MBA數學必備公式打印版

.z......資料....MBA聯考數學基本概念和必備公式（一）初等數學部分一、絕對值1、非負性：即|a|≥0，任何實數a的絕對值非負。歸納：所有非負性的變量正的偶數次方（根式）負的偶數次方（根式）指數函數a*(a>0且a≠1)>0考點：若干個具有非負性質的數之和等于零時，則每個非負數必然為零。2、三角不等式，即|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|左邊等號成立的條件：ab≤0且|a|≥|b|右邊等號成立的條件：ab≥0要求會畫絕對值圖像二、比和比例1、2、合分比定理：等比定理：3、增減性(m>0),(m>0)注意本部分的應用題三、平均值1、當為n個正數時，它們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即當且僅當。2、3、4、n個正數的算術平均值與幾何平均值相等時，則這n個正數相等，且等于算術平均值。四、方程1、判別式（a,b,c∈R）2、圖像與根的關系△=b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根無實根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈3、根與系數的關系*1,*2是方程a*2+b*+c=0(a≠0)的兩個根，則**1＋*2＝－b/a*1·*2＝c/a*1，*2是方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的兩根4、韋達定理的應用利用韋達定理可以求出關于兩個根的對稱輪換式的數值來：（1）（2）（3）（4）5、要注意結合圖像來快速解題

五、不等式1、提示：一元二次不等式的解，也可根據二次函數的圖像求解。△=b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根無實根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈2、注意對任意*都成立的情況（1）對任意*都成立，則有：a>0且△<0（2）a*2+b*+c<0對任意*都成立，則有：a<0且△<03、要會根據不等式解集特點來判斷不等式系數的特點六、二項式1、，即：與首末等距的兩項的二項式系數相等2、，即：展開式各項二項式系數之和為2n3、常用計算公式4、通項公式(△)5、展開式系數容列表歸納如下：二項式定理公式所表示的定理成為二項式定理。二項式展開式的特征通項公式第k＋1項為，k＝0，1，…，n項數展開總共n＋1項指數a的指數：由；b的指數：由；各項a與b的指數之和為n展開式的最大系數當n為偶數時，則中間項（第項）系數最大；當n為奇數時，則中間兩項（第和項）系數最大。展開式系數之間的關系1．，即與首末等距的兩項系數相等；2．＋……，即展開式各項系數之和為；3．，即奇數項系數和等于偶數項系數和七、數列（二）微積分部分一、函數、極限、連續(xù)1、單調性：（注意嚴格單調與單調的區(qū)別）設有函數y=f(*)，*∈D，若對于D中任意兩點*1，*2(*1<*2)，都有f(*1)≤f(*2)(或f(*1)≥f(*2))，則稱函數f(*)在D上單調上升(或單調下降)。若上述不等號為嚴格不等號“<”(或“>”)，則稱函數f(*)在D上嚴格單調上升(或嚴格單調下降)。2、奇偶性：（1）定義：設函數y=f(*)的定義域D關于原點O對稱，若對于D中的任一個*，都有f(–*)=–f(*)(或f(–*)=f(*))，則稱函數f(*)為奇函數(或偶函數)。（2）圖像特點：奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于y軸對稱，函數y＝0既是奇函數，也是偶函數。3、4、常用等價無窮?。寒?0時，有e*－1～*ln(1＋*)～*(1＋*)n－1～n*引申：當(*)0時，ln(1＋(*))～eα(*)－1～(*)，(1＋(*))n－1～n·(*)5、當*+時，增長速度由慢到快排列：ln*，*α，α*，**6、7、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（1）最值定理一個閉區(qū)間函數一定在*一點，達到最大值，在*一點達到最小值。（2）零值定理設f(*)∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，。注意：零點定理只能說明存在性不能說明唯一性。