量子力學(xué)課件

量子力學(xué)喬豪學(xué),2012-2013學(xué)年第二學(xué)期辦公室:物理樓3-216手機:139956416111、《窺探上帝的秘密：量子史話》作者：楊建鄴2、《尋找薛定諤的貓》作者：（美）格里賓翻譯：張廣才3、《量子糾纏》作者：（美）克萊格翻譯：劉先珍4、《量子世界-寫給所有人的量子物理》作者：(美)福特譯:王菲5、《量子史話》作者：（美）霍夫曼翻譯：馬元德1、南大，柯善哲等《量子力學(xué)》；蔡建華《量子力學(xué)》2、復(fù)旦，蘇汝鏗《量子力學(xué)》；周世勛《量子力學(xué)教程》3、北大，曾謹言《量子力學(xué)》(卷I)；《量子力學(xué)導(dǎo)論》1、D.J.Griffiths,IntroductiontoQuantumMechanics2.、W.Greiner,QuantumMechanics–AnIntroduction參考書中文教科書英文教科書2012年總評通過率：100～90分:

7人

89～80分:

29人

79～70分:

33人

69～60分:

38人

60分以下:

5人

總計：112人，不及格率:

4%考核方式：1、考勤與課堂作業(yè)10%2、課后作業(yè)10%3、讀書筆記10%4、期末考試70%(卷面80分以上者總評不低于卷面成績)2011年：109人中15人，14%2010年：117人中11人，9%2009年：111人中7人，6%2008年：98人中11人，11%量子力學(xué)的前導(dǎo)課程：普通物理；理論力學(xué)；電動力學(xué)；統(tǒng)計力學(xué)微積分；常微分方程；偏微分方程；線性代數(shù)量子力學(xué)所設(shè)計的哲學(xué)問題：1.決定論：自然是偶然的還是自然規(guī)律是嚴格決定性的？2.局域性/可分離性：相互作用都是局部性的還是有超距相互作用？3.因果率4.現(xiàn)實性5.完全性：存在一個萬有理論嗎？目錄第一章量子力學(xué)的誕生背景--實驗基礎(chǔ)第二章量子力學(xué)原理(I)--波函數(shù)和Schrodinger方程第三章量子力學(xué)原理(II)--力學(xué)量算符第四章量子力學(xué)的三維形式--中心力場第五章量子力學(xué)理論的表示--態(tài)和力學(xué)量表象第六章量子力學(xué)的應(yīng)用(I)--電子自旋與角動量第七章量子力學(xué)的應(yīng)用(II)--微擾與變分方法第八章量子力學(xué)的應(yīng)用(III)--電磁場中的粒子第九章量子力學(xué)原理(III)--全同粒子系第十章量子力學(xué)的應(yīng)用(IV)—量子躍遷第十一章量子力學(xué)的應(yīng)用(V)—散射第一章量子力學(xué)的誕生背景§1物質(zhì)的原子性§2電子的發(fā)現(xiàn)§3原子的核式結(jié)構(gòu)§4光的波粒二象性§5原子態(tài)的量子化§6實物粒子的波粒二象性§1物質(zhì)的原子性

原子學(xué)說的建立：“原子”一詞來自希臘文，意思是“不可分割的”。嚴復(fù)在翻譯《穆勒名學(xué)》一書時，首次把“原子”一詞介紹到我國，當(dāng)時他把“Atom”譯為莫破，把“AtomTheory”譯為莫破質(zhì)點論。

主張物質(zhì)不可無限分割主張物質(zhì)可以無限分割我國戰(zhàn)國時期的墨家《墨經(jīng)》戰(zhàn)國時期的儒家《中庸》戰(zhàn)國時期的公孫龍“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”外國古希臘物理學(xué)家德謨克利特提出原子這一概念并把它當(dāng)作物質(zhì)的最小單元同時代的亞里士多德等認為物質(zhì)是連續(xù)的，可以無限分割時間人物重要發(fā)現(xiàn)1666年英國牛頓光譜：為以后研究原子提供了方法1806年法國普魯斯脫化合物分子的定組成定律1807年英國

