數(shù)字圖像處理 第三章圖像變換

第三章圖像變換什么是圖像變換？圖像變換：圖像變換是將圖像從空間域變換到其他域的數(shù)學(xué)變換。這種變換方法針對于數(shù)學(xué)函數(shù)而言。

空間域：研究對象是空間坐標(biāo)函數(shù)

I=f（x，y）頻率域：研究對象是頻率函數(shù)

I=f（w）圖像變換的目的目的：簡化圖像處理問題有利于圖像特征提取有助于對圖像信息概念的理解0頻率空間低頻率空間高頻率空間圖頻率與空間的對應(yīng)常用的幾種圖像變換常用的變換方式為二維正交可逆變換。正交變換特點是變換域中圖像能量主要集中分布在低頻率成分上，邊緣、線信息反映在高頻成分上。常用變換算法：傅立葉變換沃爾什-哈達(dá)瑪變換哈爾變換離散余弦變換小波變換

……附：正交變換連續(xù)函數(shù)集合的正交性正交變換正交函數(shù)的離散情況正交變換一維正交變換主要內(nèi)容預(yù)備知識傅立葉變換其他可分離圖像變換3.1預(yù)備知識

3.1.1單位脈沖函數(shù)圖像可以看成由多個像素組成，每個像素可以看成為一個點源。點源可用狄拉克函數(shù)表示，即單位脈沖函數(shù)滿足yxδ(x，y)單位脈沖函數(shù)性質(zhì)偶函數(shù)；位移性；可分性；采樣性3.1.2線性位移不變系統(tǒng)系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：對于某特定系統(tǒng)，有

x1(t)y1(t)

x2(t)y2(t)該系統(tǒng)是線性的當(dāng)且僅當(dāng)：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)線性條件從而有：a×x1(t)a×y1(t)

齊次性條件系統(tǒng)x(t)輸入y(t)輸出線性位移不變系統(tǒng)二維線性系統(tǒng)綜合線性系統(tǒng)的線性條件和齊次性條件，二維線性系統(tǒng)表示為T[a1f1(x，y)+a2f2(x，y)]=a1T[f1(x，y)]+a2T[f2(x，y)]二維線性平移不變系統(tǒng)

平移不變性：若點脈沖函數(shù)δ(x，y)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(x，y)，則當(dāng)輸入信號沿時間軸平移，有：

δ(x–α,y-β)h(x–α,y-β)線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積

g(x，y)=f(x，y)*h(x，y)3.2傅立葉變換傅立葉變換:周期函數(shù)可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式非周期函數(shù)可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示傅里葉變化域—頻域一維連續(xù)傅立葉變換一維連續(xù)傅立葉變換 設(shè)函數(shù)f(x)為實變量的連續(xù)函數(shù)，則其傅立葉變換定義為

其逆變換為 一維連續(xù)傅立葉變換歐拉公式傅立葉變換中的變量u通常稱為頻率變量，源于歐拉公式中的指數(shù)項

exp[-j2

ux]=cos2

ux-jsin2

ux

如果把傅立葉變換的積分解釋為離散項的和，易推出F(u)是一組sin和cos函數(shù)項的無限和，其中頻率變量u的每個值決定了其相應(yīng)cos,sin函數(shù)對的頻率。一維連續(xù)傅立葉變換函數(shù)f(x)的傅立葉變換后一般是一個復(fù)量，它可以用下式表示：復(fù)數(shù)形式振幅相位能量二維連續(xù)傅立葉變換二維連續(xù)傅立葉變換：如果二維函數(shù)f(x,y)連續(xù)可積，F(xiàn)(u,v)可積,則將有下面的傅立葉變換對存在：二維傅立葉變換的傅立葉譜和相位譜為：3.2.2離散傅立葉變換離散傅立葉變換：由于實際問題的時間或空間函數(shù)的區(qū)間是有限的，或者是頻譜有截止頻率離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform－簡稱DFT)在數(shù)字信號處理和數(shù)字圖像處理中應(yīng)用十分廣泛，它建立了離散時域和離散頻域之間的聯(lián)系一維離散傅立葉變換一維離散傅立葉變換x=0,1,…,N-1u=0,1,…,N-1離散傅里葉變換滿足正交條件

的原信號序列的傅氏變換

對前述N＝4情況，設(shè)每一個矩陣元表示成二維離散傅立葉變換二維傅立葉變換：傅立葉譜譜顯示特性傅里葉譜顯示特性中心位移：將傅里葉譜原點移到窗口中心。由于實際變換結(jié)果左上、下和右上、下四個角對應(yīng)低頻成分，中央部分對應(yīng)高頻成分。為適應(yīng)人的視覺習(xí)慣，需要通過換位方法，將中央和四周位置互換。顯示理解：中間低頻，周圍高頻對數(shù)顯示：減緩衰減速度，便于理解，通常采用lg(1+|F(u,v)|)對數(shù)顯示，圖像中心化（a）原圖像（b)傅里葉變換后圖像（c）中心化后圖像（d）對數(shù)顯示圖像典型圖像的傅立葉變換實際圖像的傅立葉變換圖(a)的圖像反差比較柔和，反映在傅里葉頻譜上低頻分量較多，頻譜圖中心值較大（中心為頻域原點）。圖(b)的圖像中有較規(guī)則的線狀物，反映在傅里葉頻譜上也有比較明顯的射線狀條帶。

(a)(b)3.2.3傅立葉變換性質(zhì)二維離散傅立葉變換特性變換可分離性比例性質(zhì)對稱性旋轉(zhuǎn)不變性卷積線性空間和頻率位移周期與共軛對稱均值性相關(guān)傅立葉變換性質(zhì)1、周期與共軛對稱傅立葉變換性質(zhì)周期性M,N為變換周期共軛對稱：傅立葉變換結(jié)果是以原點為中心的共軛對稱函數(shù)傅立葉變換性質(zhì)2、可分離性二維離散傅立葉變換DFT可分離性的基本思想是：

二維DFT可分離為兩次一維DFT應(yīng)用：

二維快速傅立葉算法FFT，是通過計算兩次一維FFT實現(xiàn)的傅立葉變換性質(zhì)先對列做變換：然后對行進(jìn)行變換：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv平移性幅度譜相位譜幅度譜不變，相位譜改變傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)3、平移性

當(dāng)u0=M/2,v0=N/2傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)4、旋轉(zhuǎn)特性如果f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個角度，那么f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖象的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度。傅立葉變換性質(zhì)5、分配律傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)6、尺度變換對于系數(shù)a和b時域擴(kuò)展引起頻域的壓縮，反之亦然512x512FFT256x256FFTaf(x,y)放大圖像尺寸放大圖像比例放大512x512FFT512x512FFTf（ax,by）比例放大FFT頻域壓縮傅立葉變換性質(zhì)7、均值性離散函數(shù)的均值等于該函數(shù)傅立葉變換在(0,0)點的值傅立葉變換性質(zhì)8、離散卷積定理空域中的卷積等價于頻域中的相乘，反之亦然傅立葉變換性質(zhì)9、離散相關(guān)定理空域中的函數(shù)f(x,y