2022年陜西省西安交通大學少年班自主招生數(shù)學試題及答案

2022年西安交通大學少年班數(shù)學試題1.已知，則的值為______.

2.已知點，為軸上的一動點，為切線，已知圓半徑為1，則的最小值為______.3.，為該方程兩根.則的值為______.4.已知矩形,.為上一動點沿翻折，當為直角三角形時，則的周長為______.5.點有一個無人機，一個人在點觀測，離點45處點有一棟建筑物高，無人機水平向右以的速度飛行．（1）無人機的高度為___________．

（2）無人機離開視線的時間為___________．6.為等邊三角形，分別為邊的中點，為上任意一點，線段交于，線段交于，，求的面積．7.如圖，內(nèi)接于，，為直徑，與相交于點，過作，垂足為，延長交的延長線于點，連接．

（1）證明：與圓相切；

（2）若，求的值；

（3）在（2）的條件下，若圓的半徑為4，，求的長.8.已知函數(shù)．

（1）證明：函數(shù)與軸恒有交點；

（2）證明：無論為何值，函數(shù)必過一定點；

（3）設(shè)函數(shù)圖像和軸交點為，頂點為．若，將函數(shù)沿方向平移，和一定點與原頂點所連線段有交點，求平移后頂點橫坐標的范圍．9.某大學生創(chuàng)業(yè)，購進共300件，設(shè)的件數(shù)．的單價比的單價多6元．設(shè)，的總售價分別為函數(shù)．

與銷售件數(shù)之間是一次函數(shù)的關(guān)系，如下表：與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）直接寫出與的函數(shù)關(guān)系；（2）設(shè)銷售兩種商品所獲利總利潤為元，求與之間的函數(shù)解析式；

（3）大學生引進的300件商品全部售完，共獲利350元，他計劃每件商品捐給學?；鸱謩e捐元，元,捐款數(shù)恰好為總成本的，求的值．10.對于大于1的奇數(shù),將其平方后拆分成2個相鄰的整數(shù),這三個數(shù)為勾股數(shù)．

如：；；；對于大于2的偶數(shù)，將其除以2再平方，將平方所得數(shù)分別加減1，這三個數(shù)為勾股數(shù)，如．

則以這種方法，12所得的勾股數(shù)中最大的數(shù)為__________．11.證明：對于任意實數(shù)，求證：．12．證明：2022年西安交通大學少年班數(shù)學試題參考答案1、72、3、364、或65、（1）米（2）秒6、7、（1）弦切角；（2）；（3）8、（1）；（2）前系數(shù)為0的點9、（1）10、3711、（1）設(shè)當時，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，有同理，對于上式也成立.12、證明：此題可以利用等式，然后對的取值情況分類討論證出，這里，我們通過構(gòu)造輔助函數(shù)來處理.作輔助函數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：對任意，均有這表明