數(shù)學(xué)建模講座

數(shù)學(xué)建模講座2010年10月28日數(shù)學(xué)最基本的學(xué)科特征在于來源的實(shí)踐性、結(jié)構(gòu)的抽象性、模型的多樣性、推理的精密性、計(jì)算的精確性、體系的統(tǒng)一性、應(yīng)用的廣泛性。一、數(shù)學(xué)建模競賽簡介1985年開始由美國工業(yè)與數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)舉辦數(shù)學(xué)建模競賽(MCM),每個(gè)大學(xué)限4隊(duì).1992年我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，1999年有26?。ㄊ?、自治區(qū)）460所學(xué)校參加。1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)組織第一次競賽1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月)全國高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)1999年開始設(shè)立大專組的競賽1989年我國大學(xué)生開始參加這項(xiàng)競賽。1990年上海率先舉辦了“上海市大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽”答卷按?。ㄊ?、自治區(qū)）和全國兩級(jí)評(píng)獎(jiǎng)全國組委會(huì)網(wǎng)址：/mcm/競賽宗旨：創(chuàng)新意識(shí)團(tuán)隊(duì)精神重在參與公平競爭中國的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽基本上是MCM的翻版，所不同的是：1、政府部門（教育部門）組織；四大賽：（1）電子設(shè)計(jì)；（2）數(shù)學(xué)建模；（3）機(jī)械設(shè)計(jì)；（4）結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)2、時(shí)間為9月下旬第一周末（72小時(shí)）；3、所有專業(yè)的本、?？粕伎蓞⒓樱?、A、B題本科生（除農(nóng)、林、醫(yī)）做，C、D題?？粕?、農(nóng)、林、醫(yī)專業(yè)的學(xué)生做。2004年開始全國高校研究生數(shù)學(xué)建模2008年開始網(wǎng)絡(luò)形式全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽各高校、各地區(qū)組織聯(lián)賽競賽內(nèi)容：競賽的題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，不要求預(yù)先掌握深入的專門知識(shí)，而具有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮。競賽形式：開卷形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯(lián)網(wǎng)，自由的收集資料、調(diào)查研究。由三名學(xué)生組成一隊(duì)，各參賽隊(duì)任選一競賽題。在三、四天時(shí)間內(nèi)，團(tuán)結(jié)合作、奮力攻關(guān)，完成一篇數(shù)學(xué)建模全過程的論文。評(píng)獎(jiǎng)標(biāo)準(zhǔn)：沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，多名專家從以下幾個(gè)方面來綜合評(píng)定（1）問題分析及假設(shè)的合理性；（2）模型的正確性和創(chuàng)造性；（3）運(yùn)算結(jié)果的正確性；（4）結(jié)論和討論的科學(xué)性；（5）論文表達(dá)的清晰性等。大學(xué)階段難得的一次近似于“真刀真槍”的訓(xùn)練，模擬了畢業(yè)后工作時(shí)的情況，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件。歷年賽題的分析