道爾頓化學(xué)上的倍比定律，并提出原子論1808年法國蓋.呂薩克氣體化合的簡比定律1811年意大利阿伏伽德羅阿伏伽德羅假說：同體積氣體在同溫同壓下分子數(shù)相同。1826年英國布朗布朗運動1833年英國

法拉第提出電的基本單元存在以上為物質(zhì)微粒說---原子說的誕生創(chuàng)造了條件19世紀人們開始認識到，原子只是物質(zhì)結(jié)構(gòu)的一個層次，導(dǎo)致這一結(jié)論的重要發(fā)現(xiàn)有：1867年俄國門捷列夫元素周期表1885年瑞士巴耳末氫光譜規(guī)律1887年德國赫茲光電效應(yīng)1895年荷蘭倫琴X射線1896年法國貝克勒爾放射性1897年英國湯姆遜證明電子的存在1911年英國盧瑟福核式模型1913年丹麥玻爾氫原子理論的建立從此原子說迅速發(fā)展，1900年普朗克提出量子論1924-1927年建立了量子力學(xué)，原子物理在量子力學(xué)的基礎(chǔ)上日益完善。原子的質(zhì)量與大小：1、原子的質(zhì)量原子的絕對質(zhì)量（以碳原子為例：碳原子的原子量為12，1mol碳原子的總質(zhì)量為12克）原子量的單位：u=碳原子質(zhì)量/12=MA/122、原子的大小對于任一種原子，1mol原子的質(zhì)量為A克，包含有NA個原子。假定該原子的質(zhì)量密度為ρ(g/cm3)，那么A克原子的總體積為假如單原子體積為（r為原子半徑）則，所以

由此可得原子的半徑公式： 法拉第電解定律密里根油滴實驗元素質(zhì)量數(shù)A質(zhì)量密度原子半徑r/nmLi70.70.16Al272.70.16Cu638.90.14S322.070.18Pb20711.340.19布朗運動與佩林實驗：1827年，蘇格蘭植物學(xué)家R·布朗發(fā)現(xiàn)水中的花粉及其它懸浮的微笑顆粒不停地作不規(guī)則的曲線運動，稱為布朗運動。1877年，J·德耳索提出這些微小顆粒是受到周圍分子的不平衡的碰撞而導(dǎo)致的運動。1905年，愛因斯坦導(dǎo)出布朗運動平均自由程公式，并給出了測量阿伏伽德羅常數(shù)的方法1908年，法國物理學(xué)家佩林實驗證實，并測量出阿常數(shù)布朗運動也就成為原子分子論的有力實驗證據(jù)，并成為分子運動論和統(tǒng)計力學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。LudwigEdwardBoltzmann，玻爾茲曼堅信原子分子的存在，并建立了分子運動論，于1906年自殺身亡?！?電子的發(fā)現(xiàn)1874年斯通尼明確指出：原子所帶電荷為一基本電荷的整數(shù)倍，1891年提出用“電子”這一名字來命名電荷的最小單位。并通過阿伏加德羅常數(shù)推算出這一基本電荷的近似值。真正從實驗上確定電子的存在，是在1897年由湯姆遜作出的。D、E之間加上電場后射線發(fā)生偏移，可判斷陰極射線帶負電。在放電管周圍加磁場，可使束點由P2回到P1。磁力與電力大小相等，方向相反。可得陰極射線速度去掉電場，由于磁力作用，射線將構(gòu)成一圓形軌道，若半徑為，則射線內(nèi)的粒子（質(zhì)量為）受到的離心力為離心力與磁力相平衡由此可得射線內(nèi)粒子的荷質(zhì)比電子的電荷和質(zhì)量

電子電荷的精確測定是在1910年由密立根通過著名的“密立根油滴實驗”作出的。當(dāng)時的測定值為考慮到空氣粘滯性的影響，后人在1929年對其進行了精確測量，電子電荷的現(xiàn)代值為電子的質(zhì)量為：

