

有些函數(shù),從表面來(lái)看,該函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù),如圖7.4(a)所示電壓u(t)。但如果對(duì)該函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖兓?就可能很容易地得到該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。如將圖

7.4(a)所示電壓可分解為圖7.4(b)、(c)所示電壓之和,即u(t)=u1(t)+u2(t)。根據(jù)例7.1的結(jié)果或查表7.1可得該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為例7.2試把表7.1中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級(jí)數(shù)(取至五次諧波)。

解電壓基波的角頻率為

選擇它為奇函數(shù),查表7.1可得

這一級(jí)數(shù)收斂很快,實(shí)際分析時(shí)只取前幾項(xiàng),計(jì)算結(jié)果就已經(jīng)滿足實(shí)際要求了。以上介紹了周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)的方法。工程中為了清晰地表示一個(gè)非正弦周期量所含各次諧波分量的大小和相位,通常采用頻譜圖的方法。所謂頻譜圖,就是用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小或相位大小成比例的線段按照諧波頻率的次序排列起來(lái)的圖形。這種方法可以很直觀地將各次諧波振幅、相位與頻率的關(guān)系表示出來(lái)。非正弦周期函數(shù)的頻譜是離散的。思考題

1.一個(gè)半波整流后的電流波,其振幅為300mA,頻率為50Hz,查表7.1,將它分解為傅里葉級(jí)數(shù)(精確到四次諧波)。

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇諧波函數(shù)各有什么異同點(diǎn)?

3.指出下列各函數(shù)的波形特征。4.下列各電流表達(dá)式都是非正弦周期電流嗎?7.2非正弦周期電流電路中的有效值、

平均值和平均功率

7.2.1有效值

在第4章中已經(jīng)定義過(guò),任何周期量的有效值等于它的方均根值。如周期電流i(t)的有效值I為

設(shè)某一非正弦周期電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)為將i(t)代入有效值定義式,得

將上式根號(hào)內(nèi)的平方項(xiàng)展開(kāi),展開(kāi)后的各項(xiàng)可分為兩種類型。一類為各次諧波的平方,其值為

另一類為兩個(gè)不同次諧波乘積的兩倍,即根據(jù)三角函數(shù)的正交性,上述函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零。

這樣可以求得非正弦周期電流i(t)的有效值為

同理,非正弦周期電壓u(t)的有效值為

應(yīng)當(dāng)注意的是,零次諧波的有效值為恒定分量的值,其它各次諧波有效值與最大值的關(guān)系是例7.3試求周期電壓u(t)=[100+70sin(100πt-70°)-40sin(300πt+15°)]V的有效值。

解u(t)的有效值為

7.2.2平均值

除有效值外,非正弦周期量有時(shí)還引用平均值。對(duì)于非正弦周期量的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中直流分量為零的交變量,平均值總為零。但為了便于測(cè)量和分析,一般定義周期量的

平均值為它的絕對(duì)值的平均值。設(shè)周期電流為i(t),則應(yīng)當(dāng)注意的是,一個(gè)周期內(nèi)其值有正、有負(fù)的周期量的平均值Iav與其直流分量I是不同的,只有一個(gè)周期內(nèi)其值均為正值的周期量,平均值才等于其直流分量。

例如,當(dāng)i(t)=Imsinωt時(shí),其平均值為

或

I=1.11Iav

同樣,周期電壓的平均值為

對(duì)周期量,有時(shí)還用波形因數(shù)Kf、波頂因數(shù)KA和畸變因數(shù)Kj來(lái)反映其性質(zhì):

式(7.6)中這兩個(gè)因數(shù)均大于1。一般情況下還有這樣的特點(diǎn):周期函數(shù)的波形越尖,則這兩個(gè)因數(shù)越大;波形越平,則因數(shù)越小。波形因數(shù)越大,則受同樣電壓有效值作用的電器越容易損壞,在某些場(chǎng)合下應(yīng)特別注意?；円驍?shù)是表達(dá)非正弦周期函數(shù)的波形與正弦波的差異的量,它等于基波的有效值與非正弦周期函數(shù)的有效值之比,即