隨著數(shù)學(xué)建模競賽的深入開展，競賽的規(guī)模越來越大，競賽的水平也在不斷地提高，競賽水平的提高主要體現(xiàn)在賽題水平的提高，而賽題的水平主要體現(xiàn)在賽題的綜合性、實(shí)用性、創(chuàng)新性、即時(shí)性,以及多種解題方法的創(chuàng)造性、靈活性等，特別是給參賽者留有很大的發(fā)揮創(chuàng)造的想象空間?？蓮膯栴}的實(shí)際意義、解決問題的方法和題型三個(gè)方面作一些簡單的分析。歷年賽題瀏覽：1992年:(Ａ)作物生長的施肥效果問題(北理工：葉其孝）(B)化學(xué)試驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分解問題（復(fù)旦：譚永基）1993年:(Ａ)通訊中非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)問題（北大:謝衷潔）(Ｂ)足球甲級(jí)聯(lián)賽排名問題（清華：蔡大用）1994年:(Ａ)山區(qū)修建公路的設(shè)計(jì)造價(jià)問題（西電大：何大可）(Ｂ)鎖具的制造、銷售和裝箱問題（復(fù)旦:譚永基等）1995年:(Ａ)飛機(jī)的安全飛行管理調(diào)度問題（復(fù)旦:譚永基等）(Ｂ)天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度問題（浙大:劉祥官等）1996年:(A)最優(yōu)捕魚策略問題（北師大：劉來福）(B)節(jié)水洗衣機(jī)的程序設(shè)計(jì)問題（重大：付鸝）1997年:(A)零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題（清華：姜啟源）(B)金剛石截?cái)嗲懈顔栴}（復(fù)旦：譚永基等）1998年:(A)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題（浙大：陳淑平）(B)災(zāi)情的巡視路線問題（上海海運(yùn)學(xué)院:丁頌康）1999年:(A)自動(dòng)化機(jī)床控制管理問題（北大：孫山澤）(B)地質(zhì)堪探鉆井布局問題（鄭州大學(xué)：林詒勛）(C)煤矸石堆積問題（太原理工大學(xué)：賈曉峰）2000年:(A)DNA序列的分類問題（北工大：孟大志）(B)鋼管的訂購和運(yùn)輸問題（武大：費(fèi)甫生）(C)飛越北極問題（復(fù)旦大學(xué)：譚永基）(D)空洞探測(cè)問題（東北電力學(xué)院：關(guān)信）2001年:(A)三維血管的重建問題（浙大：汪國昭）(B)公交車的優(yōu)化調(diào)度問題（清華：譚澤光）(C)基金使用計(jì)劃問題（東南大學(xué)：陳恩水）2002年:(A)汽車車燈的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題（復(fù)旦:譚永基等）(B)彩票中的數(shù)學(xué)問題（信息工程大學(xué)：韓中庚）(D)球隊(duì)的賽程安排問題（清華：姜啟源）2003年:(A)SARS的傳播問題（集體）(B)露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題（吉林大：方沛辰）(D)搶渡長江問題（華中農(nóng)業(yè)大學(xué)：殷建肅）2004年:(A)奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題(北工大：孟大志)(B)電力市場的輸電阻塞管理問題(浙大:劉康生）(C)酒后開車問題（清華大學(xué)：姜啟源）(D)公務(wù)員的招聘問題（信息工程大學(xué)：韓中庚）2005年:(A)長江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)問題（信息工大:韓中庚）(B)DVD在線租賃問題（清華大學(xué)：謝金星等）(C)雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)問題（復(fù)旦大學(xué)：譚永基）2006年：A題:出版社的資源配置B題:艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)C題:易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)D題:煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測(cè)與控制2007年A題：中國人口增長預(yù)測(cè)B題：乘公交，看奧運(yùn)C題：手機(jī)“套餐”優(yōu)惠幾何D題：體能測(cè)試時(shí)間安排2008年A題數(shù)碼相機(jī)定位B題高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討C題地面搜索D題NBA賽程的分析與評(píng)價(jià)2009年A題制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析B題眼科病床的合理安排C題衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控

D題會(huì)議籌備2010年A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估C題輸油管的布置D題對(duì)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)從問題的實(shí)際意義方面分析,大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)等七個(gè)大類。

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。

從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)方法、機(jī)理分析等方法。

用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法.用到圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法；用到層次分析方法；用到插值擬合方法；用到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法；用灰色系統(tǒng)理論方法;用到時(shí)間序列分析方法;用到綜合評(píng)價(jià)方法；機(jī)理分析方法和隨機(jī)模擬都多次用到;其它的方法都至少用到一次。大部分題目都可以用兩種以上的方法來解決,即綜合性較強(qiáng).數(shù)學(xué)建模競賽的競爭日趨激烈

數(shù)學(xué)建模競賽的發(fā)展趨勢(shì)