由法拉第電解定律，可導(dǎo)出質(zhì)子質(zhì)量和電子質(zhì)量之比

從和的數(shù)值可得質(zhì)子的質(zhì)量電子的大小：經(jīng)典半徑§3原子的核式結(jié)構(gòu)人們通過法拉第電解實驗、輝光放電、荷質(zhì)比測定實驗和密立根油滴實驗證實了電子是原子的組成部分。那么原子中帶負電的電子和帶正電的部分是如何分布呢？即原子的結(jié)構(gòu)模型是什么樣的？一、湯姆孫的原子模型

帶正電的部分均勻分布在半徑的數(shù)量級為10-10m的球形空間內(nèi)，而電子則象“葡萄干”嵌在“面包”中一樣嵌在正電荷中間，并在平衡位置附近振動。該模型正確與否我們先不作判斷，下面我們來看一個實驗——盧瑟福的α粒子散射實驗。湯姆孫原子的“西瓜”或“葡萄干面包”模型

湯姆遜正在進行實驗二、α粒子的散射實驗

某些放射性同位素放出α粒子。α粒子為氦核He++，帶兩個單位的正電，具有一定的動能。讓細束α粒子穿過金鉑來觀察粒子被散射的情況。

1909年盧瑟福的學(xué)生蓋革和馬斯頓在作粒子轟擊原子的實驗時發(fā)現(xiàn)：絕大多數(shù)粒子以小角度散射（2°~3°），少數(shù)粒子被大角度散射（θ>90°），而大約1/8000幾率的粒子被反射回來。解：，，，設(shè)：粒子和鉛原子對心碰撞，達到原子邊界而不進入原子內(nèi)部時的能量式?jīng)Q定由此可見，具有1MeV能量的粒子能輕松穿過金原子球。但粒子在達到原子表面和原子內(nèi)部所受原子中正電荷的斥力不同

可見，粒子在原子表面所受斥力最大，越靠近原子的中心粒子所受斥力越小。

我們嘗試用湯姆孫的原子模型來解釋盧瑟福粒子散射這一實驗事實。設(shè)金原子的正電荷均勻分布在半徑為10-10m的球形原子內(nèi)，如果有能量為5MeV的粒子射向該“原子”，定量計算粒子被散射的情況。表面：內(nèi)部：

我們考慮使粒子散射最強的情況：粒子檫原子表面而過，受力如上所示。設(shè)力作用距離為原子直徑。在此范圍內(nèi)，力的大小和方向不變且。根據(jù)上述分析，(因，故)力的作用時間可表示為：

由于動量定理可求得

通過以上的計算可以看出，按湯姆孫原子模型，能量為5MeV的粒子被金原子散射，不可能產(chǎn)生的背散射。但是盧瑟福的粒子散射實驗中卻出現(xiàn)了這樣的散射，甚至?xí)a(chǎn)生的散射。所以用湯姆孫模型無法解釋實驗結(jié)果。

湯姆孫原子模型不成立

由假設(shè)可知，由于粒子所受平行于入射方向的合力為0，則該方向上速度不變，故：θ

為解釋α粒子的大角度散射，盧瑟福于1911年提出了與湯姆孫不同的原子模型。盧瑟福的核式模型特點：A：原子的正電荷和絕大部分質(zhì)量集中于相對原子而言很小的原子核中（線度為）10-5~10-4埃；B：原子中電子象太陽系中行星繞太陽運動一樣繞核運動。由此可見，粒子越靠近原子內(nèi)部，所受到的斥力就越大，這一點和湯姆孫模型截然相反。

三、盧瑟福的原子核式模型庫侖散射公式推導(dǎo)庫侖散射公式的基本假設(shè)1、只發(fā)生單次碰撞；2、只有庫侖相互作用；3、核外電子的作用可以忽略；4、靶核靜止。四、盧瑟福散射公式庫侖散射公式式中，

a為庫侖散射因子，b為瞄準距離，也稱碰撞參數(shù)即入射粒子與固定散射體無相互作用情況下的最小直線作用距離。θ為散射角。該圖描述了入射能量為E，電荷為Z1e的帶電粒子，與電荷為Z2e的靶核發(fā)生散射的情況。庫侖力是中心力滿足角動量守恒方程

