中職數(shù)學(xué)教學(xué)課件：第7章-平面向量

第七章平面向量本章主要研究平面向量的概念及線性運(yùn)算，平面向量的坐標(biāo)表示與平面向量的內(nèi)積.7.1平面向量的概念◎教學(xué)目標(biāo)（1）了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；（2）掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關(guān)系；（3）通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的質(zhì)區(qū)別.唉,哪兒去了?嘻嘻!大笨貓!AB引入不能，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了。BA位移不同老鼠由A向東北方向以6m/s的速度逃竄,而貓由B向東南方向10m/s的速度追.問貓能否抓到老鼠？為什么？重力、浮力、彈力有大小、有方向許多物理量都有這樣的性質(zhì)．．．抽象概括向量（一）向量的概念

定義：既有大小又有方向的量叫向量。2.向量與數(shù)量的區(qū)別：①數(shù)量只有大小

②向量有方向，大小雙重屬性，而方向是不能比較大小的，因此向量不能比較大小。

注：1.向量?jī)梢兀捍笮。较颍梢员容^大小。注：物理中向量與數(shù)量分別叫做矢量、標(biāo)量(二）向量的表示方法

1、幾何表示法：

用有向線段表示。A(起點(diǎn)）B(終點(diǎn)）有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度2、小寫字母a,b,c…印刷用黑體表示，手寫時(shí)寫成此易錯(cuò)也，望記住2、向量的字母表示：注：由起點(diǎn)指向終點(diǎn)；

（三）向量的模注：向量的模是可以比較大小的記作：如：

向量的模(或長(zhǎng)度)就是向量的大小1.零向量:

2.單位向量:長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量長(zhǎng)度（模）為0的向量，記作規(guī)定：方向是任意的。（四）兩個(gè)特殊向量1.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。abc

a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4（五）.

向量間的關(guān)系：注：1.若向量

相等，則記為

；2.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來

表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。3、向量可以自由平移規(guī)定：0=0規(guī)定：零向量與任一向量平行記作：////

2.平行向量：方向或的向量叫平行向量

如下圖：平行相同相反任一組平行向量都可移到同一條直線上,平行向量也叫共線向量記作:3.向量的負(fù)向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量。ab向量的負(fù)向量，記作－．

規(guī)定：零向量的負(fù)向量仍為零向量．與—

互為相反向量相等的有7個(gè)長(zhǎng)度相等的有15個(gè).試一試?yán)?．判斷下列結(jié)論是否正確。(1)平行向量方向一定相同；()(2)不相等向量一定不平行；()(3)與零向量相等的向量是零向量；()(4)單位向量是相等向量；()(5)共線向量一定在一條直線上；()(6)相等向量一定是平行向量;

(

)××√××√

【例2】:如圖，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量，負(fù)向量。BACDEFOBACDEFO解：下面幾個(gè)命題：

C（3）若

|a|=|b|，則a=b（2）若|a|=0，則

a=0（1）若a=

b，

b=c，則a=c。A．0

B.1C.2D.3其中正確的個(gè)數(shù)是()（5）向量AB∥CD，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；（4）兩個(gè)向量a=ba∥b

|a|=|b|7.2平面向量的運(yùn)算◎教學(xué)目標(biāo)（1）能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量；（2）在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和，比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等；（3）通過探究活動(dòng)，掌握向量減法概念，理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量；（4）學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量；（5）通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

臺(tái)北香港上海從運(yùn)動(dòng)的合成看向量運(yùn)算在大陸和臺(tái)灣沒有直航之前，臺(tái)灣同胞要到上海探親，得乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再從香港到上海，那么這兩次位移之和是什么？ABC位移叫做位移與位移的和，記作F1F2FEOOEF1+F2=F從力的合成看向量運(yùn)算橡皮條在力F1與F2的作用下，從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)；同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn).問:合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？F1F2FF是以F1與F2為鄰邊所形成的平行四邊形的對(duì)角線ABC向量的加法運(yùn)算運(yùn)動(dòng)的合成力的合成F1F2FF1+F2=F

