湖北省宜荊荊恩2024屆高三9月起點聯(lián)考數(shù)學試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖北省宜荊荊恩2024屆高三9月起點聯(lián)考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知a為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．2．設集合，，則（

）A． B． C． D．3．將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子，則2個小球在同一個盒子的概率為（

）A． B． C． D．4．在中，，，若P為邊上的動點，則（

）A．0 B．2 C．4 D．85．定義在上的減函數(shù)滿足條件：對，，總有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．設為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準線相交，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知O為坐標原點，過點作直線（不全為零）的垂線，垂足為，當變化時，的最小值為（

）A． B． C．1 D．38．定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．從40個個體中隨機抽取一個容量為10的樣本，則每個個體被抽到的概率都是0.25B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C．數(shù)據(jù)26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位數(shù)是18D．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標準差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標準差為1610．一個質地均勻的正四面體表面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A． B．事件A和事件B互為對立事件C． D．事件A和事件B相互獨立11．如圖，直角梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.則下列說法正確的有（

）

A．平面B．四棱錐外接球的體積為C．二面角的大小為D．與平面所成角的正切值為12．關于函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．在上是增函數(shù)B．為偶函數(shù)C．的最小值為，無最大值D．對，，都有三、填空題13．的展開式中含項的系數(shù)為.14．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，所得函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為.15．四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為線段，上的點，，若平面，則.16．雙曲線的左焦點為F，直線與雙曲線C的右支交于點D，A，B為線段的兩個三等分點，且（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為.四、解答題17．設的內角所對的邊分別是，且，，.(1)求的值；(2)求的值.18．如圖，在三棱臺中，，，，，且平面.設P，Q，R分別為棱，，的中點.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成的角的余弦值.19．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求a的值，并求此時曲線在處的切線方程；(2)若在上為減函數(shù)，求a的取值范圍.20．已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，分別為數(shù)列的第二項和第三項.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，求證：.21．甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質地相同的2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個黑球的概率為，恰有3個黑球的概率為.(1)求；(2)設，證明：；(3)求的數(shù)學期望的值.22．已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩個動點，面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】由復數(shù)為純虛數(shù)求出，再代入所求式化簡即可得出答案.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，.故選：B.2．A【分析】利用集合交集的定義直接求得.【詳解】因為，則，即，所以，因為，所以.故選：A.3．D【分析】先求出將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子的方法總數(shù)以及2個小球在同一個盒子的方法總數(shù)，由古典概率的公式代入即可得出答案.【詳解】將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個盒子，共有：種方法，2個小球在同一個盒子有種情況，所以2個小球在同一個盒子的概率為.故選：D.4．C【分析】根據(jù)余弦定理，結合平面向量數(shù)量積的運算性質進行求解即可.【詳解】，，，故選：C5．D【分析】利用函數(shù)的單調性，結合對數(shù)函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】在中，令，得，所以有，因為函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以有，故選：D6．C【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，可得焦點與準線，根據(jù)圓與直線的位置關系，建立不等式，結合拋物線的定義，可得答案.【詳解】由拋物線，則其焦點，準線，到的距離為，可作圖如下：

其中，則，當圓與直線相交時，，則，由，則，解得.故選：C.7．B【分析】根據(jù)題意，得到直線恒過點，結合，求得點的軌跡方程，結合點與圓的位置關系，即可求解.【詳解】因為直線，可得，由方程組，解得，即直線恒過點，有因為過點作直線的垂線，垂足為，設，可得，所以，可得，整理得，即點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又由，所以.故選：B.8．B【分析】運用累和法和累積法進行求解即可.【詳解】因為數(shù)列是“等比差”數(shù)列，所以，因為，，所以，所以有，累和，得，因此有，累積，得，所以，故選：B【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是運用累和法和累積法.9．AC【分析】A：根據(jù)古典概型概率計算方法即可計算；B：根據(jù)平均數(shù)的計算方法求出m的值，在根據(jù)方差計算公式即可求解；C：根據(jù)50%分位數(shù)的求法求解即可；D：根據(jù)方差的性質即可求解.【詳解】對于A：從40個個體中隨機抽取一個容量為10的樣本，則每個個體被抽到的概率都是，故A正確；對于B：已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，這組數(shù)據(jù)的方差為，故B錯誤；對于C：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：11，14，15，17，19，23，26，31，共8個，故其50%分位數(shù)為第4個數(shù)17和第5個數(shù)19的平均數(shù)，為18，故C正確；對于D：若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標準差為4，則方差為16，故數(shù)據(jù)，，…，的方差為，標準差為8.故D錯誤.故選：AC10．ACD【分析】求得的值判斷選項A；舉反例否定選項B；求得的值判斷選項C；利用公式是否成立判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：事件B：第一次向下的數(shù)字為偶數(shù),第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，則兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù).則事件A和事件B不是對立事件.判斷錯誤；選項C：，則.判斷正確；選項D：，又，,則有成立，則事件A和事件B相互獨立.判斷正確.故選：ACD11．ABC【分析】易證得四邊形為矩形，得到；利用勾股定理可得；由線面垂直的判定可證得A正確；根據(jù)平面和矩形外接圓半徑可求得外接球半徑，代入球的體積公式可知B正確；根據(jù)二面角平面角定義可知即為所求角，根據(jù)長度關系知C正確；根據(jù)線面角定義可知為所求角，由長度關系可知D錯誤.【詳解】對于A，為中點，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為矩形，；，，，，，又，平面，平面，A正確；對于B，，，，即，平面，平面，，又，平面，平面；矩形的外接圓半徑，四棱錐的外接球半徑，四棱錐外接球的體積，B正確；對于C，平面，平面，；又，二面角的平面角為，，，，二面角的大小為，C正確；對于D，平面，即為直線與平面所成角，，，，，即直線直線與平面所成角的正切值為，D錯誤.故選：ABC.12．BC【分析】利用指對數(shù)復合函數(shù)的單調性判斷單調性，奇偶性定義判斷，再根據(jù)指對、對勾函數(shù)性質求最值，函數(shù)圖象下凹，數(shù)形結合判斷D.【詳解】由題設，而在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以在上遞減，在上遞增，又在定義域上遞增，所以在上遞減，在上遞增，A錯；由，即為偶函數(shù)，B對；由上，僅當時等號成立，則，無最大值，C對；綜上分析知：為下凹的圖象，上任意取兩點都有，D錯.