由于數(shù)學(xué)建模在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中的地位和作用所在，數(shù)學(xué)建模受到了越來越多的人的重視和關(guān)注，特別是引起了更多領(lǐng)導(dǎo)們的重視。另一方面，也是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模競賽有很強(qiáng)的可比性和競爭性，競賽成績是反映能力和水平的一個(gè)實(shí)力型指標(biāo),也是高校評(píng)估的一個(gè)重要指標(biāo)。從近幾年的競賽題目來看，題目的水平在不斷提高、難度在增加、實(shí)用性在增強(qiáng);特別是綜合性和開放性也在增強(qiáng)，這是一大潮流，從發(fā)展趨勢(shì)上來看，有逐步走向國際化的趨勢(shì)，同國際接軌是必然的；隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和工具軟件功能的增強(qiáng),數(shù)據(jù)信息量也在逐步地增大，這也是現(xiàn)代應(yīng)用的特點(diǎn)之一。這些變化都為我們提出了更高的要求。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題越來越(1)綜合性增強(qiáng),進(jìn)一步體現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí).(2)開放性增大,逐步同國際接軌.(3)即時(shí)性增強(qiáng),擴(kuò)大競賽的社會(huì)效益.(4)實(shí)用性增強(qiáng),貼近現(xiàn)代實(shí)際的科研工作.(5)挑戰(zhàn)性增強(qiáng),吸引更多青年學(xué)生的參與熱情.我校開展數(shù)學(xué)建模的歷史、方法、成績、措施我校于1999年開始參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。我校組織參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模采用的模式1、每年四月分組織我校大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽2、暑期培訓(xùn)大約一個(gè)月，主要講授《數(shù)學(xué)模型》及Matlab軟件的使用；大量的模擬訓(xùn)練。3、開學(xué)至競賽前的訓(xùn)練。4、三天的競賽。二、我校數(shù)學(xué)建模競賽情況我校參加“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”獲獎(jiǎng)情況1999國家二等獎(jiǎng)程煥軍金華進(jìn)湯中良省二等獎(jiǎng)張平王凱錢向明2000省一等獎(jiǎng)周志紅夏科軍鞠熠昊省一等獎(jiǎng)湯虹何文余剛省二等獎(jiǎng)金華進(jìn)黃武鋼湯中良省二等獎(jiǎng)陶海東張家業(yè)江李雅省二等獎(jiǎng)周汝梁葉飛虹侯湘洪2001省一等獎(jiǎng)陳光榮曾罡周玲霞2002省一等獎(jiǎng)劉細(xì)強(qiáng)王鴻豪梅文婷省一等獎(jiǎng)駱名文余亮顧廣花省二等獎(jiǎng)徐楓嚴(yán)小雨徐飛2003省二等獎(jiǎng)嚴(yán)小雨夏長春李奇兵2004省一等獎(jiǎng)佘志強(qiáng)陳德良陳娟2005國家二等獎(jiǎng)佘志強(qiáng)陳德良陳娟2006年：省二等獎(jiǎng)姚東文鞠月琴趙衡2007年：省三等獎(jiǎng)魏翔王能波李珍珍2008年：省一等獎(jiǎng)，謝堯城、鄭云龍、韓慶英省二等獎(jiǎng)，胡峰、陳緒燕、秦龍2009年全軍覆沒！2010年的情況目前不清楚！初步估計(jì)又可能是一個(gè)2009年！全國特等獎(jiǎng)（第二階段）,劉飛，魏翔，王能波全國一等獎(jiǎng)（第三階段），劉飛，魏翔，王能波 全國二等獎(jiǎng)（第二階段），虞宋超，曾金玲，楊建輝2008年第一屆數(shù)學(xué)中國杯數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽2009年：全國三等獎(jiǎng)（第一階段）楊建輝虞宋超尹富林全國三等獎(jiǎng)（第一階段）胡峰秦龍陳緒燕 全國一等獎(jiǎng)（第一階段）謝堯城顏麗周月元全國三等獎(jiǎng)（第二階段）鄭云龍?zhí)占t凡胡敏 全國二等獎(jiǎng)（第二階段）楊建輝虞宋超尹富林全國二等獎(jiǎng)（第二階段）胡峰秦龍陳緒燕全國二等獎(jiǎng)（第二階段）謝堯城顏麗周月元 2010年“scienceword”杯數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽全國二等獎(jiǎng)（第一階段）：容征、李郭、葉珍芳全國二等獎(jiǎng)（第一階段）：李偉能、劉娟、華斌全國優(yōu)秀獎(jiǎng)（第一階段）：許鬧、裴良珍、黃勝猛全國一等獎(jiǎng)（第二階段）：李郭、容征、葉珍芳全國二等獎(jiǎng)（第二階段）：李偉能、劉娟、華斌全國優(yōu)秀獎(jiǎng)（第二階段）：許鬧、裴良珍、黃勝猛研究生競賽2009年：全國三等獎(jiǎng)彭柳艷羅勁郭君全國三等獎(jiǎng)董鵬真李先鋒堯燕玲2008年：全國二等獎(jiǎng)米瑞利林祥云王學(xué)文全國三等獎(jiǎng)朱怡李先鋒趙志沖 2007年：全國三等獎(jiǎng)鄭仟等2006年：全國一等獎(jiǎng)鄭仟等2005年：全國三等獎(jiǎng)田志華等對(duì)參賽同學(xué)的基本要求1）具有一定的計(jì)算機(jī)操作能力及編程能力，尤其要能熟練使用Matlab,Lingo,Mathematica,SPSS,Word等軟件，這一方面的要求會(huì)越來越高。2）一隊(duì)里至少有一人具有較好的協(xié)調(diào)能力及寫作能力。3）每人要求具有較好的數(shù)學(xué)功底及數(shù)學(xué)素質(zhì)，起碼是已經(jīng)學(xué)過《高等數(shù)學(xué)》或《微積分》、《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，還要求對(duì)“運(yùn)籌學(xué)”、“計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)”、“離散數(shù)學(xué)”、“組合學(xué)”等等方面有所涉獵。4）要求每人具備一定的工程背景知識(shí)。5）具有較靈活的思維及快速獵取知識(shí)的能力。6）良好的心理素質(zhì)、及時(shí)妥協(xié)能力、吃苦的精神、以及與他人協(xié)作的能力。三、數(shù)學(xué)建模的一般過程模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型評(píng)價(jià)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備1、問題分析

