數(shù)學(xué)史 第七章 巨人的杰作-微積分的創(chuàng)立

巨人的杰作——微積分的創(chuàng)立7.3科學(xué)巨人——牛頓7.4多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨第七章7.3科學(xué)巨人——牛頓牛頓

IsaacNewton

數(shù)學(xué)家物理學(xué)家天文學(xué)家自然哲學(xué)家英國皇家學(xué)會會員welcometousethesePowerPointtemplates,NewContentdesign,10yearsexperience艾薩克·牛頓簡介艾薩克·牛頓（1642--1727）出生于英格蘭林肯郡的一個(gè)小鎮(zhèn)烏爾斯索普。他出生之前，他的父親就已去世。在牛頓3歲時(shí)，他的母親改嫁給一個(gè)牧師，把牛頓托付給了他的祖母撫養(yǎng)。8年后，牧師病故，牛頓的母親又回到了烏爾斯索普。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強(qiáng)，這種習(xí)性可能來自他的家庭環(huán)境。1655年（12歲）進(jìn)入格蘭瑟姆中學(xué)學(xué)習(xí)。他酷愛讀書，喜歡沉思，經(jīng)常做一些小實(shí)驗(yàn)、小工具、小發(fā)明等。對自然科學(xué)產(chǎn)生了好奇心，還會分門別類的記讀書筆記。welcometousethesePowerPointtemplates,NewContentdesign,10yearsexperience艾薩克·牛頓簡介1661年以減費(fèi)生進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)。1664年成為獎(jiǎng)學(xué)金獲得者，1665獲學(xué)士學(xué)位。但是17世紀(jì)中葉，劍橋大學(xué)的教育制度還透著濃厚的中世紀(jì)哲學(xué)氣味，課程都是經(jīng)院式的，如邏輯、古文、語法、古代史、神學(xué)等。兩年之后學(xué)院出現(xiàn)了新氣象。盧卡斯創(chuàng)設(shè)了一個(gè)獨(dú)辟蹊徑的講座，講授自然科學(xué)知識，如地理、物理、天文和數(shù)學(xué)課程。講座的第一任教授就是巴羅。在巴羅的指導(dǎo)下，牛頓掌握了算數(shù)、三角等知識，閱讀了大量的自然科學(xué)類書籍。牛頓歐幾里得《幾何原本》開普勒《光學(xué)》迪卡兒《幾何學(xué)》《哲學(xué)原理》伽利略《關(guān)于托勒密與哥白尼兩大世界體系的對話》、胡可《顯微圖集》沃利斯《無窮算術(shù)》如果說我比別人看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟稀?/p>