故選：BC13．【分析】求出二項展開式的通項公式，由題設中的指定項可得項數(shù)即可作答.【詳解】的展開式的通項為，則展開式中含的項有，即，所以展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：14．【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡得，平移單位長度后函數(shù)是奇函數(shù)得出，計算出最值即可.【詳解】,圖像向左平移個單位長度后得到是奇函數(shù)，，的最小值為.故答案為：.15．/【分析】根據(jù)線面平行的性質定理，平行線分線段成比例等知識求得正確答案.【詳解】設，連接交于，連接，，由于平面，平面，平面平面，則，由于是的中點，所以，過作，交于，則，由于，所以，所以.故答案為：

16．【分析】作出輔助線，得到，設出，，由雙曲線定義得到方程，并由勾股定理得到，兩方程聯(lián)立后求出離心率.【詳解】由題意得，取中點，連接，設雙曲線C的右焦點為，連接，因為，所以，又A，B為線段的兩個三等分點，所以，即為的中點，又為的中點，所以，故，設，則，又，由勾股定理得，則，由雙曲線定義得，即①，在Rt中，由勾股定理得，即②，由①得，兩邊平方得，解得或（負值舍去），將代入②得，故離心率為.

故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理可構造方程求得的值；（2）利用余弦定理可得，由同角三角函數(shù)關系可得；根據(jù)兩角和差正弦公式可求得結果.【詳解】（1），，由正弦、余弦定理可得：，又，，，解得：（舍）或，.（2）由余弦定理得：，又，，.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的判定定理、線面垂直的判定定理和性質定理證明即可；（2）以P為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接DP，則四邊形DPCF是矩形．又，則，從而由平面，且平面，得由，且為三角形的中位線，得又因為，AC，平面ADFC，所以平面由于平面，則因為，平面，則平面又因為平面，所以平面平面

（2）解：以P為原點，PA、PR、PD為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，故，，設是平面的法向量，則取，得，設是平面的法向量，則取，得，設平面與平面相交所成角的平面角為，則又故平面與平面所成的角的余弦值為.19．(1)，(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得求出的值，計算，的值，由導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由題意可得在上恒成立，分離參數(shù)，令，求出即可得出答案.【詳解】（1）在處取得極值，，解得當時，，，在上單調遞增，在上單調遞減，故在處有極大值，符合題意，，曲線在點處的切線方程為，即為：（2）由在上為減函數(shù)，在上恒成立，可得，在上恒成立令，，在上單調遞增，，，因此.20．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)和的關系求出的通項公式，由中的項和等比數(shù)列通項公式的關系求出的通項公式；（2）利用裂項求和進行求解.【詳解】（1）因為數(shù)列的前項和為，且，當時，,當時，,也滿足上式，所以,在數(shù)列中，,則公比，,所求通項公式為，.（2）由(1)得而

因為，故21．(1)，(2)證明見解析(3)2【分析】（1）交換后甲盒有黑球，說明兩個盒子相互交換個白球或者交換個黑球，若交換后甲盒有黑球，說明甲給乙白球，乙給甲黑球；（2）根據(jù)全概率公式進行求解；（3）根據(jù)（2）的結論和期望公式進行求解即可.【詳解】（1）由題可知：，（2）次操作后，甲盒有一個黑球的概率，由全概率公式知：，即（3），又，

即22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質，建立方程組，可得答案；（2）分情況設直線