灰色聚類方法的研究

灰色聚類方法的研究

傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是根據(jù)選定的傳輸方案，確定合適的優(yōu)化規(guī)模，選擇合適的設(shè)計(jì)變量，建立正確的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行必要的處理，將其轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。最后，使用優(yōu)化方法進(jìn)行求解。由于齒輪變速箱優(yōu)化設(shè)計(jì)屬多目標(biāo)優(yōu)化問題,而多目標(biāo)優(yōu)化問題的解法主要有兩類,一類是把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一系列簡單目標(biāo)求解,如平方加權(quán)法、功效系數(shù)法等;另一類是直接求出滿意解,但無論哪一類方法都只能求出滿意解。本文利用灰色系統(tǒng)理論的灰色聚類方法,在傳統(tǒng)優(yōu)化的基礎(chǔ)上,求出了鉆床齒輪變速箱優(yōu)化問題的最滿意解,與傳統(tǒng)的滿意解相比,問題得到了進(jìn)一步的優(yōu)化。1灰色聚類方法一個(gè)系統(tǒng)由許多因素組成,如果組成系統(tǒng)的因素明確,關(guān)系清楚,作用原理明了,這個(gè)系統(tǒng)是白色系統(tǒng)。如果系統(tǒng)信息完全缺乏,這樣的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)。如果系統(tǒng)只有部分信息已知,這樣的系統(tǒng)就是灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論利用關(guān)聯(lián)分析、灰色聚類、灰色建模等信息加工手段,尋求系統(tǒng)內(nèi)在的規(guī)律,用于預(yù)見系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顟B(tài),調(diào)控系統(tǒng)的發(fā)展速度,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)物質(zhì)和能量的優(yōu)化組合?；疑垲愂茄芯炕疑到y(tǒng)的一種分析、判斷方法,他是建立在灰數(shù)的白化函數(shù)生成的基礎(chǔ)上,將聚類對象對于不同的聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù),按幾個(gè)灰類歸納,以判斷該對象屬于哪一類。如在鉆床齒輪變速箱優(yōu)化設(shè)計(jì)中,變速箱就是灰類對象,而要進(jìn)行優(yōu)化的目標(biāo),如功率、齒輪重量、中心距、箱體軸向尺寸、齒輪節(jié)圓最大線速度、齒輪強(qiáng)度等,即為灰類指標(biāo)。用灰色聚類方法求多目標(biāo)優(yōu)化問題最滿意解的程序框圖如圖1所示。從圖1可以看出,用灰色聚類方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題,首先應(yīng)通過傳統(tǒng)優(yōu)化方法求出多目標(biāo)優(yōu)化問題的若干個(gè)滿意解,并用非線性方法求出理想解,然后通過灰色聚類求出最滿意解。2鉆床齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型圖2是一個(gè)有12級轉(zhuǎn)速的鉆床變速箱主傳動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速圖,其額定轉(zhuǎn)矩為196N·m,速度公比《=1.41。以該例討論其優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。2.1最小傳動(dòng)比的確定鉆床齒輪變速箱主傳動(dòng)系統(tǒng)包括3個(gè)變速組。一般情況下,同一變速組中的各個(gè)齒輪可取同一模數(shù)。由于3個(gè)變速組之間均有公用齒輪相聯(lián)系,所有14個(gè)齒輪只能取相同的模數(shù),所以取模數(shù)m作為設(shè)計(jì)變量之一。同一變速組的各級傳動(dòng)比ij成等比排列,速度公比《已知,因此只要知道ij中的任一個(gè),其他傳動(dòng)比均可求出。故取第一、二變速組的最小傳動(dòng)比i1和i5作為兩個(gè)設(shè)計(jì)變量。同一變速組各齒輪齒數(shù)zi都可以表示為最小主動(dòng)輪齒數(shù)與相應(yīng)傳動(dòng)比的函數(shù)。當(dāng)有公用齒輪時(shí),相鄰變速組中的齒輪齒數(shù)也可用前一組最小主動(dòng)齒輪的齒數(shù)表示,因此3個(gè)變速組中只有一個(gè)齒數(shù)是獨(dú)立的。故可取最小主動(dòng)齒輪的齒數(shù)z1作為設(shè)計(jì)變量。該主傳動(dòng)系統(tǒng)的4個(gè)設(shè)計(jì)變量寫成向量形式為:X=[z1?i1?i5?m]Τ2.2計(jì)目標(biāo)及輪齒強(qiáng)度在齒輪變速箱設(shè)計(jì)中,對于齒輪傳動(dòng)部分的要求是:在滿足給定的幾何條件及各項(xiàng)傳動(dòng)質(zhì)量指標(biāo)的前提下,使其傳遞功率最大,箱體體積最小,變速箱重量最輕等等。于是相應(yīng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)可表示如下。傳遞功率最大:min(-P)。齒輪體積或重量之和最小:min∑Vi或min∑Wi。中心距之和最小:min∑Ai。