數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，AC可以認(rèn)為是AB與BC的和，F(xiàn)可以認(rèn)為是F1與F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量的加法法則：三角形法則、平行四邊形法則o·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型向量加法法則CA·B位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型向量加法法則總結(jié)與拓展向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們首尾相連2.和向量即是第一個(gè)向量的首指向第二個(gè)向量的尾向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到同一起點(diǎn)2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點(diǎn)的對(duì)角線三角形法則推廣為多邊形法則：探究一：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相加？ABC(1)同向(2)反向ABC探究二：向量的加法是否具備交換律和結(jié)合律？數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對(duì)任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？向量加法滿足交換律和結(jié)合律：以上兩個(gè)運(yùn)算律可以推廣到任意多個(gè)向量.練習(xí)：1、化簡(jiǎn)××××√例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實(shí)際航行速度．ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實(shí)際航行速度，顯然

解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計(jì)算器求得即船的實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約例4用兩條同樣的繩子掛一個(gè)物體,設(shè)物體的重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小．

繩子的方向與垂線的夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，可以得到所以根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(shí)，兩臂成什么角度時(shí)，雙臂受力最?。俊矫嫦蛄康臏p法運(yùn)算動(dòng)腦思考探索新知與數(shù)的運(yùn)算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．即

觀察圖可以得到：起點(diǎn)相同的個(gè)向量，其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，兩個(gè)向量a、b，其差a?b仍然是一終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn)．a(chǎn)Aa－bBbO設(shè)a，b，則向量減法法則要點(diǎn):1.平移到同一起點(diǎn)；2.指向被減向量.ABOABO探究三：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相減？(1)同向(2)反向探究四：平行四邊形法則的兩條對(duì)角線ADCB——平面向量的數(shù)乘運(yùn)算aaaABCOa-a-a-aPQMN向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義你能說出向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義嗎？數(shù)乘向量運(yùn)算律向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算.第一分配律第二分配律數(shù)乘結(jié)合律1.如何證明？2.如何解釋運(yùn)算律的幾何意義，尤其是(3)？線性運(yùn)算練習(xí)兩非零向量共線的充要條件：例5在平行四邊形ABCD中，O為兩對(duì)角線交點(diǎn)如圖，＝a，＝b，試用a,b表示向量、解＝a＋b，＝b?a，

因?yàn)镺分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和

a＋b

都叫做向量a，b的線性組合，或者說，可以用向量a，b線性表示．一般地，a＋b叫做a,b的一個(gè)線性組合（其中均為實(shí)數(shù)），如果l＝a＋

b，則稱l可以用a，b線性表示．

自我反思目標(biāo)檢測(cè)向量概念及表示：向量間的關(guān)系：向量的線性運(yùn)算：7.3平面向量的坐標(biāo)表示◎教學(xué)目標(biāo)(1)掌握平面向量的坐標(biāo)表示；(2)會(huì)進(jìn)行向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；(3)掌握向量共線的充要條件.創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，x軸的單位向量為i,y軸的單位向量為j，為從原點(diǎn)出發(fā)的向量，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）．則

由平行四邊形法則知圖7－17動(dòng)腦思考探索新知設(shè)i,j分別為x軸、y軸的單位向量，(1)設(shè)點(diǎn)，則（如圖7－18(1)）；

OxijM(x,y)yjiBAOyx圖7－18(1)圖7－18(2)向量的坐標(biāo)等于原點(diǎn)到終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)減去原點(diǎn)到起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)．動(dòng)腦思考探索新知由此看到，對(duì)任一個(gè)平面向量a，都存在著一對(duì)叫做向量a的坐標(biāo)，記作

，使得．有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)圖7－19鞏固知識(shí)典型例題例1如圖7－19所示，用x軸與y軸上的單位向量i、j表示向量a、b,并寫出它們的坐標(biāo)．解因?yàn)?/p>

＝5i＋3j，

a＝＋所以同理可得可以看到，從原點(diǎn)出發(fā)的向量，其坐標(biāo)在數(shù)值上與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)是相同的．鞏固知識(shí)典型例題已知點(diǎn)，求的坐標(biāo)．例2

解運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)組合表示向量．

1．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，3），寫出向量的坐標(biāo)，并用i與j的線性2．設(shè)向量,寫出向量e的坐標(biāo)．

運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)．(1)(2)(3)(1)(2)(3)運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)略．已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求的坐標(biāo)及模．

(1)

A(5,3)，B(3，?1)；(2)

A(1,2)，B(2，1)；(3)

A(4,0)，B(0，?3)．3．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入圖7－20觀察圖7－20，向量可以看到，兩個(gè)向量和的坐標(biāo)恰好是這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和．動(dòng)腦思考探索新知設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，，則