為入射和出射速度

為方向上的單位矢，方向上的分量分別為，根據(jù)能量守恒：

是變化的單位矢量,積分需要變換成固定的單位矢量,再積分

能量為7.68MeV的α粒子在金箔上散射時，b與θ的關(guān)系瞄準距離b/fm散射角/度1011210016.910001.7

由此可見，采用盧瑟福模型可以解釋大散射角的情況。三、盧瑟福散射公式的推導(dǎo)

由庫侖散射公式可以看出，θ和b具有一一對應(yīng)關(guān)系：b大，θ小；b小，θ大。故瞄準距離在b~b+db之間的粒子，經(jīng)散射必定向θ~θ-dθ

之間的角度射出。凡通過以b內(nèi)半徑，b+db為外半徑的圓環(huán)面積的粒子，必定散射到角度在之間的一個空心圓錐體內(nèi)。那么粒子打在該環(huán)上的可能性如何？θθ-dθdθb+dbb設(shè)：能量（動能）E為的粒子以瞄為準距離b向原子核運動，速度的大小不變（方向有變化），金箔面積為A，厚度為t。環(huán)的面積為，則粒子打在該環(huán)上的幾率為立體角定義： 意義：相對一點張開的錐形空間的大小。整個空間。其微分形式可表示為

假如單位體積內(nèi)的原子核數(shù)為n，則在體積At內(nèi)共有Ant個原子核，也既有Ant個“環(huán)”。α

粒子打在這樣的環(huán)上散射角都是θ，故一個α粒子打在金箔上被散射到范圍內(nèi)的幾率為（假定金箔中各原子核前后互不遮蔽，每個核都起作用）

At若有N個粒子打在金箔上，則在方向上測量到α粒子數(shù)應(yīng)為

定義微分截面

微分截面可表示為

這就是著名的盧瑟福散射公式。的物理意義是，粒子散射到方向單位立體角內(nèi)每個原子的有效面積。實際上是圓環(huán)面積和所對應(yīng)立體角的比值。其單位是米2/球面度（）。至此我們導(dǎo)出了盧瑟福散射公式。

四、盧瑟福散射公式的實驗驗證1、同一α粒子源和同一散射體，2、同一α粒子源和同一材料的散射體，在同一散射角，3、同一散射體，同一散射角，4、同一α粒子源和同一散射角，對同一nt值，由上述公式可以得到以下關(guān)系

1913年，蓋革和馬斯頓在實驗中驗證了以上四個結(jié)論。1920年，查德維克采用盧瑟福公式第一次直接通過實驗測定了原子的電荷數(shù)。證明了原子的電荷數(shù)等于這元素的原子序數(shù)，進一步有力地證明了盧瑟福公式的正確性，也既證明了盧瑟福原子模型的正確性。

