橢圓的定義及其標準方程

211橢圓及其標準方程生活中的橢圓思考數(shù)學實驗1取一條細繩，2把它的兩端固定在板上的兩個定點F1、F23用鉛筆尖（P）把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形1在橢圓形成的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？2在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？3在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？F1F2F2F1P1由于繩長固定，所以點P到兩個定點的距離和是個定值（2）點P到兩個定點的距離和要大于兩個定點之間的距離（一）橢圓的定義平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（2a）（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。定點F1、F2叫做橢圓的焦點。兩焦點之間的距離叫做焦距（2C）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：(2a>2c)MF2F1小結：橢圓的定義需要注意以下幾點1平面上----這是大前提1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)2a注意：>2c時,軌跡是（）橢圓=2c時,軌跡是一條線段,是以F1、F2為端點的線段．<2c時,無軌跡,圖形不存在=0時,軌跡為圓．?探討建立平面直角坐標系的方案建立平面直角坐標系通常遵循的原則：對稱、“簡潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2Oxy解：取過焦點F1、F2的直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系如圖設M,y是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2cc>0，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a2a>2c，則F1、F2的坐標分別是c,0、c,0xF1F2M0y（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標橢圓的標準方程的推導兩邊除以

得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方，得移項，再平方焦點在y軸：焦點在軸：橢圓的標準方程1oFyx2FM12yoFFMx

圖形方程焦點F±c，0F0，±ca,b,c之間的關系a2=b2c2MF1MF2=2a2a>2c>0定義12yoFFMx1oFyx2FM兩類標準方程的對照表注:共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1哪個分母大，焦點就在哪個軸上。練習1：判定下列橢圓的焦點在哪個軸，并指明a2、b2，寫出焦點坐標。答：在軸（-3，0）和（3，0）答：在y軸（0，-5）和（0，5）答：在y軸。（0，-1）和（0，1）先定位，再定量口答：下列方程哪些表示橢圓？

0<b<9練一練：a>33、已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1的弦，則?F2CD的周長為________5433,0、-3,06２0F1F2CD|CF1||CF2|=2a例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；解：∵橢圓的焦點在軸上∴設它的標準方程為∴所求的橢圓的標準方程為∵2a=10，c=4（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經過點解：∵橢圓的焦點在y軸上，由橢圓的定義知，∴設它的標準方程為又∵c=2∴所求的橢圓的標準方程為例2:如圖，在圓解：設M,y,P0,y0所以M點的軌跡是一個焦點在軸上的橢圓。上任取一點P，過P作軸的垂線段的軌跡是什么？例3：若方程42y2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求的取值范圍。解：由42y2=1,可得因為方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，所以即：<4所以的取值范圍為0<<4。例4、化簡：答案：|MF1||MF2|=10分析：點,y到兩定點0,