深入理解問題的含義和背景。確立解決該問題的最高層目標(biāo)。

從最高層目標(biāo)出發(fā)順藤摸瓜，即揭示影響最高目標(biāo)的各個(gè)子層。堅(jiān)持抓主要因素和主要關(guān)系的原則2、符號(hào)設(shè)定符號(hào)設(shè)定是與問題分析過程相伴完成的同時(shí)也與建立模型過程結(jié)伴而行。任何一個(gè)建模過程中，最高目標(biāo)層的符號(hào)都是相對(duì)獨(dú)立地首先設(shè)定的。

模型假設(shè)1、意義：假設(shè)是簡化實(shí)際問題的必須手段。假設(shè)能縮小問題的涉及范圍，使問題的條件更加明確且條理更加清晰。做假設(shè)的過程中，能進(jìn)一步辨清問題的主次方面。2、作用：簡化問題，有利于辨識(shí)并列出與問題的研究目標(biāo)更緊密的相關(guān)因素及其關(guān)系。使模型更加嚴(yán)謹(jǐn)。擬建立的數(shù)學(xué)模型常被認(rèn)為是對(duì)實(shí)際問題的近似刻劃，這種數(shù)學(xué)形式應(yīng)該符合數(shù)學(xué)的要求，不能顯示出任何邏輯破綻。

