建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題第二課時1

人教2019版必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)453函數(shù)模型的應(yīng)用課程目標(biāo)

1能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題2能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象：建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；2邏輯推理：通過數(shù)據(jù)分析，確定合適的函數(shù)模型；3數(shù)學(xué)運(yùn)算：解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果；4數(shù)據(jù)分析：把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答；5數(shù)學(xué)建模：借助函數(shù)模型，利用函數(shù)的思想解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題

自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本148-150頁，思考并完成以下問題1常見的數(shù)學(xué)模型有哪些？其中待定系數(shù)有哪些限制條件？2解決實(shí)際問題的基本過程是什么？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。知識清單1常見的數(shù)學(xué)模型有哪些1一次函數(shù)模型:f=b,b為常數(shù),≠0;3二次函數(shù)模型:f=a2bca,b,c為常數(shù),a≠0;注意:二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型,在高考的應(yīng)用題考查中最為常見4指數(shù)函數(shù)模型:f=a·bca,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,且b≠1;5對數(shù)函數(shù)模型:f=mloganm,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1;6冪函數(shù)模型:f=anba,b,n為常數(shù),a≠0,n≠1;7分段函數(shù)模型:這個模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛2解答函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時,一般要分哪四步進(jìn)行1審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；2建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；4還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．題型一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用

題型分析舉一反三例1某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱價格每提高1元,平均每天少銷售3箱①求平均每天的銷售量y箱與銷售單價元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式;②求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w元與銷售單價元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式;③當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤最大利潤是多少解:①根據(jù)題意,得y=90-3-50,化簡,得y=-324050≤≤55,∈N②因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤所以w=-40-3240=-32360-960050≤≤55,∈N③因?yàn)閣=-32360-9600=-3-6021200,所以當(dāng)<60時,w隨的增大而增大又50≤≤55,∈N,所以當(dāng)=55時,w有最大值,最大值為1125所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1125元解題方法（一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用）

1一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式ab≥0或≤0解答時,注意系數(shù)a的正負(fù),也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值2二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時,可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值,也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍

1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:①買一個茶壺贈一個茶杯;②按總價的92%付款某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個不少于4個,若購買茶杯個,付款y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠解:由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×45-4=560≥4,且∈N由優(yōu)惠辦法②可得y2=520×4×92%=736≥4,且∈Ny1-y2=-136≥4,且∈N,令y1-y2=0,得=34所以,當(dāng)購買34個茶杯時,兩種優(yōu)惠辦法付款相同;當(dāng)4≤<34時,y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當(dāng)>34時,y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢題型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本05萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資025萬元,經(jīng)預(yù)測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t單位:百件時,銷售所得的收入約為5t-t2萬元1若該公司的年產(chǎn)量為單位:百件,試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);2當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年所得利潤最大解:1當(dāng)0<≤5時,產(chǎn)品全部售出,當(dāng)>5時,產(chǎn)品只能售出500件所以,所以當(dāng)=475百件時,f有最大值,fma=1078125萬元當(dāng)>5時,f<12-025×5=1075萬元故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時,當(dāng)年所得利潤最大解題方法（分段函數(shù)模型注意事項(xiàng)）

1分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏2分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集3分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論1甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品單位:百臺,其總成本為G單位:萬元,其中固定成本為28萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元總成本=固定成本生產(chǎn)成本,銷售收入R=假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉,根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:1寫出利潤函數(shù)y=f的解析式利潤=銷售收入-總成本2甲廠生產(chǎn)多少臺新產(chǎn)品時,可使盈利最多解:1由題意得G=282當(dāng)>5時,∵函數(shù)f單調(diào)遞減,∴f<82-5=32萬元當(dāng)0≤≤5時,函數(shù)f=-04-4236,當(dāng)=4時,f有最大值為36萬元故當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺時,可使盈利最大為36萬元題型三指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例3一片森林原來的面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,1求每年砍伐面積的百分比;2到今年為止,該森林已砍伐了多少年3今后最多還能砍伐多少年解得n≤15故今后最多還能砍伐15年解題方法（指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型注意事項(xiàng)）

1本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示,通常可以表示為y=N·1p其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,為時間的形式2在實(shí)際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題,都常用到指數(shù)型函數(shù)模型1大西洋鮭魚每年都要逆流而上,單位:m/s,鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與log3成正比,且當(dāng)Q=900時,v=11求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式;2計算