主成分分析-原理

題目:主成分分析PCA

PrincipalComponentAnalysis1內(nèi)容一、前言二、問(wèn)題的提出三、主成分分析1.二維數(shù)據(jù)的例子2.PCA的幾何意義3.均值和協(xié)方差、特征值和特征向量4.PCA的性質(zhì)四、主成分分析的算法五、具體實(shí)例

實(shí)例2

六、結(jié)論七、練習(xí)21.前言假定你是一個(gè)公司的財(cái)務(wù)經(jīng)理，掌握了公司的所有數(shù)據(jù)，比如固定資產(chǎn)、流動(dòng)資金、每一筆借貸的數(shù)額和期限、各種稅費(fèi)、工資支出、原料消耗、產(chǎn)值、利潤(rùn)、折舊、職工人數(shù)、職工的分工和教育程度等等。如果讓你介紹公司狀況，你能夠把這些指標(biāo)和數(shù)字都原封不動(dòng)地?cái)[出去嗎？

當(dāng)然不能。實(shí)例1

實(shí)例2你必須要把各個(gè)方面作出高度概括，用一兩個(gè)指標(biāo)簡(jiǎn)單明了地把情況說(shuō)清楚。

匯報(bào)什么？3PCA多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性.在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，能否在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)較多的變量所反映的信息？事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的.主成分分析原理:是把原來(lái)多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這是一種降維處理技術(shù)。主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的方法。4

(1)如何作主成分分析?當(dāng)分析中所選擇的變量具有不同的量綱，變量水平差異很大，應(yīng)該選擇基于相關(guān)系數(shù)矩陣的主成分分析。

在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對(duì)高維的變量空間降維，即研究指標(biāo)體系的少數(shù)幾個(gè)線性組合，并且這幾個(gè)線性組合所構(gòu)成的綜合指標(biāo)將盡可能多地保留原來(lái)指標(biāo)變異方面的信息。這些綜合指標(biāo)就稱為主成分。要討論的問(wèn)題是：2.問(wèn)題的提出5各個(gè)變量之間差異很大6

（2）如何選擇幾個(gè)主成分。主成分分析的目的是簡(jiǎn)化變量，一般情況下主成分的個(gè)數(shù)應(yīng)該小于原始變量的個(gè)數(shù)。關(guān)于保留幾個(gè)主成分，應(yīng)該權(quán)衡主成分個(gè)數(shù)和保留的信息。（3）如何解釋主成分所包含的幾何意義或經(jīng)濟(jì)意義或其它。7

美國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家斯通(Stone)在1947年關(guān)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)的研究是一項(xiàng)十分著名的工作。他曾利用美國(guó)1929一1938年各年的數(shù)據(jù)，得到了17個(gè)反映國(guó)民收入與支出的變量要素，例如雇主補(bǔ)貼、消費(fèi)資料和生產(chǎn)資料、純公共支出、凈增庫(kù)存、股息、利息、外貿(mào)平衡等等。在進(jìn)行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三個(gè)新變量就取代了原17個(gè)變量。實(shí)例1:經(jīng)濟(jì)分析8

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)，斯通給這三個(gè)新變量分別命名為總收入F1、總收入變化率F2和經(jīng)濟(jì)發(fā)展或衰退的趨勢(shì)F3。更有意思的是，這三個(gè)變量其實(shí)都是可以直接測(cè)量的。9

主成分分析就是試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對(duì)這種多變量的數(shù)據(jù)表進(jìn)行最佳綜合簡(jiǎn)化，也就是說(shuō)，對(duì)高維變量空間進(jìn)行降維處理。很顯然，識(shí)辨系統(tǒng)在一個(gè)低維空間要比在一個(gè)高維空間容易得多。10實(shí)例2:成績(jī)數(shù)據(jù)100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語(yǔ)文、歷史、英語(yǔ)的成績(jī)?nèi)缦卤恚ú糠郑?1從本例可能提出的問(wèn)題目前的問(wèn)題是，能不能把這個(gè)數(shù)據(jù)的6個(gè)變量用一兩個(gè)綜合變量來(lái)表示呢？這一兩個(gè)綜合變量包含有多少原來(lái)的信息呢？能不能利用找到的綜合變量來(lái)對(duì)學(xué)生排序呢？這一類數(shù)據(jù)所涉及的問(wèn)題可以推廣到對(duì)企業(yè)，對(duì)學(xué)校進(jìn)行分析、排序、判別和分類等問(wèn)題。12例中的的數(shù)據(jù)點(diǎn)是六維的；也就是說(shuō)，每個(gè)觀測(cè)值是6維空間中的一個(gè)點(diǎn)。我們希望把6維空間用低維空間表示。3.1PCA:二維數(shù)據(jù)分析13平均成績(jī)73.769.861.372.577.272.36372.370單科平均成績(jī)74.1747066.473.663.31415