——牛頓艾薩克·牛頓簡介1665年（22歲)初他創(chuàng)立了級數(shù)近似法以及把任何冪的二項(xiàng)式化為一個(gè)級數(shù)的規(guī)則(二項(xiàng)式定理)。1665年8月劍橋大學(xué)因溫疫流行而停課放假，牛頓回到家鄉(xiāng)躲避，一直到1667年10月重返劍橋大學(xué)。這期間牛頓思考了自然科學(xué)領(lǐng)域中的一些前人從未思考過的問題，踏入前人沒有涉足的領(lǐng)域，創(chuàng)建前所未有的驚人業(yè)績。1665年11月，創(chuàng)立了正流數(shù)法(微分)，1666年1月研究顏色理論，5月開始研究反流數(shù)法(積分)，這一年內(nèi)又開始研究重力問題，并試圖把重力理論推廣到月球的運(yùn)行軌道上去，他還從開普勒定律中推導(dǎo)出使行星保持在它們軌道上的力必定與它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離平方成反比。艾薩克·牛頓簡介在此期間還發(fā)生了一件軼事，那就是歷史上最著名的一個(gè)蘋果落下來，砸在牛頓的頭上。恰巧在那天，牛頓正苦苦思索著一個(gè)問題：是什么力量使月球保持在環(huán)繞地球運(yùn)行的軌道上，以及使行星保持在其環(huán)繞太陽運(yùn)行的軌道上？為什么這只打中他腦袋的蘋果會墜落到地上？正是從思考這一問題開始，他找到了這些的答案——萬有引力理論。劍橋大學(xué)三一學(xué)院牛頓的蘋果樹艾薩克·牛頓簡介由于牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書用的是歐幾里德幾何學(xué)的表述方式，它是一個(gè)嚴(yán)密的、完美的體系，書中沒有敘述蘋果落地的故事，致使許多人對蘋果落地一說持保留意見。但是牛頓的親戚和朋友多次證實(shí)蘋果落地的故事。不管故事是否是真，總之，牛頓在家鄉(xiāng)的這兩年是牛頓科學(xué)生涯的黃金歲月，他一生中的許多重大科學(xué)思想和創(chuàng)造都是在這短短的兩年期間孕育、萌發(fā)和形成的。艾薩克·牛頓簡介1668年3月16日選為劍橋三一學(xué)院正院侶，巴羅對牛頓的才能非常賞識，1669年10月27日巴羅便讓年僅26歲的牛頓接替他擔(dān)任盧卡斯講座的教授。1672年成為皇家學(xué)會會員。隨著科學(xué)聲譽(yù)的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。1689年，他被當(dāng)選為國會中的大學(xué)代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠(yuǎn)給他帶來巨大成就的科學(xué)。他把大量的時(shí)間花費(fèi)在了和同時(shí)代的著名科學(xué)家如胡克、萊布尼茲等進(jìn)行科學(xué)優(yōu)先權(quán)的爭論上。艾薩克·牛頓簡介1696年擔(dān)任造幣廠監(jiān)督，1699年升任廠長。1701年辭去劍橋大學(xué)工作，當(dāng)時(shí)英國幣制混亂，牛頓運(yùn)用他的治金知識，制造新幣。1703年被選為皇家學(xué)會主席直到逝世。在他任職的二十四年時(shí)間里，他以鐵拳統(tǒng)治著學(xué)會。1705年受封為爵士。晚年的牛頓開始致力于對神學(xué)的研究，他否定哲學(xué)的指導(dǎo)作用，虔誠地相信上帝，埋頭于寫以神學(xué)為題材的著作，如《圣經(jīng)里兩大錯(cuò)訛的歷史考證》。提出了“神的第一推動(dòng)力”的理論。他說“上帝統(tǒng)治萬物，我們是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。1727年3月31日在倫敦郊區(qū)肯辛頓寓中逝世(84歲)，以國葬禮葬于倫敦西敏寺(后更名為威斯敏斯特教堂)。威斯敏斯特教堂西敏寺(威斯敏斯特圣彼得學(xué)院教堂)九百多年來，除了供信徒作禮拜、祈禱、膜拜之外，也是英國慶典的重要場所。英國的社會名流無不以死后能安葬于此為榮耀。據(jù)統(tǒng)計(jì)占地面積達(dá)2972平方米的西敏寺內(nèi)，安葬了共三千三百多人，包括很多的知名人士，如：達(dá)爾文、狄更斯、牛頓、丘吉爾等。無數(shù)在英國有著深遠(yuǎn)影響的歷史人物都安息在西敏寺中，也有許多名人，本身并沒葬在這里，卻有寫上其名字的石板子嵌在地上作為紀(jì)念。而里頭最著名的便是牛頓，他是人類歷史上第一個(gè)獲得國葬的自然科學(xué)家。艾薩克·牛頓簡介牛頓墓碑銘文：此地安葬的是艾撒克·牛頓勛爵，他用近乎神圣的心智和獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)原則，探索出行星的運(yùn)動(dòng)和形狀、彗星的軌跡、海洋的潮汐、光線的不同譜調(diào)和由此而產(chǎn)生的其他學(xué)者以前所未能想像到的顏色的特性。以他在研究自然、古物和圣經(jīng)中的勤奮、聰明和虔誠，他依據(jù)自己的哲學(xué)證明了至尊上帝的萬能，并以其個(gè)人的方式表述了福音書的簡明至理。人們?yōu)榇诵老玻喝祟悮v史上曾出現(xiàn)如此輝煌的榮耀。他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。詩人亞歷山大·波普(AlexanderPope）也為牛頓寫下了以下這段墓志銘：NatureandNature'lawlayhidinnight;Godsaid,"LetNewtonbe,"andallwaslight.自然與自然的定律，都隱藏在黑暗之中；上帝說"讓牛頓來吧！"于是，一切變?yōu)楣饷?。主要貢獻(xiàn)微積分的創(chuàng)立二項(xiàng)式定理主要貢獻(xiàn)運(yùn)動(dòng)的三個(gè)基本定律（牛頓三定律）：光學(xué)、哲學(xué)、天文學(xué)數(shù)學(xué)其他方面微積分的創(chuàng)立二項(xiàng)式定理微積分的創(chuàng)立牛頓關(guān)于微積分問題的研究起始于1664年，當(dāng)時(shí)笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對他的影響最大。他對笛卡爾求曲線切線的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣并試圖尋找更好、跟一般的方法。

1666年10月他寫的第一篇關(guān)于微積分的論文《論數(shù)短論》，其中首次提出了流數(shù)的概念，所謂流數(shù)就是速度，在變速運(yùn)動(dòng)中速度是路程對事件的微商，至于速度的變化狀況就要用速度的微商來反映，即加速度是速度的微商。