對(duì)上例的正弦量

對(duì)于同一非正弦周期電流,當(dāng)我們用不同類型的儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí),往往會(huì)有不同的結(jié)果。如用磁電系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果為電流的恒定分量;用電磁系或電動(dòng)系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果將是電流的有效值;用全波整流磁電系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果將是電流的平均值,但標(biāo)尺按正弦量的有效值與整流平值的關(guān)系換算成有效值刻度,只有在測(cè)量正弦量時(shí)讀數(shù)為其實(shí)際有效值,而測(cè)量非正弦量時(shí)會(huì)有誤差。7.2.3平均功率

非正弦周期電流電路的平均功率仍可定義為

設(shè)某二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓u(t)、電流i(t)各為

式中,θuk、θik為k次諧波電壓、電流的初相。并設(shè)φk=θuk-θik,即k次諧波電壓超前于k次諧波電流的相位,所以

由于

因而

式中,Uk、Ik為k次諧波電壓、電流的有效值。注意到三角函數(shù)的正交性,不同次諧波電壓、電流的乘積,它們的平均值均為零。所以,平均功率為

上式說(shuō)明,只有同頻率的電壓和電流相互作用才產(chǎn)生平均功率,不同頻率的電壓和電流相互作用只產(chǎn)生瞬時(shí)功率而不產(chǎn)生平均功率?？偟钠骄β实扔诟鞔沃C波平均功率之和。

非正弦電流電路的無(wú)功功率則定義為各次諧波無(wú)功功率之和,即非正弦電流電路的視在功率則定義為

應(yīng)當(dāng)注意:視在功率不等于各次諧波視在功率之和。

在工程計(jì)算中,為了計(jì)算簡(jiǎn)便,往往采用等效正弦波替代原來(lái)的非正弦波。等效的條件是:等效正弦量的有效值為非正弦量的有效值,等效正弦量的頻率為基波的頻率,平均功率不變。由此可得

cosφ也稱非正弦電路的功率因數(shù),φ為等效正弦電壓與電流的相位差。例7.4已知某電路的電壓、電流分別為

求該電路的平均功率、無(wú)功功率和視在功率。

解平均功率為

無(wú)功功率為

視在功率為思考題

1.試求周期電流i(t)=0.2+0.8sin(ωt-15°)+0.3sin(2ωt+40°)A的有效值。

2.測(cè)量交流信號(hào)的有效值、整流平均值、直流分量應(yīng)分別選用何種測(cè)量機(jī)構(gòu)的儀表?

3.試分別求出半波整流波和全波整流波的波形因數(shù)、波頂因數(shù)和畸變因數(shù)。 7.3非正弦周期電流電路的計(jì)算

非正弦周期性電流電路的分析計(jì)算方法,主要是利用傅里葉級(jí)數(shù)將激勵(lì)信號(hào)分解成恒定分量和不同頻率的正弦量之和,然后分別計(jì)算恒定分量和各頻率正弦量單獨(dú)作用下電路

的響應(yīng),最后利用線性電路的疊加原理,就可以得到電路的實(shí)際響應(yīng)。這種分析電路的方法稱諧波分析法。其分析電路的一般步驟如下:

(1)將給定的非正弦激勵(lì)信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù),并根據(jù)計(jì)算精度要求,取有限項(xiàng)高次諧波。(2)分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng),計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對(duì)直流分量,電感元件等于短路,電容元件等于開(kāi)路。對(duì)各次諧波,

電路成為正弦交流電路。但應(yīng)當(dāng)注意,電感元件、電容元件對(duì)不同頻率的諧波有不同的電抗。如基波,感抗為XL1=ωL,容抗為XC1