2021-2022學(xué)年上海市寶山區(qū)九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市寶山區(qū)九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題及答案一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)選擇正確選項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.在比例尺為1：50的圖紙上，長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為（）A.50cm B.500cm C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵1：50=10:500，∴長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為500cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)P與原點(diǎn)O的連線與x軸的正半軸的夾角為α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出直角坐標(biāo)系，標(biāo)記點(diǎn)P，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，再根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，如圖，則，∵點(diǎn)P（1，2），∴，．．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，涉及了三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，構(gòu)造出直角三角形．3.已知單位向量與非零向量、，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.當(dāng)非零向量，的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)，理解單位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，單位向量具有確定的方向是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長(zhǎng)為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)AD=2CD，求得的長(zhǎng)，根據(jù)DE∥BC，證明，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，勾股定理求得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而比較圓心距與半徑和，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：連接，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，∴，AD=2CD，AC=6，，．DE∥BC，，，．，．在中，．>．以點(diǎn)C為圓心、DC長(zhǎng)為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長(zhǎng)為半徑的圓E的位置關(guān)系是相交．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5.一次數(shù)學(xué)作業(yè)共有10道題目，某小組8位學(xué)生做對(duì)題目數(shù)的情況如下表：做對(duì)題目數(shù)678910人數(shù)11231

那么這8位學(xué)生做對(duì)題目數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.9和8 B.9和8.5 C.3和2 D.3和1【答案】B【解析】【詳解】解：由表可知在這8個(gè)數(shù)據(jù)中，9出現(xiàn)次數(shù)最多，有3次，則這8位學(xué)生做對(duì)題目數(shù)的眾數(shù)是9；∵這8名學(xué)生做對(duì)題目數(shù)從小到大排列的第4個(gè)數(shù)是8，第5個(gè)數(shù)是9，∴這8名學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)是=8.5，故選B.6.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），且頂點(diǎn)在第一象限，那么下列結(jié)論：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論為（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】將點(diǎn)代入解析式可判斷①；由對(duì)稱性可得另一個(gè)交點(diǎn)為，可判斷②；由開(kāi)口方向可判斷，根據(jù)對(duì)稱軸，可判斷，根據(jù)即可判斷③，由可判斷④．【詳解】解：①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，故①正確；②拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故②正確；③由拋物線開(kāi)口向下可得由對(duì)稱軸為x>0，，與軸交于（0，2），，abc<0，故③不正確；④拋物線與y軸交于，c＝2，a＜0，，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.已知點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，那么AP：AB的比值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義列即可得答案．【詳解】∵點(diǎn)P是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，∴AP：AB=．【點(diǎn)睛】題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為黃金分割；其比值是；理解黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC：AB=3：4，那么cosA的值為_(kāi)_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵BC：AB=3：4∴設(shè)，∵∠C=90°∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，以及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，利用勾股定理求得的長(zhǎng)．9.已知一組數(shù)據(jù)10、3、a、5的平均數(shù)為5，那么a為_(kāi)____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法，列出等式然后計(jì)算即可．【詳解】解：依題意有，

解得．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，正確理解算術(shù)平均數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．10.已知△ABC的兩條中線BD、CE相交于點(diǎn)P，PE=2，那么CP的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)三角形中線的交點(diǎn)可知點(diǎn)P為△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1即可解答．【詳解】解：如下圖所示，∵BD、CE是ABC的兩條中線，且相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P為△ABC的重心，∴，又∵PE=2，∴CP=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，明確重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1是解題的關(guān)鍵．11.已知一個(gè)斜坡的坡度，那么該斜坡的坡角的度數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】坡度=坡角的正切值，據(jù)此直接解答．【詳解】解：∵，∴坡角=30°．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度及坡角的理解及掌握．12.正五邊形的中心角的度數(shù)是_____．【答案】72°．【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正n邊形的圓中心角為，則代入求解即可．【詳解】解：正五邊形的中心角為：．故答案為72°．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)．題目比較簡(jiǎn)單，注意熟記定義．13.已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長(zhǎng)為d，那么d的取值范圍是____．【答案】d＞5【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：點(diǎn)A在圓O外，則點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，d＞5．故答案為d＞5．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．熟記點(diǎn)與圓位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對(duì)應(yīng)是解題的關(guān)鍵，由位置關(guān)系可推得數(shù)量關(guān)系，同樣由數(shù)量關(guān)系也可推得位置關(guān)系．14.二次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出自變量x為0時(shí)的函數(shù)值即可得到二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】把代入得：，∴該二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，在y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0．15.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，如果，，用含、的式子表示向量＝_____【答案】【解析】【分析】如圖取AB中點(diǎn)F，連接EF，可證，即可解得【詳解】如圖取AB中點(diǎn)F，連接EF∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是DC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊中點(diǎn)∴∴∵，∴故本題答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．16.如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1，那么2a+b的值為_(kāi)____．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，整理即可求解．【詳解】拋物線的對(duì)稱軸為直線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線對(duì)稱軸的求法，熟記拋物線的對(duì)稱軸為直線是解題關(guān)鍵．17.如圖，正方形AFEB和正方形BEDC的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上．連接AD、BD，那么cos∠ADB的值為_(kāi)___．【答案】【解析】【分析】連接BF交AD于G，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BF交AD于G，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∴，，∵，∴，∴，∴，∵AFEB和BEDC為正方形，BF、BD為對(duì)角線，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．18.如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，把△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．將點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)A'、B'，如果△AA'B'為直角三角形，那么點(diǎn)A與點(diǎn)A'的距離為_(kāi)________【答案】或【解析】【分析】△AA'B'為直角三角形，分分別為直角三角形的頂點(diǎn)三種情形討論，分別解直角三角形求解即可．【詳解】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinBAC=，，，，,．旋轉(zhuǎn)，．①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，．，．②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，．，．，，在中，，，．．在中，＝．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，，，，．，.，綜上所述，或．故答案：或．【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，解直角三角形，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：|2sin45°﹣tan45°|+．【答案】【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．【詳解】解：【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上，設(shè)EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積，【答案】y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式是，定義域是0＜x＜10；當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)，所截得的矩形的面積為48平方厘米．【解析】【分析】由題意得，矩形的面積等于相鄰兩邊之積，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把ED邊用x表示出來(lái)，再由矩形EFGD在等腰直角三角形內(nèi)，求出定義域，最后把EF的長(zhǎng)為4厘米，代入函數(shù)關(guān)系式，求得矩形面積．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，

∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，

∴AF=EF=x，GB=DG=x，F(xiàn)G=AB-AF-GB=20-2x，

∴矩形EFGD的面積y=x(20-2x)=-2x2+20x，

由0<20-2x<20，

解得0<x<10，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，

定義域是0<x<10，

當(dāng)x=4時(shí)，y=-2×42+20×4=48，

即當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)，所截得的矩形的面積為48平方厘米．【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，在等腰直角三角形和矩形中解題，要注意幾何關(guān)系．21.如圖，已知△ABC中，∠B=45°，AB=4，tanC＝2，⊙O過(guò)點(diǎn)A、C，交BC邊于點(diǎn)D，且，求CD的長(zhǎng)【答案】【解析】【分析】連接AD，AO并延長(zhǎng)AO交CD于點(diǎn)E，由題意可得，AE⊥CD，解直角三角形，求得CE即可求解．【詳解】解：連接AD，AO并延長(zhǎng)AO交CD于點(diǎn)E，如下圖：∵，AE過(guò)圓心O則AE⊥CD，CE=DE∵∠B=45°∴為等腰直角三角形，即，由勾股定理得，，解得，在中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，三角函數(shù)的定義，勾股定理，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形．22.某小區(qū)開(kāi)展了“關(guān)愛(ài)老人從我做起”的主題活動(dòng)，在活動(dòng)中隨機(jī)調(diào)查了小區(qū)部分老人與子女同住情況，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）老人與子女同住情況相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：老人與子女同住情況同住不同?。ㄗ优诒拘^(qū)）不同?。ㄗ优谛^(qū)外）其他百分比a50%b4%老人與子女同住情況相關(guān)數(shù)據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖：據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中提供的信息，回答下列問(wèn)題：（1）本次抽樣調(diào)查中，調(diào)查的老人總數(shù)為人，老人與子女同住情況百分比統(tǒng)計(jì)表中的a＝；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整：（畫(huà)在答題紙相對(duì)應(yīng)的圖上）（3）根據(jù)本次抽樣調(diào)查，試估計(jì)本地區(qū)約15萬(wàn)老人中與子女“不同住”的老人總數(shù)為人．【答案】（1）50、32％（2）見(jiàn)解析（3）96000【解析】【分析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖中不同住子女在本區(qū)的人數(shù)除以所占的百分比，求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出其他情況人數(shù)，即可求出a的值；（2）求出其他的人數(shù)，即可求出同住的人數(shù)，補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）由不同住人數(shù)為25+7=32人，利用比例即可求出我區(qū)約15萬(wàn)老人中子女“不同住”的老人總?cè)藬?shù)．【小問(wèn)1詳解】解：∵根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知老人與子女不同住（子女在本小區(qū)）人數(shù)為25人，根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知老人與子女不同?。ㄗ优诒拘^(qū)）占總?cè)藬?shù)的50%∴調(diào)查的老人總數(shù)為人故答案為50人．∵根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知其他情況占總?cè)藬?shù)的4%∴其他情況人數(shù)為人∴故答案為32％．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知其他情況人數(shù)為人，老人與子女同住人數(shù)為人補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問(wèn)3詳解】解：老人中與子女“不同住”占總?cè)藬?shù)的百分比為∴15萬(wàn)老人中與子女“不同住”的老人總數(shù)約為人．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表、畫(huà)條形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)l形統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表相結(jié)合．23.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E在線段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．求證：（1）；（2）FD⊥DG．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等證明△ADC和△EGC相似即可；（2）先證四邊形AFEG是矩形，證出AF＝EG，進(jìn)而證出兩邊成比例且?jiàn)A角相等，推出△AFD和△CGD相似，證出∠FDG＝90°，即可求出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：在△ADC和△EGC中，∵AD是BC邊上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠ADC＝∠EGC＝90°，又∵∠C=∠C，∴△ADC∽△EGC，∴．【小問(wèn)2詳解】證明：在四邊形AFEG中，∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，∴四邊形AFEG為矩形，∴AF＝EG．由（1）知∴，∴，∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C，∴△AFD∽△CGD，又∠CDG＋∠ADG＝90°，∴∠ADF＋∠ADG＝90°，即∠FDG＝90°，∴FD⊥DG．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解此題的關(guān)鍵是檢查對(duì)相似三角形的性質(zhì)和判定的理解和掌握，難點(diǎn)是找出證明兩三角形相似的條件，進(jìn)而由相似推出新的結(jié)論．24.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)題意分①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，兩種情形討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)的平移知識(shí)進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，將代入得，解得拋物線的解析式為∴二次函數(shù)解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：∵設(shè)經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的表