應用：f(*)=0是一個方程，證明它在*一個區(qū)間上一定有根。二、一元函數微分學1、導數的數學定義式2、可導與連續(xù)的關系3、左右導數4、導數的幾何意義設點M0(*0,f(*0))是曲線y=f(*)上的上點，則函數f(*)在*0點處的導數f’(*0)正好是曲線y=f(*)過M0點的切線的斜率k，這就是導數的幾何意義。切線方程，（2）切線平行*軸切線方程：y=f(*0)，法線方程：*=*0(3)切線平行y軸切線方程：*=*0，法線方程：y=f(*0)常見函數求導公式f(*)C*a*e*loga|*|ln|*|f’(*)0*-1－a*lnae*6、7、高階導數（掌握二階導數即可）常見函數的二階導數f(*)C*a*e*Loga|*|ln|*|f’(*)0*-1a*lnae*f’’(*)0(-1)*-2a*(lna)2e*8、可導、可微、連續(xù)與極限的關系可導一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導極限連續(xù)極限連續(xù)可導可微可微9、奇偶函數，周期函數的導數（1）可導的偶函數的導函數為奇函數，且f‘(0)=0（2）可導的奇函數的導函數為偶函數（3）可導的周期函數的導函數仍為同周期函數10、微分公式（*核心*）：11、＝A12、判斷函數的增減性，求函數單調區(qū)間（1）單調性定義（2）判別方法：用f’(*)判斷注意：設f(*)在(a，b)區(qū)間可導則f(*)在(a，b)嚴格單調增加(減少)的充分條件是f’(*)＞0(f’(*)＜0)13、極值點的定義（局部最大或局部最?。?）定義：設y＝f(*)，若對*(*0－，*0＋)均有f(*)≤f(*0)(f(*)≥f(*0))則稱*0為f(*)的極大值點(極小值點)，f(*0)為極大值(極小值)。（2）判定方法：兩個充分條件第一充分條件：

若f(*)在*0處連續(xù)，在*0的鄰域可導，且當*<*0時，f’(*)>0,(f’(*)<0)當*>*0時，f’(*)<0,(f’(*)>0)，則稱*0為極大值點(極小值點)。第二充分條件：設f(*)在*0點的*一領域可導且f’(*0)＝0，f’’(*0)≠0注意：，有可能為極值，也可能不是極值。（3）極值存在的必要條件若*0為f(*)的極值點，且f’(*0)存在，則f’(*0)＝0注：f’(*0)＝0不能推出*0為f(*)的極值點如：y＝*3，在*＝0處必有y’＝014、駐點(穩(wěn)定點)（1）（2）15、函數的最值及其求解（1）若f(*)在[a，b]上連續(xù)，則f(*)在[a，b]上必有最大值、最小值（2）設函數f(*)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)有一個極值點*，則若*是f(*)的極大值點，則*必為f(*)在[a,b]上的最大值點；若*是f(*)的極小值點，則*必為f(*)在[a,b]上的最小值點。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整體概念，極值是局部概念）(a)求f(*)在(a,b)所有駐點和導數不存在的點(b)求出以上各函數值及區(qū)間[a,b]端點的函數值(c)比較上述數值，最大的為最大值，最小的為最小值最大值：M:ma*{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}其中：*1，……，*0為f(*)所有可能的極值點16、駐點、極值點、最值點的聯系與區(qū)別駐點邊界17、函數的切線與法線切線與法線求法18、函數凹凸性及其判定（1）凹?。╝）定義：如果曲線在其任一點切線之上，稱曲線為凹弧（b）凹弧的切線斜率隨著*的增大而增大，即f’(*)單調遞增（c）設f(*)在(a，b)上二階可導，f(*)為凹弧的充要條件為f’’(*)≥0*(a,b)(2)凸弧（a）定義：若曲線在其任一點切線之下，稱曲線為凸弧（b）凸弧的切線斜率隨著*的增大的而減小，即f’(*)單調遞減（c）設f(*)在(a,b)二階可導，f(*)為凸弧的充要條件為f’’(*)≤0(3)常見函數的性質f(*)a*(a>1)a*(0<a<1)loga*(a>1)loga*(0<a<1)f’(*)a*lnaa*lnaf’’(*)a*(lna)2a*(lna)2圖像性質增，凹減，凹增，凸減，凹19、拐點及其判定（1）定義：曲線上凸弧與凹弧的分界點稱為拐點。二階導數從大于0到小于0，或從小于0到大于0，中間的過渡點稱為拐點。