降低問題難度。清晰地記錄我們所建的模型忽略是哪些因素和關(guān)系，為以后改進(jìn)模型奠定基礎(chǔ)。3、原則：1、假設(shè)必須合理且典型。2、建模初期由寬到嚴(yán)，模型改進(jìn)中由嚴(yán)到寬。3、注重與建模其它階段的配合。例１：方桌問題的假設(shè)：１）視方桌的４只腳依次為４個(gè)點(diǎn)。２）方桌是規(guī)則的，即４點(diǎn)在一個(gè)平面上。３）擬放置方桌的地面連續(xù)且不特別陡峭。４）把放穩(wěn)理解為４個(gè)腳同時(shí)著地。模型建立１、過程基于“問題分析”階段的結(jié)果，已經(jīng)理清了問題的各條線路、各個(gè)層次、各個(gè)片段及其相互關(guān)系，建立模型就是把這些分析結(jié)果先分別表示成數(shù)學(xué)形式，然后再把這些形式合理整合成一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式。２、原則對(duì)問題每一個(gè)方面所選擇的數(shù)學(xué)表達(dá)都應(yīng)能合理表達(dá)該方面的因素間的關(guān)系。有利于模型的整合及模型的求解模型求解模型求解必須在明確認(rèn)識(shí)模型的數(shù)學(xué)歸類的基礎(chǔ)上進(jìn)行.1）結(jié)論為歸納型或猜想型的模型，用論證的方式給出求解過程。2）表達(dá)式或表達(dá)式組類型的模型，用相應(yīng)的數(shù)學(xué)算法計(jì)算出問題的結(jié)論。這類模型中的大多數(shù)都有很大的運(yùn)算量，運(yùn)算結(jié)構(gòu)也較復(fù)雜，或者現(xiàn)有數(shù)學(xué)方法不可能給出其精確解，于是，不借助于計(jì)算機(jī)，求解工作一般無法完成。3）數(shù)據(jù)模型和隨機(jī)模型，一般都有很大的運(yùn)算量或者基于大量的模擬才能給出問題的更精確結(jié)論，甚至對(duì)有些特別復(fù)雜的問題，由于涉及的因素太多且不確定性太大，數(shù)學(xué)模型自身就是一個(gè)計(jì)算機(jī)模擬過程。4）必要時(shí)對(duì)所建模型作適當(dāng)簡化后方可進(jìn)行求解。有些問題的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論并沒有給出完善的求解方法，例如多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，這時(shí)需要我們根據(jù)實(shí)際問題的屬性和要求，適當(dāng)?shù)睾喕Ｐ?，得到適應(yīng)于問題要求的參考解。5）有些問題的數(shù)學(xué)模型本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)處理過程，并不能明確地把問題集中地表達(dá)成某種數(shù)學(xué)形式，而是采用一系列數(shù)學(xué)處理得出了問題的結(jié)果。對(duì)這類問題，自然不需要單獨(dú)列出模型求解這一步。6）計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)建模的得力助手。很多模型的求解都面臨大量的計(jì)算，所建模型是否與實(shí)際吻合，常需要用模型的解來判斷，而且這種工作，在建立一個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型過程中也常需要重復(fù)多遍。因此，熟練使用計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)問題是對(duì)數(shù)學(xué)建模工作者的必須要求。這一方面要求具有一定的編程水平，更重要地是能熟練使用現(xiàn)有計(jì)算軟件包?，F(xiàn)時(shí)用于數(shù)學(xué)建模中較好的軟件包有：Mathematica;Matlab;SAS.模型評(píng)價(jià)對(duì)模型解答的意義作出解釋，模型對(duì)數(shù)據(jù)依賴性作出分析，對(duì)模型相關(guān)因素的敏感性作出分析，對(duì)假設(shè)條件的現(xiàn)實(shí)性作出說明。模型檢驗(yàn)1、模型的事實(shí)檢驗(yàn)公理性檢驗(yàn).常用法則檢驗(yàn)和自然法則檢驗(yàn).經(jīng)驗(yàn)誤差分析.建模碰到的有些問題是已經(jīng)有研究歷史的問題,如果所得的經(jīng)驗(yàn)已被幾乎所有事實(shí)證明,那么,我們的模型所得出的結(jié)論不應(yīng)該例外.2、模型的數(shù)學(xué)檢驗(yàn)數(shù)值模擬檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn).這種檢驗(yàn)多用在數(shù)據(jù)建模的過程中.預(yù)測(cè)檢驗(yàn).借用所建模型模型,用歷史預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí),以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確度.四、數(shù)學(xué)建模競賽論文的結(jié)構(gòu)1、摘要2、問題重述3、問題分析4、符號(hào)說明5、模型假設(shè)6、模型建立7、模型求解8、模型結(jié)果分析9、模型優(yōu)缺點(diǎn)10、改進(jìn)方向11、參考文獻(xiàn)12、附錄五、幾個(gè)簡單建模例子一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。1、雨中行走問題1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時(shí)來描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設(shè)及符號(hào)說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。3模型建立與計(jì)算1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時(shí)間降雨強(qiáng)度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問題過于簡化。2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形3此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以此時(shí)，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。從背后落下，你應(yīng)該以的角的角度落下，即雨滴以當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結(jié)論若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡單，應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5注