1669年，牛頓完成關(guān)于微積分的第二篇論文《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析法》在這篇論文中，牛頓假定一條曲線和在該曲線下的面積。并給出了求一個(gè)變量對于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的一般方法，而且還證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。這一事實(shí)實(shí)際上已經(jīng)初步給出了微積分基本定理。不過也可以看出，牛頓回避了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)而將無限小增量“瞬”看作是靜止的無限小量，并在某些情況下直接令其為0，這就帶有了濃厚的不可分量的色彩。1671年牛頓關(guān)于微積分的第3篇論著《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》完成（1736年出版）。在這部著作中，他恢復(fù)了在《論數(shù)短論》中采用的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，對以物體運(yùn)動(dòng)為背景提出的流數(shù)概念作了進(jìn)一步的論述，并清楚地陳述了流數(shù)術(shù)所提出的中心問題是：1.已知流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系（即微分法）；2.已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系（即積分法）。1676年牛頓完成了《曲線求積論》(1704年發(fā)表)，這是他關(guān)于微積分最成熟的一部論著。這篇論文中，他改變了過去那種“略去所有含瞬的項(xiàng)”的做法，認(rèn)為“數(shù)的量不是有非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述的”為此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)的最后比。這相當(dāng)于求一個(gè)函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限。另外這篇論文中，他以清晰的形式敘述了微積分的基本定理，并系統(tǒng)地引進(jìn)了他所創(chuàng)造的獨(dú)特的記法和概念。如：“變量”稱為“流”；“變量的變化率”稱為“流數(shù)”。若x、y為流，則他們的流數(shù)是、牛頓微積分學(xué)說最早公開表述是在1687年出版的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》.這本書還是在他的朋友哈雷(E.Halley，1656—1742)的鼓勵(lì)和督促下完成并由其出資發(fā)表，這也是他一生主要工作的總結(jié)。著名的牛頓力學(xué)三定律、萬有引力定律及牛頓的微積分成果都載于此書．它成為科學(xué)史上的一個(gè)里程碑，對整個(gè)歐洲產(chǎn)生了巨大影響．二項(xiàng)式定理1665年，22歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。二項(xiàng)式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應(yīng)用。

二項(xiàng)式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發(fā)覺這個(gè)方法只適用于n是正整數(shù)，當(dāng)n是正整數(shù)1，2，3，.......，級數(shù)終止在正好是n+1項(xiàng)。如果n不是正整數(shù)，級數(shù)就不會終止，這個(gè)方法就不適用了。但是我們要知道那時(shí)，萊布尼茨在1694年才引進(jìn)函數(shù)這個(gè)詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時(shí)用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。運(yùn)動(dòng)的三個(gè)基本定律（牛頓三定律）牛頓第一定律（慣性定律）：

任何一個(gè)物體在不受任何外力或受到的力平衡時(shí)（合外力為0時(shí)），總保持勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止?fàn)顟B(tài)，直到有作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態(tài)為止。牛頓第二定律：

物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比,跟物體的質(zhì)量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。

F=am牛頓第三定律：

兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力,在同一條直線上,大小相等,方向相反。

F=-F光學(xué)

牛頓曾致力于顏色的現(xiàn)象和光的本性的研究。1666年，他用三棱鏡研究日光，得出結(jié)論：白光是由不同顏色（即不同波長）的光混合而成的，不同波長的光有不同的折射率。在可見光中，紅光波長最長，折射率最??；紫光波長最短，折射率最大。牛頓的這一重要發(fā)現(xiàn)成為光譜分析的基礎(chǔ)，揭示了光色的秘密。牛頓還曾把一個(gè)磨得很精、曲率半徑較大的凸透鏡的凸面，壓在一個(gè)十分光潔的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接觸點(diǎn)是一個(gè)暗點(diǎn)，周圍則是明暗相間的同心圓圈。后人把這一現(xiàn)象稱為“牛頓環(huán)”。他創(chuàng)立了光的“微粒說”，從一個(gè)側(cè)面反映了光的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，但牛頓對光的“波動(dòng)說”并不持反對態(tài)度。1704年，他出版了《光學(xué)》一書，系統(tǒng)闡述他在光學(xué)方面的研究成果。天文學(xué)

牛頓1672年創(chuàng)制了反射望遠(yuǎn)鏡。他用質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力證明，密度呈球?qū)ΨQ的球體對外的引力都可以用同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)放在中心的位置來代替。他還用萬有引力原理說明潮汐的各種現(xiàn)象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有關(guān)，而且同太陽的方位有關(guān)。牛頓預(yù)言地球不是正球體。歲差就是由于太陽對赤道突出部分的攝動(dòng)造成的。哲學(xué)