所以（7.6）類似可以得到（7.7）（7.8）鞏固知識(shí)典型例題例3設(shè)a＝(1,?2),b＝(?2,3)，求下列向量的坐標(biāo)：(1)a＋b，(2)－3a，(3)3a－2b．解(1)a＋b＝(1,?2)＋(?2,3)＝(?1,1)

(2)?3a＝?3(1,?2)＝(?3,6)(3)3a－2a＝3(1,?2)－2(?2,3)＝(3,?6)－(?4,6)＝(7,?12)．運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)已知向量a,b的坐標(biāo)，求a＋b、a－b、?2a＋3b的坐標(biāo)．（1）a＝(?2,3)，b=(1,1)；（2）a＝(1,0)，b=(?4,?3)；（3）a＝(?1,2)，b=(3,0)．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了公式（7.4），知道對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)時(shí)，有

如何用向量的坐標(biāo)來判斷兩個(gè)向量是否共線呢？動(dòng)腦思考探索新知由此得到，對(duì)非零向量a、b，設(shè)當(dāng)時(shí)，有（7．9）鞏固知識(shí)典型例題解例4設(shè)，判斷向量a、

b是否共線．由于3×2?1×6＝0，

故由公式（7．9）知，，即向量a、b共線．運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)略．(2)

a＝(1,?1)，b＝(?2,2)；(3)

a＝(2,1)，b＝(?1,2)．判斷下列各組向量是否共線：(1)

a＝(2,3)，b＝(1,)；

向量坐標(biāo)的概念？

1自我反思目標(biāo)檢測(cè)一般地，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，x軸的單位向量為i,y軸的單位向量為j，則對(duì)于從原點(diǎn)出發(fā)的任意向量a都有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量a的坐標(biāo)，記作

向量的坐標(biāo)等于原點(diǎn)到終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)減去原點(diǎn)到起點(diǎn)的向量的坐標(biāo).

.

任意起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示？

2

共線向量的坐標(biāo)表示？

3對(duì)非零向量a、

b，設(shè)當(dāng)時(shí)，有

自我反思目標(biāo)檢測(cè)

學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

自我反思目標(biāo)檢測(cè)7.4平面向量的內(nèi)積◎教學(xué)目標(biāo)（（1）了解平面向量?jī)?nèi)積的概念及其幾何意義；（2）了解平面向量?jī)?nèi)積的計(jì)算公式.為利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ)；（3）通過實(shí)例引出向量?jī)?nèi)積的定義,培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力.創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入Fs圖7—21O如圖7－21所示，水平地面上有一輛車，某人用100N的力，角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100m．朝著與水平線成那么，這個(gè)人做了多少功？

做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積．力F是水平方向的力W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即動(dòng)腦思考探索新知W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內(nèi)積,它是一個(gè)數(shù)量，又叫做數(shù)量積．BAOab如圖，設(shè)有兩個(gè)非零向量a，b，作由射線OA與OB所形成的的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a，b>．兩個(gè)向量a，b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b，即

a·b＝|a||b|cos<a，b>(7.10)

由內(nèi)積的定義可知a·0＝0,0·a＝0.動(dòng)腦思考探索新知?jiǎng)幽X思考探索新知由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：當(dāng)a＝b時(shí)，有<a，a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝cos<a,b>＝當(dāng)<a,b>＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>=時(shí)，a·b＝?|a||b|．a(chǎn)·b＝0ab.

對(duì)非零向量a，b，有動(dòng)腦思考探索新知可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：a·b＝b·a.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

一般地，向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即鞏固知識(shí)典型例題例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a，b>＝60°，求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a，b>

＝3×2×cos60°＝3．鞏固知識(shí)典型例題例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解

cos<a,b>＝由于0≤<a,b>≤180°，所以<a,b>＝運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夾角為60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝30°，求(2a＋b)·b

．動(dòng)腦思考探索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1x2i?i＋x1y2i?j＋x2y1i?j＋y1y2j?j

＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2

＝x1x2＋y1y2.

這就是說，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即

a·b＝x1x2＋y1y2

(7.11)

設(shè)a＝(x,y)，則，即(7.12)動(dòng)腦思考探索新知

cos<a,b>＝(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0

x1x2＋

y1y2