醫(yī)用高等數學-線性代數基礎

醫(yī)用高等數學08-01-01第八章線性代數基礎醫(yī)用高等數學08-01-02最簡單的方程——一元一次方程ax=b(a

0)進一步演化為：（2）增加未知數及方程的個數?！€性方程組（1）提高未知數的冪次；——高次方程醫(yī)用高等數學08-01-03n

個未知數，m

個方程醫(yī)用高等數學08-01-04線性代數是處理有限維線性問題的代數分支。醫(yī)用高等數學08-01-05第一節(jié)行列式一、行列式的定義二、行列式的性質三、克拉默法則醫(yī)用高等數學08-01-06二元線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-07醫(yī)用高等數學08-01-08二階行列式主對角線

次對角線+

其中a11,a12,a21,a22

稱為行列式的元素，而上式的右端稱為行列式的展開式。醫(yī)用高等數學08-01-09對角線法則二階行列式等于它主對角線上兩元素的乘積減去次對角線上兩元素的乘積，這樣的運算法則稱為對角線法則。醫(yī)用高等數學08-01-10則二元線性方程組的解可記為醫(yī)用高等數學08-01-11二元線性方程組的解系數行列式二元線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-12未知數的系數組成的的二階行列式稱為上述方程組的系數行列式。例解線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-13三元線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-14醫(yī)用高等數學08-01-15三階行列式按第一行的展開式

余子式(cofactor)

在三階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的二階行列式，叫做元素aij的余子式，記作Mij，又記Aij=(1)i+jMij稱Aij為元素aij的代數余子式(algebraiccofactor)。醫(yī)用高等數學08-01-16

三階行列式等于它的第一行的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和，即D=a11A11+a12A12+a13A13醫(yī)用高等數學08-01-17例按第一行展開計算三階行列式醫(yī)用高等數學08-01-18主對角線

次對角線+_醫(yī)用高等數學08-01-19三階行列式的對角線法則+_醫(yī)用高等數學08-01-20三階行列式的對角線法則主對角線

次對角線例利用對角線法則計算三階行列式醫(yī)用高等數學08-01-21醫(yī)用高等數學08-01-22注對角線法則只適用于二階與三階行列式。課堂討論題當x取何值時，行列式醫(yī)用高等數學08-01-23n

階行列式(determinant)

用n2個元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號醫(yī)用高等數學08-01-24稱為n

階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，簡記為|aij|。余子式(cofactor)

在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n

1階行列式，叫做元素aij的余子式，記作Mij，又記Aij=(1)i+jMij稱Aij為元素aij的代數余子式(algebraiccofactor)。醫(yī)用高等數學08-01-25例求四階行列式中元素a12和a33的余子式和代數余子式。醫(yī)用高等數學08-01-26課堂討論題求下列行列式中元素2和

2的代數余子式。醫(yī)用高等數學08-01-27n

階行列式的歸納定義當n=2時D=a11a22

a12a21當n>2時，D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n醫(yī)用高等數學08-01-28例計算四階行列式醫(yī)用高等數學08-01-29轉置行列式

行列式D

的行列互換得到的行列式DT

稱為原行列式的轉置行列式。醫(yī)用高等數學08-01-30記性質1

將行列式轉置，行列式的值不變，即DT=D。醫(yī)用高等數學08-01-31注行列式的所有性質凡是對行成立的，對列也同樣成立。即行列式中行與列具有同等的地位。因此，以下各性質的敘述僅涉及行。醫(yī)用高等數學08-01-32性質2

交換行列式的任意兩行，行列式的值變號。即醫(yī)用高等數學08-01-33性質3

如果行列式中有兩行元素對應相等，則此行列式的值為零。醫(yī)用高等數學08-01-34性質4

行列式的某行各元素都乘以常數k，等于將行列式乘以k

。醫(yī)用高等數學08-01-35推論1

如果行列式中某行各元素都是零，那么這個行列式的值等于零。醫(yī)用高等數學08-01-36推論2

如果行列式中有兩行的對應元素成比例，則此行列式的值為零。醫(yī)用高等數學08-01-37推論3

如果行列式中某行的所有元素有公因子，則公因子可以提取到行列式的外面。醫(yī)用高等數學08-01-38性質5

如果行列式中某行的各元素都可以表示成兩項之和，則此行列式可以寫成兩個行列式的和。即有醫(yī)用高等數學08-01-39推論如果行列式中某行各元素都可以表示成m（m

為大于2的整數）項之和，則此行列式可以寫成m

個行列式的和。醫(yī)用高等數學08-01-40性質6

將行列式中某行各元素乘以同一常數后加到另一行對應元素上，行列式的值不變。醫(yī)用高等數學08-01-41性質7

行列式D

等于它任何一行各個元素與它們相應的代數余子式乘積的和。即醫(yī)用高等數學08-01-42D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)

上三角行列式

若在主對角線以下的元素都為零，則稱這樣的行列式為上三角行列式。醫(yī)用高等數學08-01-43下三角行列式

若在主對角線以上的元素都為零，則稱這樣的行列式為下三角行列式。醫(yī)用高等數學08-01-44定理上三角行列式等于主對角線上各元素的乘積。即醫(yī)用高等數學08-01-45定理

下三角行列式等于主對角線上各元素的乘積。即醫(yī)用高等數學08-01-46

通常，用ri

rj

表示第i行與第j行互換；用kri表示將第i

行的元素乘以k；用+kri

rj表示將第i

行的元素乘以k

加到第j

行的對應元素上。醫(yī)用高等數學08-01-47

如果化簡步驟是對列進行的，上述的表示法中的字母r

換成c。例計算下列行列式的值。醫(yī)用高等數學08-01-48例計算下列行列式的值。醫(yī)用高等數學08-01-49例計算下列行列式的值。醫(yī)用高等數學08-01-50課堂討論題計算下列行列式的值。醫(yī)用高等數學08-01-51課堂討論：求方程的根二元線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-52三元線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-53

考慮含有n個未知數，n個線性方程的方程組解的情況。醫(yī)用高等數學08-01-54克拉默法則

如果線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-55的系數行列式D

不等于零，即醫(yī)用高等數學08-01-56則，方程組有唯一解

其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數行列式D

中第j列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的n階行列式。即醫(yī)用高等數學08-01-57j

列例用克蘭姆法則解下列方程組醫(yī)用高等數學08-01-58注（1）克拉默法則只有在D0時才能應用。

（2）克拉默法則有重大的理論價值。醫(yī)用高等數學08-01-63課堂討論題討論當為何值時，線性方程組有唯一解，并求其解齊次方程組線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-64右端的常數項全為零時，稱為齊次方程組。非齊次方程組

線性方程組醫(yī)用高等數學08-01-65右端的常數項b1,b2,…,bn不全為零時，稱為非齊次方程組。對齊次線性方程組xi=0(i=1,2,…,n)一定是它的解，這個解叫做齊次方程組的零解。如果有一組不全為零的解是齊次方程組的解，則它叫做齊次方程組的非零解。醫(yī)用高等數學