線性回歸方程

232線性回歸直線方程

長沙市雷鋒學(xué)校高一數(shù)學(xué)組1、兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系正相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負(fù)相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域2、成正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖分別有什么特點(diǎn)？復(fù)習(xí)回顧:上節(jié)在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：課堂探究——回歸直線通過散點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)人體的脂肪含量與年齡之間是正相關(guān)，那么當(dāng)年齡增加時(shí)，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？我們這一節(jié)就從理論上研究一下思考1：散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的中心怎么確定？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布整體上看大致在經(jīng)過散點(diǎn)中心一條直線附近，思考2：樣本點(diǎn)的分布有什么規(guī)律？我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，回歸直線的方程簡稱：回歸方程問題：如何才能找到合適的回歸直線？方案1、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。合作交流——回歸直線方程方案2、在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。方案3：先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎科學(xué)嗎？準(zhǔn)確嗎？怎樣的方法是最好的？根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可畫出不同的直線來近似地表示這種線性關(guān)系，但讓人感覺可靠性不強(qiáng)．這里在y的上方加記號“^”，是為了區(qū)別實(shí)際值y，y對的回歸直線方程．a(chǎn)，b叫做回歸系數(shù)．要確定回歸直線方程，只要確定回歸系數(shù)a，b

}}由于含有絕對值，運(yùn)算不方便，于是改用為則n個(gè)距離之和可表達(dá)為：代表n個(gè)點(diǎn)與回歸直線的“整體距離偏差）”求回歸直線方程：以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)。通過求的Q最小值而得到回歸直線方程的方法，即求線性回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離偏差的平方和最小的方法叫做最小二乘法。問題歸結(jié)為：求當(dāng)a，b取何值時(shí)Q最小值，整體距離最小用最小二乘法的探索過程根據(jù)數(shù)學(xué)理論含絕對值，運(yùn)算不方便求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第三步，代入公式，計(jì)算b,a利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為,由此我們可以根據(jù)一個(gè)人個(gè)年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？2087%例1、下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量噸與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y噸標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5例題精講（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)的線性回歸方程（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)2求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？1散點(diǎn)圖如圖所示：3根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤為07×100＋035＝7035噸，故耗能減少了90－7035＝1965噸標(biāo)準(zhǔn)煤．經(jīng)驗(yàn)小結(jié)：1下列說法:①線性回歸方程適用于一切樣本和總體;②線性回歸方程一般都有局限性;③樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍;④線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值其中正確的是___________②③————2實(shí)驗(yàn)測得四組,y的值為1,2，2,3，3,4，4,5，則y與之間的回歸直線方程為A————年與所支出的維修