20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用1.3.3最大值與最小值講義含解析蘇教版選修2220190416336

1．3.3最大值與最小值[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P19]1．問題：如何確定你班哪位同學(xué)最高？提示：方法很多，可首先確定每個(gè)學(xué)習(xí)小組中最高的同學(xué)，再比較每組的最高的同學(xué)，便可確定班中最高的同學(xué)．2．如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．問題1：試說明y＝f(x)的極值．提示：f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值．問題2：你能說出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值嗎？提示：函數(shù)的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函數(shù)的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．3．函數(shù)y＝g(x)，y＝h(x)在閉區(qū)間[a，b]的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)．問題1：兩函數(shù)的最大值和最小值分別是什么？提示：函數(shù)y＝g(x)的最大值為g(a)，最小值是其極小值g(c)；函數(shù)y＝h(x)的最大值為h(b)，最大值為h(a)．問題2：函數(shù)的最大值和最小值是否都在區(qū)間的端點(diǎn)處取得？提示：不一定．問題3：函數(shù)的極值與函數(shù)的最值是同一個(gè)問題嗎？提示：不是．1．最大值與最小值(1)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最大值．最大值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．(2)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)在定義域上的最小值．最小值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．2．求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將第(1)步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．1．函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較，具有相對(duì)性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．2．函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有惟一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值．3．極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值． 求函數(shù)的最大值與最小值[例1]求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值．[思路點(diǎn)撥]→→→→→[精解詳析]f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 極大值4 極小值3 極大值4 －5所以當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.[一點(diǎn)通]求函數(shù)的最值需要注意的問題：(1)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值與求函數(shù)的極值方法類似，在給定區(qū)間是閉區(qū)間時(shí)，極值要和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，并且要注意取極值的點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)；(2)當(dāng)函數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)大于2或用傳統(tǒng)方法不易求解時(shí)，可考慮用導(dǎo)數(shù)的方法求解．1．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m.則M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.計(jì)算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：322．求函數(shù)f(x)＝ex(3－x2)在區(qū)間[2,5]上的最值．解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在區(qū)間[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是單調(diào)遞減函數(shù)，∴x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)＝－22e5. 已知函數(shù)的最值求參數(shù)[例2]已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在區(qū)間[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論．[精解詳析]由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)函數(shù)，與題設(shè)矛盾．取導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍)．(1)∵當(dāng)a＞0時(shí)，如下表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) ＋ 0 －f(x) 最大值 ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值，f(0)＝3，∴b＝3.又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3，∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2.(2)∵當(dāng)a＜0時(shí)，如下表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) － 0 ＋f(x) 最小值 ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29，∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.綜上，或[一點(diǎn)通]解決由函數(shù)的最值來確定參數(shù)問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值，同時(shí)由于系數(shù)a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響，其最值也受a的符號(hào)的影響，因此，需要進(jìn)行分類討論．本題是運(yùn)用最值的定義，從逆向出發(fā)，由已知向未知轉(zhuǎn)化，通過待定系數(shù)法，列出相應(yīng)的方程，從而得出參數(shù)的值．3．已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx，a∈R.(1)若a＝2，求函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．解：(1)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2lnx，f(1)＝，f′(x)＝x－，f′(1)＝－1，故切線方程為y－＝－(x－1)，即2x＋2y－3＝0.(2)依題意，x＞0，f′(x)＝x－＝(x2－a)，①a≤1時(shí)，因?yàn)閤∈[1，e]，1≤x2≤e2，所以f′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，最小值為f(1)＝.②a≥e2時(shí)，因?yàn)?≤x2≤e2，所以f′(x)≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝e，a＝e2時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，最小值為f(e)＝e2－a.