相同之處不同之處盧瑟福模型1、都受1/r2力的支配；2、體系總質(zhì)量的99.9%都集中在中心庫侖力太陽系

正是由于二者的不同之處導(dǎo)致了盧瑟福模型三個困難中的第一個困難。盧瑟福模型和太陽系的比較

萬有引力1、瑟福模型無法解釋原子的穩(wěn)定性；盧瑟福模型只說明電子繞核運動，至于電子如何分布，如何運動并沒有提出具體的要求。電子繞核作加速運動時，要以電磁波的形式向外輻射能量，形成電子向著核作螺旋形的運動，最后在極短的時間內(nèi)掉入核內(nèi)，從而使正負電荷中和，原子全部崩潰（原子坍塌），然而現(xiàn)實世界中沒有該現(xiàn)象的發(fā)生。這是盧瑟福模型的致命弱點。2、無法解釋原子的同一性。3、無法解釋原子的再生性。五、盧瑟福模型的困難§4光的波粒二象性一、光的本性之爭1、1655年，意大利波侖亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授格里馬第在觀測放在光束中的小棍子的影子時，首先發(fā)現(xiàn)了光的衍射現(xiàn)象。據(jù)此他推想光可能是與水波類似的一種流體。2、1672年，牛頓在他的論文《關(guān)于光和色的新理論》中談到了他所作的光的色散實驗。他認為，光的復(fù)合和分解就像不同顏色的微粒混合在一起又被分開一樣。在這篇論文里他用微粒說闡述了光的顏色理論。（胡克認為光的顏色與頻率有關(guān)）3、1678年，惠更斯向巴黎科學(xué)院提交了他的光學(xué)論著《光論》。在《光論》一書中，他系統(tǒng)的闡述了光的波動理論。惠更斯認為，光是一種機械波；光波是一種靠物質(zhì)載體來傳播的縱向波，傳播它的物質(zhì)載體是“以太”；波面上的各點本身就是引起媒質(zhì)振動的波源。1、惠更斯舉出了一個生活中的例子來反駁微粒說。如果光是由粒子組成的，那么在光的傳播過程中各粒子必然互相碰撞，這樣一定會導(dǎo)致光的傳播方向的改變。2、牛頓提出了兩點反駁惠更斯的理由：第一，光如果是一種波，它應(yīng)該同聲波一樣可以繞過障礙物、不會產(chǎn)生影子；第二，冰洲石的雙折射現(xiàn)象說明光在不同的邊上有不同的性質(zhì)，波動說無法解釋其原因。牛頓VS胡克和惠更斯把他的物質(zhì)微粒觀推廣到了整個自然界，并與他的質(zhì)點力學(xué)體系融為一體，為微粒說找到了堅強的后盾。牛頓的《光論》發(fā)表于1704年，胡克惠更斯都已經(jīng)去世導(dǎo)致無人應(yīng)戰(zhàn)，粒子說逐漸占據(jù)統(tǒng)治地位。二、黑體輻射與普朗克的能量子假說1、基爾霍夫定律任何物體在任何溫度下都會產(chǎn)生輻射，即向周圍發(fā)射電磁波。輻射的總能量以及輻射能量按波長的分布規(guī)律，主要是由物體的溫度決定的，因此稱為熱輻射。物體不僅發(fā)射電磁波，而且同時也吸收電磁波，那么物體輻射的發(fā)射與吸收具有什么樣的關(guān)系？1859年，基爾霍夫發(fā)現(xiàn)任何物體的發(fā)射本領(lǐng)和吸收本領(lǐng)的比值與物體特性無關(guān)，是波長和溫度的普適函數(shù)

上式稱為基爾霍夫熱輻射定律。1862年他又進一步得出絕對黑體的概念。他的熱輻射定律和絕對黑體概念是開辟20世紀物理學(xué)新紀元的關(guān)鍵之一。1900年M.普朗克的量子論就發(fā)軔于此。

2、黑體與黑體輻射

若一物體對什么光都只吸收而無反射，稱這種物體為“絕對黑體”，簡稱黑體。黑體是理想的物體，實際物體被照射后，不會吸收全部照射的能量，總有部分能量被散射、透射。我們可以將如圖所示的空腔看成近似黑體。

將該空腔其均勻加熱，當(dāng)T溫度一定時，測量小孔發(fā)出的輻射，并使輻射能量按波長排列，可以得到曲線，其中表示從黑體所輻射出去的波長在范圍內(nèi)的能量大小，即發(fā)射本領(lǐng)，它和輻射總能量有以下關(guān)系

改變溫度，可得不同溫度下的實驗曲線。

1893年，維恩通過實驗測得了黑體輻射本領(lǐng)在不同溫度下隨λ的變化規(guī)律：在一定溫度下，連續(xù)譜中有一波長λm對應(yīng)最大的輻射能量，λm稱為峰值波長，該波長隨溫度的升高向短波方向移動，實驗測得λm和T的乘積為常量在溫度一定的情況下，輻射能量按波長排列，可以得到R~λ曲線