（2）必要條件：f’’(*)存在且(*0，f(*0))為拐點，則f’’(*0)＝0（3）充分條件：若f’’(*0)＝0，且在*0的兩側f’’(*)異號，則(*0，f(*0))是拐點三、一元函數積分學1、不定積分與導數的關系2、基本初等函數的不定積分公式（1）（2）（），，（3）（4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函數的積分四、多元函數1、偏導的定義設函數z=f(*,y)定義在P0(*0,y0)點的一個鄰域，若將y固定在y0，作為*的函數f(*,y0)在*0點處的導數稱為函數f(*,y)在P0(*0,y0)點處對*的偏導數，記作2、一般極值（1）（2）（4）（三）線性代數部分一、矩陣1、矩陣的乘法一般沒有交換律，即；常見可交換矩陣：逆A-1：AA-1=A-1A=E單位矩陣E：AE=EA=A數量矩陣kE：A(kE)=(kE)A=kA零陣0：A0=0A=0冪：AmAn=AnAm=Am+n伴隨A*：AA*=A*A=|A|E(重要)2、，當且僅當A或B可逆時才成立；對于，應該認識到B的每一列都是齊次方程組A*＝0的解，若，則齊次方程組有非零解；3、，當且僅當A可逆時，才成立；4、，當且僅當A可逆時，有A＝E；當A－E可逆時，有A＝0；，僅當A為對稱矩陣，即時，命題才成立；5、注意數乘矩陣和數乘行列式的區(qū)別：。6、列表對比矩陣的逆、轉置和伴隨的公式逆轉置伴隨一般一般互換性：，，，；即這四種符號（-1，T，*，k）可以進行互換，以簡化運算。7、重要結論與公式（2）A與B的行向量相互等價不改變列向量的線性關系（一般用初等行變換求矩陣的秩）r（A）=r（B）（4）類似|*+y|≤|*|+|y|P(A+B)≤P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)（5）（6）B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）<r（A）r（AB）=r（A）=1A中任意兩行成比例r（A）=1A=Br（A）=r（B）A=0r（A）=0重點掌握以下矩陣可逆性的判斷：設A為n階矩陣，有以下等價命題r（A）=n（滿秩矩陣）A可逆|A|≠0AT可逆r（A*）=nA*可逆A的n個列（行）向量線性無關，即A列（行）滿秩A*=0只有零解A*=β有唯一解二、向量組1、線性相關性基本定義2、常見相關性歸納（3）包含0向量的任何向量組，線性相關.m>n時，則其線性相關.三、線性方程組（一）關于方程組解的性質（二）含有參數的線性方程組的求解。1．齊次線性方程組A*＝0解題提示：對系數矩陣A進行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進行討論：（1）線性方程組只有零解，即r(A)＝n；（2）線性方程組有非零解，即r(A)<n，并將非零解求出來。2．非齊次線性方程組A*＝β解題提示：對增廣矩陣進行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進行討論：（1）線性方程組無解，即；（1）線性方程組有唯一解，即；（2）線性方程組有無窮多解，即，并將解求出來。3、如果有一組向量，則是否可以由線性表示，可以轉化為非齊次線性方程組解的情況，若無解，則不能線性表示；若有唯一解，則能夠唯一線性表示；若有無窮多解，則能夠線性表示，且表示方式不唯一。4、有關基礎解系的問題解題提示：*一個向量組要是方程組的基礎解系，需要滿足三個條件：（1）該向量組中的每個向量都滿足方程A*＝0；（2）該向量組線性無關；（3）該向量組中向量的個數等于n-r(A)；或方程組的任一解向量都可由該向量組線性表示。四、特征值和特征向量（二）性質1、2、3、4、5、6、一個特征值可以對應多個特征向量，但一個特征向量只能對應一個特征值7、（三）歸納列表如下矩陣特征值特征向量KAAmA-1A*f（A）AT無法確定是否相同（四）概率論部分一、隨機事件部分1.事件間的四種關系(1)包含AB(2)相等A=B(兩個事件A,B樣本點完全一致)(4)互斥：AB=?2.事件間的三種運算(1)和(并)：A+B=AB3.概率運算公式(1)若AB，則有P(A)≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)-P(A-B)=P(B)4.條件概率，P(A|B)實質為事件A的概率5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)6.全概公式(3)貝葉斯公式：(逆概)7.