先假定數(shù)據(jù)只有二維，即只有兩個(gè)變量，它們由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所代表；因此每個(gè)觀測(cè)值都有相應(yīng)于這兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩個(gè)坐標(biāo)值；如果這些數(shù)據(jù)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣（這在變量的二維正態(tài)的假定下是可能的）.16?????????????????????????????????????3.2主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸17?????????????????????????????????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?18????????????????????????????????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?19?????????????????????????????????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸???????????????????????????????????????????????????????????????203.2.PCA:進(jìn)一步解釋

橢圓有一個(gè)長(zhǎng)軸和一個(gè)短軸。在短軸方向上，數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況，短軸如果退化成一點(diǎn)，那只有在長(zhǎng)軸的方向才能夠解釋這些點(diǎn)的變化了；這樣，由二維到一維的降維就自然完成了。21二維數(shù)據(jù)22進(jìn)一步解釋PCA當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長(zhǎng)短軸平行，那么代表長(zhǎng)軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化，而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化。但是，坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。因此，需要尋找橢圓的長(zhǎng)短軸，并進(jìn)行變換，使得新變量和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。如果長(zhǎng)軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息，就用該變量代替原先的兩個(gè)變量（舍去次要的一維），降維就完成了。橢圓（球）的長(zhǎng)短軸相差得越大，降維也越有道理。23進(jìn)一步解釋PCA(續(xù))對(duì)于多維變量的情況和二維類似，也有高維的橢球，只不過(guò)無(wú)法直觀地看見(jiàn)罷了。首先把高維橢球的主軸找出來(lái)，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就基本完成了。注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，叫做主成分(principalcomponent)。

24正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長(zhǎng)度之和占了主軸長(zhǎng)度總和的大部分。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長(zhǎng)度占所有主軸長(zhǎng)度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說(shuō)法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定。253.3.均值和協(xié)方差

特征值和特征向量

設(shè)有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本觀測(cè)p個(gè)指標(biāo)（變量）：X1，X2，…，Xn,得到原始數(shù)據(jù)矩陣：261.樣本均值顯然,樣本均值是數(shù)據(jù)散列圖的中心.于是p*n矩陣的列B具有零樣本均值,稱為平均偏差形式M272.樣本協(xié)方差

中心中心

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了多變量之間的關(guān)系，但它還受變量自身度量單位的影響.注意：協(xié)方差是對(duì)稱矩陣且半正定283.3特征值與特征向量定義Ａ為ｎ階方陣，λ為數(shù)，為ｎ維非零向量，若則λ稱為Ａ的特征值，稱為Ａ的特征向量．注②并不一定唯一；③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組①特征向量，特征值問(wèn)題只針對(duì)與方陣；有非零解的λ值，即滿足的λ都是方陣Ａ的特征值．定義稱以λ為未知數(shù)的一元ｎ次方程為Ａ的特征方程．29例1:從一個(gè)總體中隨機(jī)抽取4個(gè)樣本作三次測(cè)量,每一個(gè)樣本的觀測(cè)向量為:計(jì)算樣本均值M和協(xié)方差矩陣S以及S的特征值和特征向量.30SyntaxC=cov(X)AlgorithmThealgorithmforcovis[n,p]=size(X);X=X-ones(n,1)*mean(X);Y=X'*X/(n-1);SeeAlsocorrcoef,mean,std,var31?????????????????????????????????????平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?M9/28/202332

為了方便，我們?cè)诙S空間中討論主成分的幾何意義。設(shè)有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本有兩個(gè)觀測(cè)變量xl和x2，在由變量xl和x2所確定的二維平面中，n個(gè)樣本點(diǎn)所散布的情況如橢圓狀。由圖可以看出這n個(gè)樣本點(diǎn)無(wú)論是沿著xl軸方向或x2軸方向都具有較大的離散性，其離散的程度可以分別用觀測(cè)變量xl的方差和x2的方差定量地表示。顯然，如果只考慮xl和x2中的任何一個(gè)，那么包含在原始數(shù)據(jù)中的信息將會(huì)有較大的損失。

9/28/202333

如果我們將xl軸和x2軸先平移，再同時(shí)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

角度，得到新坐標(biāo)軸Fl和F2。Fl和F2是兩個(gè)新變量