為找出圖中R、λ和T的關(guān)系，前人作了很大的努力，他們從不同的角度出發(fā)得到了不同的表達式，其中最著名的是維恩公式和瑞利—金斯公式。

R維恩位移公式RT

維恩根據(jù)實驗結(jié)果，從熱力學(xué)理論出發(fā)得出黑體輻射的能量分布應(yīng)滿足以下關(guān)系式中=，為經(jīng)驗參數(shù)，T為平衡時溫度，此公式在高頻（短波）部分與實驗相符很好。

瑞利和金斯根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)導(dǎo)出如下公式

此公式在低頻（長波）部分與實驗相符很好，但隨頻率增大與實驗值的差距也越來越大，當(dāng)時引起發(fā)散，這就是著名的“紫外災(zāi)難”。

實驗瑞利-金斯維恩理論值T=1646K高頻（短波）低頻（長波）維恩公式在短波方面與實驗一致，而瑞利—金斯公式在長波方面與實驗一致。在這些工作成果的啟發(fā)下，基爾霍夫的學(xué)生普朗克于1900年10月19日提出了一個黑體輻射能量密度的分布公式這個公式使普朗克為了湊合實驗數(shù)據(jù)而猜出來的。當(dāng)hv>>kT，上式就是維恩公式，而當(dāng)時hv<<kT

，上式就是瑞利—金斯公式。由于上式得到的理論數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)精確地相符。促使普朗克決心“不惜一切代價找到一個理論的解釋”，經(jīng)過2個月的潛心研究他提出了：電磁輻射的能量只能是量子化的，即這就是著名的普朗克公式。式中h稱為普朗克常數(shù)，其值為實驗瑞利-瓊斯維恩理論值T=1646k瑞利-瓊斯普朗克理論值

②振子存在著能量的最小單元（能量子

=hν);

h=6.62610-34焦耳。③每個振子的能量只能取特定的分立值，振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量，由一個能量狀態(tài)躍遷到另一個能量狀態(tài)3、普朗克假說①輻射物體中包含大量帶電線性諧振子，它們既可以吸收也可以輻射電磁波

普朗克關(guān)于能量只能取分離值，即能量量子化的概念，和經(jīng)典物理傳統(tǒng)觀念是完全不相容的，它是近代物理學(xué)中最基本的概念。這一概念不僅解釋了黑體輻射的實驗規(guī)律，而且為認識微觀世界、建立近代物理中量子理論奠定了基礎(chǔ)，在物理學(xué)的發(fā)展史上起了重要的作用。

三、光電效應(yīng)與愛因斯坦的光量子假說1、

光電效應(yīng)及其實驗規(guī)律

金屬表面被照射后釋放電子的現(xiàn)象，稱為光電效應(yīng)，逸出的電子叫光電子(Photo-electron).

1887年赫茲在萊頓瓶放電實驗中首次發(fā)現(xiàn)了光電效應(yīng)現(xiàn)象；此后，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，紫外光、X射線照射到金屬上，都能觀察到金屬表面有電子逸出的現(xiàn)象。1900年林納實驗證明了金屬在紫外光的照射下發(fā)射電子，兩年以后他進一步發(fā)現(xiàn)：光電效應(yīng)的實驗規(guī)律不能用經(jīng)典波動理論解釋。光電效應(yīng)的實驗裝置如圖所示

A─陽極

K─陰極

G─電流計

U─電壓表UGKA區(qū)分光的強度和光的頻率光電效應(yīng)的實驗規(guī)律①飽和電流

光電流I隨加在光電管兩端電壓V變化的曲線，叫做光電伏安特性曲線。當(dāng)光的強度與頻率v一定時，隨t的增大，光電流I趨近一個飽和值（飽和時，所逸出的電子全部達到A極）。實驗表明：飽和電流I與光強成正比，即單位時間內(nèi)由陰極發(fā)出的光電子數(shù)

N

與光強成正比。

UG②遏止電壓

當(dāng)反向電壓大到一定數(shù)值Uα?xí)r，光電流減少至零，叫做遏止電壓。實驗表明：遏止電壓與光強度無關(guān)。遏止電壓的存在表明光電子的初速度v0

有一上限，與此相應(yīng)的動能也具有一上限