高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案7-5直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要考查直線與平面以及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，難度中等．本節(jié)通過線、面垂直的判定及性質(zhì)考查考生對轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第150頁知識點(diǎn)一直線與平面垂直（1）直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，l⊥b,a∩b＝O,aα,bα))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b?溫馨提醒?二級結(jié)論1．直線與平面垂直的定義常常逆用，即a⊥α，bα?a⊥b．2．若平行直線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．5．過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．必明易錯證明線面垂直時，易忽視“面內(nèi)兩條直線相交”這一條件．1．（2021·深圳四校聯(lián)考）若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為（）A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β解析：由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β．因此A正確．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確．答案：B2．（2021·唐山模擬）如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是（）A．①② B．②④C．①③ D．②③解析：對于①，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，則AB⊥平面CDE；對于③，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于④，易證ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．答案：B3．“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的條件．解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．答案：必要不充分知識點(diǎn)二平面與平面垂直（1）平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．（2）判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(l⊥α，lβ))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,lβ))?l⊥α?溫馨提醒?面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視．面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘一個平面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤．1．下列命題中不正確的是（）A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：若平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l平面β或直線l與平面β相交．故選項(xiàng)A錯誤．答案：A2．（2021·蘇州模擬）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O．（1）若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的心；（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的心．解析：（1）如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．（2）如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G．因?yàn)镻C⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以PC⊥AB，因?yàn)锳B⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．答案：（1）外（2）垂授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第151頁題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[例]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE．[證明]（1）在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又AE平面PAC，∴CD⊥AE．（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC．由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，又PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE．1．判定線面垂直的四種方法2．判定線線垂直的四種方法[對點(diǎn)訓(xùn)練]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．求證：（1）PH⊥平面ABCD；（2）EF⊥平面PAB．證明：（1）因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB．因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD．因?yàn)锳B∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．（2）如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME．因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME綊eq\f(1,2)AB．又因?yàn)镈F綊eq\f(1,2)AB．所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD．因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA．因?yàn)锳B⊥平面PAD，MD平面PAD，所以MD⊥AB．因?yàn)镻A∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB．題型二面面垂直的判定與性質(zhì)[例]如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．（1）求證：CE∥平面PAD；（2）求證：平面EFG⊥平面EMN．[證明]（1）法一：取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH．又E為PB的中點(diǎn)，所以EH綊eq\f(1,2)AB．又CD綊eq\f(1,2)AB，所以EH綊CD．所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH．又DH平面PAD，CE平面PAD．所以CE∥平面PAD．法二：連接CF．因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD．又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF∥平面PAD．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD．又因?yàn)镃F∩EF＝F．故平面CEF∥平面PAD．又因?yàn)镃E平面CEF，所以CE∥平面PAD．（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA，又AB⊥PA，所以AB⊥EF．同理可得AB⊥FG．又EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB⊥平面EFG．又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD．又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．[變式探究1]在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC．證明：因?yàn)锳B⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC．又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB．所以MN⊥平面PAC．又MN平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC．[變式探究2]在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC．證明：因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，又EF?平面PAC，PA平面PAC，所以EF∥平面PAC．同理，F(xiàn)G∥平面PAC．又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC．面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化（1）兩種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（a⊥β，aα?α⊥β）．（2）一個轉(zhuǎn)化：在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．[對點(diǎn)訓(xùn)練]（2020·高考全國卷Ⅰ）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC＝90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為eq\r(3)π，求三棱錐P-ABC的體積．解析：（1）證明：由題設(shè)可知，PA＝PB＝PC．由△ABC是正三角形，可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°．從而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題設(shè)可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)．從而AB＝eq\r(3)．由（1）可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(6),2)．所以三棱錐P-ABC的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×PA×PB×PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8)．題型三平行與垂直的綜合問題[例]如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．求證：（1）AF∥平面BCE；（2）平面BCE⊥平面CDE．[證明]（1）如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG．∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB．∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．∵AF?平面BCE，BG平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．又∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．1．線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時常用中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用等腰三角形的中線等．2．證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范．[對點(diǎn)訓(xùn)練]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：PE⊥BC；（2）求證：平面PAB⊥平面PCD；（3）求證：EF∥平面PCD．證明：（1）因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD．因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD．又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)镻D平面PAD，所以AB⊥PD．又因?yàn)镻A⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB．因?yàn)镻D平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG．因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC．所以DE∥FG，DE＝FG．所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG．又因?yàn)镋F?平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．平行、垂直關(guān)系中的核心素養(yǎng)邏輯推理、直觀想象——在平行、垂直關(guān)系證明中的體現(xiàn)邏輯推理在該部分主要體現(xiàn)在空間平行、垂直關(guān)系的證明與探究，其理論根據(jù)就是空間垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，需要掌握推理的基本形式，表述論證的過程平行、垂直關(guān)系證明的起點(diǎn)就是平面圖形中的線線平行、垂直關(guān)系．[例]（2020·高考全國卷Ⅱ）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求四棱錐B-EB1C1F的體積．[解析]（1）證明：因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．（2）AO∥平面EB1C1F，AO?平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN．又AP∥ON，故四邊形APNO是平行四邊形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝eq\f(1,3)AM＝eq\r(3)，PM＝eq\f(2,3)AM＝2eq\r(3)，EF＝eq\f(1,3)BC＝2．因?yàn)锽C∥平面EB1C1F，所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離．如圖所示，作MT⊥PN，垂足為T，則由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3．底面EB1C1F的面積為eq\f(1,2)×