事件的獨立性()(1)定義：P(AB)=P(A)P(B)(2)特殊情況：a.?與任何事件相互獨立b.Ω與任何事件相互獨立c.P(A)=0的事件A與任事件相互獨立(4)當P(A)P(B)>0時若A與B相互獨立，則A與B必不互斥(獨立不互斥)若A與B互斥，則A與B必不獨立(互斥不獨立)注意：?與任事件即互斥也獨立8.判斷A與B相互獨立的充要條件(1)定義P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B)(P(A)>0)或P(A|B)=P(A)(P(B)>0)，即：B的發(fā)生不受A的影響(3)0<P(A)<1即：A發(fā)生與否不影響B(tài)的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)四組事件中，若其中一組相互獨立，則其余三組也相互獨立，則其余三組也相互獨立(6)求“n個事件至少有一個發(fā)生時”轉化為其對立事件“都不發(fā)生”9．獨立試驗序列(1)貝努里：n次試驗中成功k次的概率：(2)直到第k次試驗，A才首次發(fā)生：(3)做n次貝努里試驗，直到第n次，才成功k次：二、隨機變量部分1、常見隨機變量的分布表如下：隨機變量E*D*密度函數f(*)離散型0–1分布PP(1–P)P{*=k}=Pk(1-P)1-k,k=0,1二項分布nPnP(1–P)連續(xù)型正態(tài)分布u標準正態(tài)分布u=02、離散型隨機變量（1）分布律Pk=P(*=*k)，k=1，2，┅**k*1*2┅*k┅PkP1P2┅Pk┅（2）分布律的性質(1)有界性：0≤Pk≤1應用：求待定參數值，注意求完參數要驗證3、二項分布（1）定義（2）各參數的意義參數n：試驗次數為n次；參數P：每次試驗成功的概率參數k：n次試驗中成功k次（3）二項分布產生的背景可以是n重貝努利試驗，若用*表示n重被努力試驗中事件A發(fā)生的次數，則*服從參數為n,p的二項分布，其中p是一次試驗中事件A發(fā)生的概率。，4、分布函數F(*)F(*)=P(*≤*)(1)定義：F(*)在*處函數值表示點*落入區(qū)間(-，*]上的概率(2)公式：P(*1<*≤*2)=P(*≤*2)-P(*≤*1)=F(*2)-F(*1)(3)分布函數性質：1)值域：0≤F(*)≤12)極限性質(**)，應用：求參數值3)單調性：單調不減(單調增)即若*1<*2，有F(*1)≤F(*2)4)F(*)右連續(xù)注意：前四個性質，用來判斷函數是否為分布函數5)P(*=*)=F(*)-F(*-0)6)對于*1<*2，有P(*1<*≤*2)=F(*2)-F(*1)7)對*1<*2，F(*)在*1，*2處連續(xù)P(*1≤*≤*2)=P(*1<*≤*2)=P(*1<*<*2)=P(*1≤*<*2)=F(*2)-F(*1)5、連續(xù)型隨機變量密度函數f(*)的性質(1)非負性：f(*)≥0，即f(*)與*軸所圍面積為1應用：求待定參數值注意：前兩個性質用來判斷函數是否為密度函數的標準(3)對于*1<*2有P(*1<*≤*2)=P(*1≤*≤*2)=P(*1≤*<*2)=P(*1<*<*2)6、正態(tài)分布*~N(，2)(1)正態(tài)分布密度函數(2)f(*)圖像特點密度函數的曲線關于*=μ對稱，μ是正態(tài)分布的位置參數它在*=μ時取到最大值P(μ)=越大，密度函數的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函數曲線與*軸之間的面積總是1，所以σ越大表明密度函數的曲線越矮越胖，而σ越小，密度函數的曲線越瘦高。*離μ越遠，P(*)的值越小，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離μ越遠，*落在這個區(qū)間上的概率越小。，這一條性質非常有用，應好好掌握。P(*≤)=P(*≥)期望E*=7、一般正態(tài)分布的標準化（非常重要）8、密度函數f(*)為偶函數的重要結論(2)F(-a)=1-F(a)-aa-aaF(-a)1-F(a)(3)P(|*|<a)=2F(a)-1(a>0)分析：P(|*|<a)=P(-a<*<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1(4)P(|*|>a)=1-P(|*|<a)=2(1-F(a))(5)若E*存在，則E*=09、數學期望有以下重要性質：若C為常數，則E(C)=C.若*為一個隨機變量，C為常數，則E(