牛頓的哲學(xué)思想基本屬于自發(fā)的唯物主義，他承認(rèn)時(shí)間、空間的客觀存在。如同歷史上一切偉大人物一樣，牛頓雖然對人類作出了巨大的貢獻(xiàn)，但他也不能不受時(shí)代的限制。他把時(shí)間、空間看作是同運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)相脫離的東西，提出了所謂絕對時(shí)間和絕對空間的概念；他對那些暫時(shí)無法解釋的自然現(xiàn)象歸結(jié)為上帝的安排，提出一切行星都是在某種外來的“第一推動(dòng)力”作用下才開始運(yùn)動(dòng)的說法。

1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其（通過解方程）在解決各類問題中的應(yīng)用。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運(yùn)算，用大量實(shí)例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程，同時(shí)對方程的根及其性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如：他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。

牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻(xiàn)。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計(jì)算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。其他數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)人門對牛頓的評價(jià)伏爾泰曾說過牛頓是最偉大的人，因?yàn)椤八谜胬淼牧α拷y(tǒng)治我們的頭腦，而不是用武力奴役我們”。萊布尼茨并不是牛頓的朋友，他們之間曾因微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)有過非常激烈的爭論。但他寫道：從世界的開始直到牛頓生活的時(shí)代為止，對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)絕大部分是牛頓做出的。偉大的法國科學(xué)家拉普拉斯寫到：《原理》是人類智慧的產(chǎn)物中最卓越的杰作。拉格朗日曾說：牛頓是有史以來最偉大的天才，也是最幸運(yùn)的人——因?yàn)檫@個(gè)宇宙體系只能被發(fā)現(xiàn)一次。人門對牛頓的評價(jià)美國學(xué)者麥克·哈特的《影響人類歷史進(jìn)程的100名人排行榜》，牛頓名列第2位，書中指出：在牛頓誕生后的數(shù)百年里，人們的生活方式發(fā)現(xiàn)了翻天覆地的變化，而這些變化大都是基于牛頓的理論和發(fā)現(xiàn)。2003年，英國廣播公司在一次全球性的評選最偉大的英國人活動(dòng)當(dāng)中，牛頓被評為最偉大的英國人之首。在《偉大的英國人》系列紀(jì)錄片中專門編輯了牛頓專集的歷史學(xué)家特里斯特拉姆·亨特表示：“全球的公眾意識到牛頓的成就是世界性的，而且對全人類都產(chǎn)生影響。這些投票者顯然都跨越了國界，他對于牛頓的一馬當(dāng)先感到高興。”由此可見，不管牛頓的生平有過多少謎團(tuán)和爭議，但這都不足以降低牛頓的影響力。7.4多才多藝的數(shù)學(xué)大師萊布尼茨戈特弗里德·威廉·萊布尼茨GottfriedWilhelmLeibniz（1646-1716）

17、18世紀(jì)之交德國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家,一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才.他博覽群書，涉獵百科,對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn).

多才多藝的大師數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、邏輯學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、神學(xué)、歷史、外交等萊布尼茨簡介

1646年7月1日，萊布尼茨出生于德國東部萊比錫的一個(gè)書香之家，父親是大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親也出身于教授家庭。父母親自做他的啟蒙教師，耳濡目染使萊布尼茨從小就十分好學(xué)，并有很高的天賦，幼年時(shí)就對詩歌和歷史有著濃厚的興趣。不幸的是，父親在他6歲時(shí)去世，卻給他留下了豐富藏書，知書達(dá)理的母親擔(dān)負(fù)起了兒子的幼年教育。萊布尼茨因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學(xué)者的著作，由此而獲得了堅(jiān)實(shí)的文化功底和明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)。

萊布尼茨簡介

1654年(8歲)，萊布尼茨進(jìn)入尼古拉學(xué)校，開始學(xué)習(xí)拉丁文、希臘文、修辭學(xué)、算術(shù)、邏輯、音樂以及《圣經(jīng)》、路德教義等。

1661年，15歲的萊布尼茨進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，一進(jìn)校便跟上了大學(xué)二年級標(biāo)準(zhǔn)的人文學(xué)科的課程，他還抓緊時(shí)間學(xué)習(xí)哲學(xué)和科學(xué)。

1663年5月，他以《論個(gè)體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位。這期間他還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略等人的著作，并對他們的著述進(jìn)行深入的思考和評價(jià)。在聽了教授講歐幾里得《幾何原本》的課程后，萊布尼茨對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。萊布尼茨簡介

1664年1月，萊布尼茨完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。

1665年，他向萊比錫大學(xué)提交了博士論文《論身份》，1666年，審查委員會以他太年輕（年僅20歲）而拒絕授予他法學(xué)博士學(xué)位，他對此很氣憤，于是離開萊比錫，前往阿爾特多夫大學(xué)，并向?qū)W校提交了早已準(zhǔn)備好的那篇博士論文，1667年2月，阿爾特多夫大學(xué)