③1＜a＜e2時(shí)，解f′(x)＝(x2－a)＝0得x＝±(負(fù)值舍去)，f′(x)的符號(hào)和f(x)的單調(diào)性如下表：x f′(x) － 0 ＋f(x) 最小值 f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f＝a－alna.綜上所述，a≤1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝；1＜a＜e2時(shí)，f(x)的最小值為f＝a－alna；a≥e2時(shí)，f(x)的最小值為f(e)＝e2－a.4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因?yàn)榍€y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)記h(x)＝f(x)＋g(x)，當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)與h′(x)在(－∞，2]上的變化情況如下：x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1,2) 2h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 28 －4 3由此可知：當(dāng)k≤－3時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為h(－3)＝28；當(dāng)－3<k<2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范圍是(－∞，－3]． 與最值有關(guān)的恒成立問題[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m，對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路點(diǎn)撥](1)可通過配方求函數(shù)f(x)的最小值；(2)h(t)<－2t＋m，即m>h(t)＋2t恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為求h(t)＋2t的最大值問題解決．[精解詳析](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.則g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．列表：t (0,1) 1 (1,2)g′(t) ＋ 0 －g(t) 極大值1 由表可知，g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值1.∵h(yuǎn)(t)<－2t＋m在(0,2)恒成立等價(jià)于m>g(t)在(0,2)內(nèi)恒成立．∴m>1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．[一點(diǎn)通]有關(guān)恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．求解時(shí)要確定這個(gè)函數(shù)，看哪一個(gè)變量的范圍已知，即函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù)．一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.5．已知g(x)＝lnx－a，若g(x)<x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范圍．解：g(x)<x2即lnx－a<x2，所以a>lnx－x2，故g(x)<x2在(0，e]上恒成立也就是a>lnx－x2在(0，e]上恒成立．設(shè)h(x)＝lnx－x2，則h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0<x≤e得x＝.當(dāng)0<x<時(shí)h′(x)>0，當(dāng)<x≤e時(shí)h′(x)<0，即h(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝時(shí)h(x)取得最大值為h＝ln－.所以g(x)<x2在(0，e]上恒成立時(shí)，a的取值范圍為.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解：(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于k<＋x(x>0)．①令g(x)＝＋x，則g′(x)＝＋1＝.由(1)知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零點(diǎn)．故g′(x)在(0，＋∞)上存在惟一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)．當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等價(jià)于k<g(α)，故整數(shù)k的最大值為2.1．函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值．例如：函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上連續(xù)，但沒有最大值與最小值．2．設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，確定f(x)的最大值與最小值．3．求實(shí)際問題的最大值(最小值)的方法在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較．[對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(八)]一、填空題1．函數(shù)f(x)＝x－sinx，x∈的最大值是________．解析：∵f(x)＝x－sinx，∴f′(x)＝1－cosx≥0.∴函數(shù)f(x)＝x－sinx在上為單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)x＝π時(shí)，f(x)取最大值π.答案：π2.函數(shù)y＝的最大值為________．解析：y′＝＝，令y′＝0，則x＝e.因此函數(shù)f(x)的最大值為f(e)＝.答案：3．函數(shù)f(x)＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值為________．解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.而f(0)＝0，f(1)＝，f(4)＝.因此函數(shù)f(x)的最小值為0.答案：04．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為，則a＝________.解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.而f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠，∴a>－1.而f(2)＝－4－4＋3＝－5，因此f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－(舍去)或a＝－.答案：－5．函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4])上的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝________.解析：f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3時(shí)，f(x)取到最小值為b－27a.又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，因此f(4)為最大值．由解得所以a＋b＝.答案：二、解答題6．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋1(a＞0)．(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在(e，f(e))處的切線方程；(2)當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f(x)－1≥a.解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2lnx＋1，f′(x)＝，f(e)＝3，k＝f′(e)＝，所以函數(shù)f(x)在(e，f(e))處的切線方程為y－3＝(x－e)，即2x－ey＋e＝0.(2)令g(x)＝f(x)－1－a＝alnx－a(x＞0)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以g(x)在x＝1處取得極小值，也是最小值．因此g(x)≥g(1)＝0，即f(x)－1≥a.7．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)<0，則－3(x＋1)(x－3)<0，解得x<－1或