箱體軸向尺寸之和最小:min∑bi。齒輪節(jié)圓最大線速度最小:minvmax。輪齒的強(qiáng)度最好:minσF或minσH。其中:σF為齒根的彎曲應(yīng)力;σH為齒面的接觸應(yīng)力。假設(shè)要求鉆床變速箱主傳動(dòng)系統(tǒng)的體積最小和重量最輕,由于中心距是衡量這兩項(xiàng)指標(biāo)的綜合指標(biāo),故可取中心距之和作為目標(biāo)函數(shù)。由于變速箱有3個(gè)變速組,得:minf=3∑p=1Ap2.3傳動(dòng)比的約束齒輪變速箱優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件應(yīng)包括幾何約束和性能約束兩類。該鉆床變速箱主傳動(dòng)系統(tǒng)的約束條件共有8項(xiàng),具體闡述如下。a.最小齒數(shù)約束:zi-17≥0,i=1,2,…,14。取無量綱形式,則有zi17-1≥0?i=1?2???14。b.模數(shù)約束。變速箱中的齒輪模數(shù)常取1.75≤m≤3,因此模數(shù)的約束為4m7-1≥0和1-m3≥0。c.傳動(dòng)比約束。通用機(jī)床的傳動(dòng)比一般在0.25~2之間,因此其傳動(dòng)比的約束為4ij-1≥0和1-ij2≥0?j=1?2???8。d.齒輪節(jié)圓線速度約束。為了抑制振動(dòng),降低噪聲,齒輪節(jié)圓線速度v應(yīng)小于允許速度[v]。取[v]=12m/s,則此約束為1-vi12≥0?i=1?2???14。e.齒根圓直徑約束。為了保證輪轂有足夠的強(qiáng)度,齒根圓和鍵槽底平面之間的距離一般不應(yīng)小于2.5m,于是,此約束為(zi-2.5)md0i+2t1i+5m-1≥0?i=1?2???14式中:d0為軸孔直徑;t1為鍵槽深度。f.最大齒頂圓直徑約束。為了避免齒頂和相鄰軸或軸上零件相互干涉,其間隙不應(yīng)小于1mm。齒頂圓直徑的約束為:1-(zi+2)m2aq-dq-2≥0i=1?2???14式中:dq為相鄰軸或軸上零件的外徑;aq為與相鄰軸之間的中心距。g.齒面接觸強(qiáng)度約束。齒面接觸應(yīng)力σH應(yīng)不大于許用接觸應(yīng)力[σH],每對齒輪的約束為:1-2?140z1jm[σΗ](i+1)3Μ1jΚjiBj≥0j=1?2???7式中:M1為小齒輪的轉(zhuǎn)矩,N·m;K為載荷系數(shù);B為輪齒的接觸寬度,mm。h.齒根彎曲強(qiáng)度約束。齒根彎曲應(yīng)力σF應(yīng)不大于許用彎曲應(yīng)力[σF],故此約束為:1-2Μ1jΚjYjm2z1jBj[σF]j≥0j=1?2???14式中Y為齒形系數(shù)。3求聚類矩陣灰色聚類求多目標(biāo)優(yōu)化問題最滿意解通常按下列步驟進(jìn)行。a.求樣本矩陣(D)。設(shè)F1(x(1))λ,F2(x(2))λ,…,Fn(x(n))λ為求得n組滿意解,即F1(x(1))λ=[f1(x(1))λ?f2(x(1))λ???fm(x(1))λ]F2(x(2))λ=[f1(x(2))λ?f2(x(2))λ???fm(x(2))λ]?Fn(x(n))λ=[f1(x(n))λ?f2(x(n))λ???fm(x(n))λ]則樣本矩陣為D=[f1(x(1))λf2(x(1))λ?fm(x(1))λf1(x(2))λf2(x(2))λ?fm(x(2))λ????f1(x(n))λf2(x(n))λ?fm(x(n))λ]b.求轉(zhuǎn)換樣本矩陣,即象矩陣(d)。d=[d11d12?d1md21d22?d2m????dn1dn2?dnm]當(dāng)指標(biāo)要求“越大越好”時(shí),為dij=DijmaxiDij(i=1?2???n；j=1?2???m)當(dāng)指標(biāo)要求“越小越好”時(shí),為dij=miniDijDij(i=1?2???n；j=1?2???m)當(dāng)指標(biāo)要求“適度”時(shí),為dij=max(Dij?D0)min(Dij?D0)(i=1?2???n；j=1?2???m)c.求閾值及閾值矩陣(A)。A=[ρ1d(max)?ρ2d(mean)?ρ3d″(min)]。一般取ρ1=0.80,ρ2=1.0,ρ3=1.20。d(max)=maximaxjdijd(mean)=1mn∑i=1n∑j=1mdijd(min)=miniminjdij(dij≠0)d′(min)=miniminjdij(dij＞d(min))d″(min)=miniminjdij(dij＞d′(min))d.求標(biāo)定聚類權(quán)矩陣(η)。ηjk=λjk∑j=1mλjk(j=1?2???m)式中:λjk為fjk的閾值;fjk為第j個(gè)指標(biāo)對于第k個(gè)灰類的白化函數(shù)值。e.求聚類矩陣(σik)。σik=∑j=1mfjk(dij)ηjkσik為所有指標(biāo)的第i個(gè)聚類對象對于第k個(gè)灰類的灰色聚類權(quán)。f.求歸一化聚類矩陣(σc)。g.求W矩陣及最滿意解。W=σc×AΤ=(W1?W2???Wn)Τ式中:W1,W2,…,Wn分別對應(yīng)F1,F2,…,Fn的終合評分值,值最大者為最滿意解,且滿意解的優(yōu)劣可根據(jù)數(shù)值的大小進(jìn)行排列。4灰色聚類分析算法利用非線性方法求得的理想解為:F(x*)=[1.503?0.621?0.430?18.679]利用直接法求得的4個(gè)滿意解如下:F1=[2.457?0.518?0.320?20.761]F2=[2.031?0.615?0.452?21.234]F3=[1.750?0.416?0.331?20.671]F4=[1.846?0.396?0.374?21.402]利用灰色聚類方法求得:W=(0.543?2?0.597?8?0.679?4?0.615?6)因?yàn)閃3